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11.已知下列等式：
①$1^3=1^2$；②$1^3+2^3=3^2$；③$1^3+2^3+3^3=6^2$；
④$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$；…。由此规律知，第⑤个等式是
①$1^3=1^2$；②$1^3+2^3=3^2$；③$1^3+2^3+3^3=6^2$；
④$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$；…。由此规律知，第⑤个等式是
$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$
。答案
$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$
解析
【分析】
遇到等式规律探究题，可分别观察等式左边和右边的特征，分步推导：第一步先看左边：前4个等式的左边都是从1开始的连续正整数的立方和，第几个等式就加到第几个数的立方，因此第⑤个等式左边应该加到5的立方；第二步看右边：前4个等式的右边都是某个数的平方，观察底数可发现，底数恰好是左边所有立方的底数的和，因此第⑤个等式右边的底数就是1到5的和，计算出底数后就能写出完整等式。
【解析】
1. 分析左边规律：
第①个等式左边是1个立方：$1^3$
第②个等式左边是2个连续立方和：$1^3+2^3$
第③个等式左边是3个连续立方和：$1^3+2^3+3^3$
第④个等式左边是4个连续立方和：$1^3+2^3+3^3+4^3$
可推出第⑤个等式左边为：$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3$
2. 分析右边规律：
第①个右边底数：$1=1$
第②个右边底数：$3=1+2$
第③个右边底数：$6=1+2+3$
第④个右边底数：$10=1+2+3+4$
可推出第⑤个右边底数为$1+2+3+4+5=15$，即右边为$15^2$
综上可得第⑤个等式。
【答案】
$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$
【知识点】
数字规律探究，有理数的乘方
【点评】
本题是规律探究类基础题型，侧重考查对数字特征的观察、归纳能力，只要分别梳理等式左右两边的变化规律，就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
遇到等式规律探究题，可分别观察等式左边和右边的特征，分步推导：第一步先看左边：前4个等式的左边都是从1开始的连续正整数的立方和，第几个等式就加到第几个数的立方，因此第⑤个等式左边应该加到5的立方；第二步看右边：前4个等式的右边都是某个数的平方，观察底数可发现，底数恰好是左边所有立方的底数的和，因此第⑤个等式右边的底数就是1到5的和，计算出底数后就能写出完整等式。
【解析】
1. 分析左边规律：
第①个等式左边是1个立方：$1^3$
第②个等式左边是2个连续立方和：$1^3+2^3$
第③个等式左边是3个连续立方和：$1^3+2^3+3^3$
第④个等式左边是4个连续立方和：$1^3+2^3+3^3+4^3$
可推出第⑤个等式左边为：$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3$
2. 分析右边规律：
第①个右边底数：$1=1$
第②个右边底数：$3=1+2$
第③个右边底数：$6=1+2+3$
第④个右边底数：$10=1+2+3+4$
可推出第⑤个右边底数为$1+2+3+4+5=15$，即右边为$15^2$
综上可得第⑤个等式。
【答案】
$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$
【知识点】
数字规律探究，有理数的乘方
【点评】
本题是规律探究类基础题型，侧重考查对数字特征的观察、归纳能力，只要分别梳理等式左右两边的变化规律，就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
12. 计算：
(1) $-2^2 × (-\dfrac{1}{2})^2 ÷ 0.8^3$；
(2) $(-3)^3 × (-\dfrac{32}{25}) ÷ (-4^2) × (-1)^{25}$；
(3) $4 - (-2)^2 - 3^3 ÷ (-1)^{2027} + 0 × (-2)^3$。
(1) $-2^2 × (-\dfrac{1}{2})^2 ÷ 0.8^3$；
(2) $(-3)^3 × (-\dfrac{32}{25}) ÷ (-4^2) × (-1)^{25}$；
(3) $4 - (-2)^2 - 3^3 ÷ (-1)^{2027} + 0 × (-2)^3$。
答案
解:(1)原式$=-4×\dfrac{1}{4}÷(\dfrac{4}{5})^3=-1÷\dfrac{64}{125}=-1×\dfrac{125}{64}=-\dfrac{125}{64}$。
