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10.计算:
(1)$(-2)^3 × (-3)^2$;
(2)$(-3)^2 ÷ (-2^4)$;
(3)$-\dfrac{3^3}{4} × 4$;
(4)$(\dfrac{3}{4})^3 ÷ (-\dfrac{3}{2})^3$。
(1)$(-2)^3 × (-3)^2$;
(2)$(-3)^2 ÷ (-2^4)$;
(3)$-\dfrac{3^3}{4} × 4$;
(4)$(\dfrac{3}{4})^3 ÷ (-\dfrac{3}{2})^3$。
答案
10.解:(1)原式$=(-8)×9=-72$。
(2)原式$=9÷(-16)=-\frac{9}{16}$。
(3)原式$=-\frac{27}{4}×4=-27$。
(4)原式$=\frac{27}{64}÷(-\frac{27}{8})=\frac{27}{64}×(-\frac{8}{27})=-\frac{1}{8}$。
(2)原式$=9÷(-16)=-\frac{9}{16}$。
(3)原式$=-\frac{27}{4}×4=-27$。
(4)原式$=\frac{27}{64}÷(-\frac{27}{8})=\frac{27}{64}×(-\frac{8}{27})=-\frac{1}{8}$。
解析
【分析】
这是有理数乘方与乘除的混合运算题，解题遵循“先算乘方，再算乘除”的运算顺序：①计算乘方时，要注意区分底数：若负号在括号内，负号属于底数，如$(-2)^3$的底数是$-2$；若负号在括号外，负号不属于底数，如$-2^4$的底数是$2$，是$2^4$的相反数；②乘方计算完成后，按照有理数乘除法则，先确定运算结果的符号（同号得正、异号得负），再计算绝对值的乘除即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(-2)^3=-8$，$(-3)^2=9$，再计算乘法：
原式$=(-8)×9=-72$
(2) 先计算乘方：$(-3)^2=9$，$-2^4=-16$，再计算除法：
原式$=9÷(-16)=-\frac{9}{16}$
(3) 先计算乘方：$3^3=27$，再计算乘法：
原式$=-\frac{27}{4}×4=-27$
(4) 先计算乘方：$(\frac{3}{4})^3=\frac{27}{64}$，$(-\frac{3}{2})^3=-\frac{27}{8}$，再将除法转化为乘法计算：
原式$=\frac{27}{64}÷(-\frac{27}{8})=\frac{27}{64}×(-\frac{8}{27})=-\frac{1}{8}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-72}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{9}{16}}$；(3) $\boldsymbol{-27}$；(4) $\boldsymbol{-\dfrac{1}{8}}$
【知识点】
有理数乘方运算，有理数乘除运算，有理数混合运算顺序
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，易错点是混淆含负号的乘方的底数，导致符号计算错误，计算时遵循运算顺序、先定符号再算绝对值，能有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
这是有理数乘方与乘除的混合运算题，解题遵循“先算乘方，再算乘除”的运算顺序：①计算乘方时，要注意区分底数：若负号在括号内，负号属于底数，如$(-2)^3$的底数是$-2$；若负号在括号外，负号不属于底数，如$-2^4$的底数是$2$，是$2^4$的相反数；②乘方计算完成后，按照有理数乘除法则，先确定运算结果的符号（同号得正、异号得负），再计算绝对值的乘除即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(-2)^3=-8$，$(-3)^2=9$，再计算乘法：
原式$=(-8)×9=-72$
(2) 先计算乘方：$(-3)^2=9$，$-2^4=-16$，再计算除法：
原式$=9÷(-16)=-\frac{9}{16}$
(3) 先计算乘方：$3^3=27$，再计算乘法：
原式$=-\frac{27}{4}×4=-27$
(4) 先计算乘方：$(\frac{3}{4})^3=\frac{27}{64}$，$(-\frac{3}{2})^3=-\frac{27}{8}$，再将除法转化为乘法计算：
原式$=\frac{27}{64}÷(-\frac{27}{8})=\frac{27}{64}×(-\frac{8}{27})=-\frac{1}{8}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-72}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{9}{16}}$；(3) $\boldsymbol{-27}$；(4) $\boldsymbol{-\dfrac{1}{8}}$
【知识点】
有理数乘方运算，有理数乘除运算，有理数混合运算顺序
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，易错点是混淆含负号的乘方的底数，导致符号计算错误，计算时遵循运算顺序、先定符号再算绝对值，能有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
11.已知$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,\dots$。根据这个规律，试猜想$2^{204}$的末位数字，并说明理由。
答案
11.解:$2^{204}$的末位数字是6。理由如下:$204÷4=51$,又由题知,$2^n$的末位数字以2,4,8,6四个一组循环,$2^{204}$的末位数字恰好是第4个,所以$2^{204}$的末位数字是6。
解析
【分析】
解决这类求乘方末位数字的问题，第一步先观察给出的低次乘方结果的末位数字，寻找重复出现的规律，确定循环周期；第二步用所求幂的指数除以循环周期，根据余数判断对应末位数字：余数为1对应周期第一个数字，余数为2对应第二个，以此类推，若能整除（余数为0）则对应周期最后一个数字。
【解析】
解：观察已知的$2^n$的运算结果：$2^1$的末位数字是2，$2^2$的末位数字是4，$2^3$的末位数字是8，$2^4$的末位数字是6，$2^5$的末位数字回到2，……，可得$2^n$的末位数字以2、4、8、6四个数字为一组循环出现。
计算$204÷4=51$，没有余数，说明$2^{204}$的末位数字是第51组循环的最后一个数字，即6。
【答案】
$2^{204}$的末位数字是6
【知识点】
有理数乘方；规律探究；周期问题
【点评】
本题是乘方相关的典型规律类题目，核心是通过观察低次乘方结果找到末位数字的循环周期，再通过除法运算确定所求幂次对应的循环位置即可得到答案，解题关键是准确总结循环规律。
【难度系数】
0.7
解决这类求乘方末位数字的问题，第一步先观察给出的低次乘方结果的末位数字，寻找重复出现的规律，确定循环周期；第二步用所求幂的指数除以循环周期，根据余数判断对应末位数字：余数为1对应周期第一个数字，余数为2对应第二个，以此类推，若能整除（余数为0）则对应周期最后一个数字。
【解析】
解：观察已知的$2^n$的运算结果：$2^1$的末位数字是2，$2^2$的末位数字是4，$2^3$的末位数字是8，$2^4$的末位数字是6，$2^5$的末位数字回到2，……，可得$2^n$的末位数字以2、4、8、6四个数字为一组循环出现。
计算$204÷4=51$，没有余数，说明$2^{204}$的末位数字是第51组循环的最后一个数字，即6。
【答案】
$2^{204}$的末位数字是6
【知识点】
有理数乘方；规律探究；周期问题
【点评】
本题是乘方相关的典型规律类题目，核心是通过观察低次乘方结果找到末位数字的循环周期，再通过除法运算确定所求幂次对应的循环位置即可得到答案，解题关键是准确总结循环规律。
【难度系数】
0.7
12.【数学文化】我们平常用的数是十进制的数，如$2639=2× 10^3+6× 10^2+3× 10^1+9$，表示十进制的数要用十个数码：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。在计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1。如二进制中$101=1× 2^2+0× 2^1+1$，与十进制的5相等。二进制中的1101等于十进制中的哪个数？
答案
12.13
解析
【分析】
解题时先读懂题目给出的二进制转十进制的规则：将二进制的每一位数码，按从左到右的顺序，依次乘以2的（总位数-1减去当前位的序号）次方，再将所有乘积相加，所得结果就是对应的十进制数。本题中先拆分二进制数1101的每一位数码，再按规则分别乘对应2的幂次，最后求和即可。
【解析】
根据题意给出的二进制转换规则计算：
二进制数1101共有4位，对应转换为十进制的算式为：
$1101 = 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0$