(2)原式$=3^3×\dfrac{32}{25}÷4^2×1=27×\dfrac{32}{25}×\dfrac{1}{16}×1=27×\dfrac{2}{25}=\dfrac{54}{25}$。
(3)原式$=4-4-27÷(-1)+0=0-27×(-1)+0=27$。
(2)原式$=3^3×\dfrac{32}{25}÷4^2×1=27×\dfrac{32}{25}×\dfrac{1}{16}×1=27×\dfrac{2}{25}=\dfrac{54}{25}$。
(3)原式$=4-4-27÷(-1)+0=0-27×(-1)+0=27$。
解析
【分析】
这三道题属于有理数混合运算类题目，解题时需遵循有理数混合运算的顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算从左到右依次计算。解题时首先要注意区分乘方的底数，比如$-2^2$底数是2，结果为负，$(-2)^2$底数是-2，结果为正，先计算所有乘方项并确定符号，再将小数转化为分数方便计算，乘除运算统一为乘法后约分计算，最后处理加减运算，遇到0乘任何数的项直接得0即可。
【解析】
(1) 先计算各乘方项：$-2^2=-4$，$(-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，$0.8^3=(\dfrac{4}{5})^3=\dfrac{64}{125}$，再按从左到右的顺序计算乘除：
原式$=-4×\dfrac{1}{4}÷\dfrac{64}{125}=-1×\dfrac{125}{64}=-\dfrac{125}{64}$
(2) 先计算各乘方项：$(-3)^3=-27$，$-4^2=-16$，$(-1)^{25}=-1$，先确定整体运算符号，再计算绝对值部分：
原式$=(-27)×(-\dfrac{32}{25})÷(-16)×(-1)=27×\dfrac{32}{25}×\dfrac{1}{16}×1=27×\dfrac{2}{25}=\dfrac{54}{25}$
(3) 先计算各乘方项：$(-2)^2=4$，$3^3=27$，$(-1)^{2027}=-1$，$(-2)^3=-8$，再按运算顺序计算，0乘任意数结果为0：
原式$=4-4-27÷(-1)+0×(-8)=0 + 27 + 0=27$
【答案】
(1) $-\dfrac{125}{64}$；(2) $\dfrac{54}{25}$；(3) $27$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算；乘方符号法则
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的规则应用，解题的关键是准确判断乘方的符号，牢记运算顺序，计算时先定符号再算绝对值，可有效避免符号错误，提升计算准确率。
【难度系数】
0.7
这三道题属于有理数混合运算类题目，解题时需遵循有理数混合运算的顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算从左到右依次计算。解题时首先要注意区分乘方的底数，比如$-2^2$底数是2，结果为负，$(-2)^2$底数是-2，结果为正，先计算所有乘方项并确定符号，再将小数转化为分数方便计算，乘除运算统一为乘法后约分计算，最后处理加减运算，遇到0乘任何数的项直接得0即可。
【解析】
(1) 先计算各乘方项：$-2^2=-4$，$(-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，$0.8^3=(\dfrac{4}{5})^3=\dfrac{64}{125}$，再按从左到右的顺序计算乘除：
原式$=-4×\dfrac{1}{4}÷\dfrac{64}{125}=-1×\dfrac{125}{64}=-\dfrac{125}{64}$
(2) 先计算各乘方项：$(-3)^3=-27$，$-4^2=-16$，$(-1)^{25}=-1$，先确定整体运算符号，再计算绝对值部分：
原式$=(-27)×(-\dfrac{32}{25})÷(-16)×(-1)=27×\dfrac{32}{25}×\dfrac{1}{16}×1=27×\dfrac{2}{25}=\dfrac{54}{25}$
(3) 先计算各乘方项：$(-2)^2=4$，$3^3=27$，$(-1)^{2027}=-1$，$(-2)^3=-8$，再按运算顺序计算，0乘任意数结果为0：
原式$=4-4-27÷(-1)+0×(-8)=0 + 27 + 0=27$
【答案】
(1) $-\dfrac{125}{64}$；(2) $\dfrac{54}{25}$；(3) $27$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算；乘方符号法则
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的规则应用，解题的关键是准确判断乘方的符号，牢记运算顺序，计算时先定符号再算绝对值，可有效避免符号错误，提升计算准确率。
【难度系数】
0.7
13.【数学应用】科学家研究发现，每公顷森林每天可以吸收二氧化碳约1 500 kg，某人造林累计面积达48 000 000公顷，那么该人造林每天可以吸收二氧化碳多少吨？（用科学记数法表示）
答案
解:$1\ 500×48\ 000\ 000=7.2×10^{10}\ (\mathrm{kg})=7.2×10^7\ (\mathrm{t})$。
解析
【分析】
解题时首先明确等量关系：人造林每天吸收的二氧化碳总质量=每公顷每天吸收的质量×人造林总面积。首先根据等量关系计算得到以kg为单位的总质量，再结合1吨=1000kg的换算关系将单位转换为吨，最后将结果整理为符合要求的科学记数法形式即可，注意科学记数法的形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。
【解析】
首先计算该人造林每天吸收二氧化碳的质量（单位：kg）：
$1500×48000000=7.2×10^{10}\ \mathrm{kg}$
再进行单位换算，已知$1\ \mathrm{t}=1000\ \mathrm{kg}$，因此：
$7.2×10^{10}\ \mathrm{kg}=7.2×10^{10}÷10^3\ \mathrm{t}=7.2×10^7\ \mathrm{t}$
【答案】
$7.2×10^7\ \mathrm{t}$
【知识点】
有理数乘法运算；科学记数法；单位换算
【点评】
本题结合实际场景考查基础运算和科学记数法的应用，解题时要注意仔细核对单位转换关系，同时熟练掌握科学记数法的书写规则，避免指数计数错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确等量关系：人造林每天吸收的二氧化碳总质量=每公顷每天吸收的质量×人造林总面积。首先根据等量关系计算得到以kg为单位的总质量，再结合1吨=1000kg的换算关系将单位转换为吨，最后将结果整理为符合要求的科学记数法形式即可，注意科学记数法的形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。
【解析】
首先计算该人造林每天吸收二氧化碳的质量（单位：kg）：
$1500×48000000=7.2×10^{10}\ \mathrm{kg}$
再进行单位换算，已知$1\ \mathrm{t}=1000\ \mathrm{kg}$，因此：
$7.2×10^{10}\ \mathrm{kg}=7.2×10^{10}÷10^3\ \mathrm{t}=7.2×10^7\ \mathrm{t}$
【答案】
$7.2×10^7\ \mathrm{t}$
【知识点】
有理数乘法运算；科学记数法；单位换算
【点评】
本题结合实际场景考查基础运算和科学记数法的应用，解题时要注意仔细核对单位转换关系，同时熟练掌握科学记数法的书写规则，避免指数计数错误。
【难度系数】
0.8
14.计算:$15^2=$
$35^2=$
$55^2=$
(1)你发现了什么规律？
(2)不用计算器直接写出$85^2$,$95^2$的结果。
225
;$25^2=$625
;$35^2=$
1 225
;$45^2=$2 025
;$55^2=$
3 025
。(1)你发现了什么规律？
(2)不用计算器直接写出$85^2$,$95^2$的结果。
答案
225 625 1 225 2 025 3 025
(1)规律:个位数字是5的整数的平方,所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5,其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2)$85^2=7\ 225$,$95^2=9\ 025$。
(1)规律:个位数字是5的整数的平方,所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5,其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2)$85^2=7\ 225$,$95^2=9\ 025$。
解析
【分析】
首先根据乘方的定义，即$a^2=a× a$，依次计算出给出的5个个位为5的数的平方，得到前5个空的答案；接下来观察底数和对应结果的特征：底数都是个位为5的整数，先看结果的后两位，发现均为25，再观察结果中25之前的数位上的数字，对比底数中去掉个位5之后的数字，可发现前者等于后者与比它大1的数的乘积，由此总结出通用规律；最后直接应用总结出的规律，计算$85^2$和$95^2$的结果即可。
【解析】
先计算前5个乘方的结果：
$15^2=15×15=225$；
$25^2=25×25=625$；
$35^2=35×35=1225$；
$45^2=45×45=2025$；
$55^2=55×55=3025$。