分别计算每一项：
$2^3=8$，$1×8=8$；
$2^2=4$，$1×4=4$；
$2^1=2$，$0×2=0$；
$2^0=1$，$1×1=1$；
将各项相加：$8+4+0+1=13$
【答案】
13
【知识点】
乘方的意义，进制转换，有理数混合运算
【点评】
本题是结合数学文化的新定义类题型，重点考查对新规则的理解和应用能力，解题核心是把陌生的进制转换转化为已经学过的乘方、加法运算，计算时注意准确匹配每一位对应的2的幂次，避免指数计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时先读懂题目给出的二进制转十进制的规则：将二进制的每一位数码，按从左到右的顺序，依次乘以2的（总位数-1减去当前位的序号）次方，再将所有乘积相加，所得结果就是对应的十进制数。本题中先拆分二进制数1101的每一位数码，再按规则分别乘对应2的幂次，最后求和即可。
【解析】
根据题意给出的二进制转换规则计算：
二进制数1101共有4位，对应转换为十进制的算式为：
$1101 = 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0$
分别计算每一项：
$2^3=8$，$1×8=8$；
$2^2=4$，$1×4=4$；
$2^1=2$，$0×2=0$；
$2^0=1$，$1×1=1$；
将各项相加：$8+4+0+1=13$
【答案】
13
【知识点】
乘方的意义，进制转换，有理数混合运算
【点评】
本题是结合数学文化的新定义类题型，重点考查对新规则的理解和应用能力，解题核心是把陌生的进制转换转化为已经学过的乘方、加法运算，计算时注意准确匹配每一位对应的2的幂次，避免指数计算错误。
【难度系数】
0.8
13.【数学文化】13世纪数学家斐波纳奇的《计算之书》中有这样一个问题:在罗马有7位老妇人,每人赶着7头毛驴,每头毛驴驮着7只口袋,每只口袋里装着7个面包,每个面包附有7把餐刀,每把餐刀有7只刀鞘,则刀鞘数为(
A.42
B.49
C.$7^6$
D.$7^7$
C
)。A.42
B.49
C.$7^6$
D.$7^7$
答案
13.C
解析
【分析】
解题时先明确所求量是刀鞘数，可顺着题目的描述从老妇人的数量开始逐步推导每一级物品的数量：题中每一类物品的数量都是前一类的7倍，根据乘方的意义，多个相同因数7相乘可以写成乘方的形式，我们只需数清楚从老妇人到刀鞘一共需要乘几次7，即可得到刀鞘数对应的乘方结果。
【解析】
我们逐层计算数量：
1. 老妇人数量：$7 = 7^1$位；
2. 毛驴总数量：每位老妇人赶7头毛驴，总共有$7 × 7 = 7^2$头；
3. 口袋总数量：每头毛驴驮7只口袋，总共有$7^2 × 7 = 7^3$只；
4. 面包总数量：每只口袋装7个面包，总共有$7^3 × 7 = 7^4$个；
5. 餐刀总数量：每个面包附7把餐刀，总共有$7^4 × 7 = 7^5$把；
6. 刀鞘总数量：每把餐刀有7只刀鞘，总共有$7^5 × 7 = 7^6$只。
因此刀鞘数为$7^6$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；有理数乘法的实际应用
【点评】
本题结合经典数学文化问题考查乘方的相关应用，解题核心是理清不同物品之间的数量倍数关系，准确数出相同因数7的个数即可得到正确结果，只要审题细心就不易出错。
【难度系数】
0.8
解题时先明确所求量是刀鞘数，可顺着题目的描述从老妇人的数量开始逐步推导每一级物品的数量：题中每一类物品的数量都是前一类的7倍，根据乘方的意义，多个相同因数7相乘可以写成乘方的形式，我们只需数清楚从老妇人到刀鞘一共需要乘几次7，即可得到刀鞘数对应的乘方结果。
【解析】
我们逐层计算数量：
1. 老妇人数量：$7 = 7^1$位；
2. 毛驴总数量：每位老妇人赶7头毛驴，总共有$7 × 7 = 7^2$头；
3. 口袋总数量：每头毛驴驮7只口袋，总共有$7^2 × 7 = 7^3$只；
4. 面包总数量：每只口袋装7个面包，总共有$7^3 × 7 = 7^4$个；
5. 餐刀总数量：每个面包附7把餐刀，总共有$7^4 × 7 = 7^5$把；
6. 刀鞘总数量：每把餐刀有7只刀鞘，总共有$7^5 × 7 = 7^6$只。
因此刀鞘数为$7^6$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；有理数乘法的实际应用
【点评】
本题结合经典数学文化问题考查乘方的相关应用，解题核心是理清不同物品之间的数量倍数关系，准确数出相同因数7的个数即可得到正确结果，只要审题细心就不易出错。
【难度系数】
0.8