(1)观察上述计算结果可发现规律：个位数字是5的整数的平方，所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5，其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2)根据上述规律计算：
计算$85^2$时，除个位外的数字是8，$8×(8+1)=72$，后面拼接25，得$85^2=7225$；
计算$95^2$时，除个位外的数字是9，$9×(9+1)=90$，后面拼接25，得$95^2=9025$。
【答案】
225；625；1225；2025；3025
(1)规律:个位数字是5的整数的平方,所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5,其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2)$85^2=7225$,$95^2=9025$。
【知识点】
有理数的乘方运算；数字规律探究
【点评】
本题以乘方运算为基础，考查学生的观察、归纳与规律应用能力，通过从特殊示例中总结通用规律，再用规律解决同类问题，有助于提升逻辑思维能力。
【难度系数】
0.8
首先根据乘方的定义，即$a^2=a× a$，依次计算出给出的5个个位为5的数的平方，得到前5个空的答案；接下来观察底数和对应结果的特征：底数都是个位为5的整数，先看结果的后两位，发现均为25，再观察结果中25之前的数位上的数字，对比底数中去掉个位5之后的数字，可发现前者等于后者与比它大1的数的乘积，由此总结出通用规律；最后直接应用总结出的规律，计算$85^2$和$95^2$的结果即可。
【解析】
先计算前5个乘方的结果：
$15^2=15×15=225$；
$25^2=25×25=625$；
$35^2=35×35=1225$；
$45^2=45×45=2025$；
$55^2=55×55=3025$。
(1)观察上述计算结果可发现规律：个位数字是5的整数的平方，所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5，其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2)根据上述规律计算：
计算$85^2$时，除个位外的数字是8，$8×(8+1)=72$，后面拼接25，得$85^2=7225$；
计算$95^2$时，除个位外的数字是9，$9×(9+1)=90$，后面拼接25，得$95^2=9025$。
【答案】
225；625；1225；2025；3025
(1)规律:个位数字是5的整数的平方,所得结果的十位数字与个位数字分别是2和5,其他数位上的数等于底数的除个位数字以外的数与比它大1的数的积。
(2)$85^2=7225$,$95^2=9025$。
【知识点】
有理数的乘方运算；数字规律探究
【点评】
本题以乘方运算为基础，考查学生的观察、归纳与规律应用能力，通过从特殊示例中总结通用规律，再用规律解决同类问题，有助于提升逻辑思维能力。
【难度系数】
0.8
15.【综合与实践】已知：$(a × b)^2 = a^2 × b^2$；
$(a × b)^3 = a^3 × b^3$；
$(a × b)^4 = a^4 × b^4$。
（1）用特例验证上述等式是否成立（取$a=1, b=-2$）。
（2）猜想：$(a × b)^{100} =$
$(a × b)^n =$
（3）上述性质可以用来进行积的乘方运算，反之依然成立，即$a^n × b^n = (a × b)^n$，计算：$(-\dfrac{1}{6})^{2026} × 6^{2027}$。
$(a × b)^3 = a^3 × b^3$；
$(a × b)^4 = a^4 × b^4$。
（1）用特例验证上述等式是否成立（取$a=1, b=-2$）。
（2）猜想：$(a × b)^{100} =$
$a^{100}×b^{100}$
；$(a × b)^n =$
$a^n×b^n$
。（3）上述性质可以用来进行积的乘方运算，反之依然成立，即$a^n × b^n = (a × b)^n$，计算：$(-\dfrac{1}{6})^{2026} × 6^{2027}$。
答案
解:(1)略
(2)$a^{100}×b^{100}$ $a^n×b^n$
(3)$(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2027}=(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2026}×6=(-\dfrac{1}{6}×6)^{2026}×6=6$。
(2)$a^{100}×b^{100}$ $a^n×b^n$
(3)$(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2027}=(-\dfrac{1}{6})^{2026}×6^{2026}×6=(-\dfrac{1}{6}×6)^{2026}×6=6$。
解析
【分析】
这道题分三个部分考查乘方运算性质：
（1）验证等式的思路是将指定的a、b值分别代入等式左右两边计算，比较结果是否相等即可判断等式是否成立；
（2）猜想规律需从给出的指数为2、3、4的特殊示例中归纳共性：积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，将规律推广到指数为100和任意正整数n的情况即可；
（3）逆用积的乘方公式时，先把指数不同的幂拆分为同指数幂和底数的乘积，构造出“同指数幂相乘”的形式，再套用逆公式$a^n×b^n=(a×b)^n$简化计算即可。
【解析】
（1）取$a=1$，$b=-2$，分别验证三个等式：
① 验证$(a×b)^2=a^2×b^2$：
左边：$(1×(-2))^2=(-2)^2=4$
右边：$1^2×(-2)^2=1×4=4$，左边=右边，等式成立；
② 验证$(a×b)^3=a^3×b^3$：
左边：$(1×(-2))^3=(-2)^3=-8$
右边：$1^3×(-2)^3=1×(-8)=-8$，左边=右边，等式成立；
③ 验证$(a×b)^4=a^4×b^4$：
左边：$(1×(-2))^4=(-2)^4=16$
右边：$1^4×(-2)^4=1×16=16$，左边=右边，等式成立；
因此上述等式均成立。
（2）根据已知等式的规律归纳可得：
$(a×b)^{100}=a^{100}×b^{100}$，$(a×b)^n=a^n×b^n$（n为正整数）。
（3）逆用积的乘方公式计算：
先将$6^{2027}$拆分为$6^{2026}×6$，则：
$\begin{aligned}(-\dfrac{1}{6})^{2026} × 6^{2027}&=(-\dfrac{1}{6})^{2026} × 6^{2026} × 6\\&=(-\dfrac{1}{6}×6)^{2026} × 6\\&=(-1)^{2026}×6\\&=1×6\\&=6\end{aligned}$
【答案】
（1）上述等式均成立；
（2）$a^{100}×b^{100}$；$a^n×b^n$
（3）$6$
【知识点】
积的乘方运算；乘方公式逆用；有理数乘方计算
【点评】
本题通过从特殊到一般的推理形式，考查积的乘方运算性质的理解与应用，既要求学生具备归纳规律的能力，又要求能灵活逆用公式简化运算，解题核心是抓住积的乘方“指数分配到各因式”的特点，逆用时注意构造相同指数的项，注意负数偶次幂的符号处理，是乘方运算的典型基础题。
【难度系数】
0.7
这道题分三个部分考查乘方运算性质：
（1）验证等式的思路是将指定的a、b值分别代入等式左右两边计算，比较结果是否相等即可判断等式是否成立；
（2）猜想规律需从给出的指数为2、3、4的特殊示例中归纳共性：积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，将规律推广到指数为100和任意正整数n的情况即可；
（3）逆用积的乘方公式时，先把指数不同的幂拆分为同指数幂和底数的乘积，构造出“同指数幂相乘”的形式，再套用逆公式$a^n×b^n=(a×b)^n$简化计算即可。
【解析】
（1）取$a=1$，$b=-2$，分别验证三个等式：
① 验证$(a×b)^2=a^2×b^2$：
左边：$(1×(-2))^2=(-2)^2=4$
右边：$1^2×(-2)^2=1×4=4$，左边=右边，等式成立；
② 验证$(a×b)^3=a^3×b^3$：
左边：$(1×(-2))^3=(-2)^3=-8$
右边：$1^3×(-2)^3=1×(-8)=-8$，左边=右边，等式成立；
③ 验证$(a×b)^4=a^4×b^4$：
左边：$(1×(-2))^4=(-2)^4=16$
右边：$1^4×(-2)^4=1×16=16$，左边=右边，等式成立；
因此上述等式均成立。
（2）根据已知等式的规律归纳可得：
$(a×b)^{100}=a^{100}×b^{100}$，$(a×b)^n=a^n×b^n$（n为正整数）。
（3）逆用积的乘方公式计算：
先将$6^{2027}$拆分为$6^{2026}×6$，则：
$\begin{aligned}(-\dfrac{1}{6})^{2026} × 6^{2027}&=(-\dfrac{1}{6})^{2026} × 6^{2026} × 6\\&=(-\dfrac{1}{6}×6)^{2026} × 6\\&=(-1)^{2026}×6\\&=1×6\\&=6\end{aligned}$
【答案】
（1）上述等式均成立；
（2）$a^{100}×b^{100}$；$a^n×b^n$
（3）$6$
【知识点】
积的乘方运算；乘方公式逆用；有理数乘方计算
【点评】
本题通过从特殊到一般的推理形式，考查积的乘方运算性质的理解与应用，既要求学生具备归纳规律的能力，又要求能灵活逆用公式简化运算，解题核心是抓住积的乘方“指数分配到各因式”的特点，逆用时注意构造相同指数的项，注意负数偶次幂的符号处理，是乘方运算的典型基础题。
【难度系数】
0.7
