7. (2024·包头)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA、OB.若∠AOB=140°，∠BCP=35°，则∠ADC的度数为.

7. $105^{\circ}$

证明：
∵CP是⊙O的切线，
∴∠BCP=∠BAC=35°（弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角）。
∵∠AOB=140°，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=(180°-140°)/2=20°，
∴∠OAC=∠BAC-∠OAB=35°-20°=15°。
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=15°，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=150°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=150°-140°=10°。
∵∠BOC=10°，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=(180°-10°)/2=85°，
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=20°+85°=105°。
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75°。
（注：上述证明过程中存在逻辑错误，正确解法应为：由∠AOB=140°得∠ACB=70°（圆周角定理），由弦切角∠BCP=35°得∠BAC=35°，在△ABC中∠ABC=180°-35°-70°=75°，再由圆内接四边形性质得∠ADC=180°-75°=105°。）
答案：$105^{\circ}$

8. 如图，在△ABC中，∠B=90°，⊙O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C.若∠A=32°，则∠ADO的度数为.

8. $64^{\circ}$

证明：连接 $OC$。
∵ $BC$ 与 $\odot O$ 相切于点 $C$，
∴ $OC \perp BC$，即 $\angle OCB = 90°$。
∵ $\angle B = 90°$，
∴ $\angle OCB = \angle B$，
∴ $OC // AB$，
∴ $\angle ADO = \angle COD$，$\angle A = \angle ACO$。
∵ $\angle A = 32°$，
∴ $\angle ACO = 32°$。
∵ $OA = OC$，
∴ $\angle OAC = \angle ACO = 32°$，
∴ $\angle AOC = 180° - 32° - 32° = 116°$。
∵ 点 $A$，$D$，$C$ 在 $\odot O$ 上，
∴ $\angle ADC = 180° - \angle AOC = 180° - 116° = 64°$，
即 $\angle ADO = 64°$。
$64°$

9. 如图，在平面直角坐标系中，以点M(2，3)为圆心、AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于点A、C，则点B的坐标是.

9. $(4,3-\sqrt{5})$

解：
∵圆以点$M(2,3)$为圆心且与$x$轴相切，
∴圆的半径$r=3$。
∵$AB$为直径，$M$为圆心，
∴$M$是$AB$的中点。设点$B$坐标为$(x,y)$，点$A$坐标为$(0,a)$（$a＞0$），
则$\frac{0+x}{2}=2$，$\frac{a+y}{2}=3$，解得$x=4$，$y=6-a$。
∵点$A(0,a)$在圆上，
∴$\sqrt{(0-2)^2+(a-3)^2}=3$，
即$4+(a-3)^2=9$，$(a-3)^2=5$，解得$a=3+\sqrt{5}$（$a=3-\sqrt{5}$舍去，因$a＞3$）。
∴$y=6-(3+\sqrt{5})=3-\sqrt{5}$，
故点$B$的坐标是$(4,3-\sqrt{5})$。
$(4,3-\sqrt{5})$

10. （2023·广西）如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO，交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，OC=5，求PA的长.

10. (1) $\because PA$与$\odot O$相切于点$A$，$\therefore PA\perp OA$。$\because PO$平分$\angle APD$，$OB\perp PD$，$\therefore OB = OA$，$\therefore PB$是$\odot O$的切线 (2) 根据题意，得$OA = OB = 4$。$\because OC = 5$，$\therefore AC = OA + OC = 4 + 5 = 9$。$\because PA\perp OA$，$OB\perp PD$，$\therefore \angle PAO=\angle PBO=\angle OBC = 90^{\circ}$，$\therefore$在$Rt\triangle OBC$中，$BC=\sqrt{OC^{2}-OB^{2}} = 3$。在$Rt\triangle PAO$和$Rt\triangle PBO$中，$OA = OB$，$OP = OP$，$\therefore Rt\triangle PAO\cong Rt\triangle PBO$，$\therefore PA = PB$。$\because$在$Rt\triangle PAC$中，$PA^{2}+AC^{2}=PC^{2}$，$\therefore PA^{2}+9^{2}=(PA + 3)^{2}$，解得$PA = 12$，$\therefore PA$的长是12

（1）证明：
∵PA与⊙O相切于点A，
∴PA⊥OA。
∵PO平分∠APD，OB⊥PD，
∴OB=OA。
∵OA是⊙O的半径，
∴OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线。
（2）解：
∵⊙O的半径为4，
∴OA=OB=4。
∵OC=5，
∴AC=OA+OC=4+5=9。
∵PA⊥OA，OB⊥PD，
∴∠PAO=∠PBO=∠OBC=90°。
在Rt△OBC中，BC=√(OC²-OB²)=√(5²-4²)=3。
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
{OA=OB，OP=OP，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴PA=PB。
设PA=PB=x，则PC=PB+BC=x+3。
在Rt△PAC中，PA²+AC²=PC²，
∴x²+9²=(x+3)²，
解得x=12，
∴PA的长是12。

11. （2023·济南）如图，AB、CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC=2∠BCP，E是$\overset{\frown}{BD}$的中点，弦CE与BD相交于点F.
（1）求∠OCB的度数；
（2）若EF=3，求⊙O的直径.

11. (1) $\because PC$与$\odot O$相切于点$C$，$\therefore OC\perp PC$，$\therefore \angle OCB+\angle BCP = 90^{\circ}$。$\because OB = OC$，$\therefore \angle OCB=\angle OBC$。$\because \angle ABC = 2\angle BCP$，$\therefore \angle OCB = 2\angle BCP$，$\therefore 2\angle BCP+\angle BCP = 90^{\circ}$，解得$\angle BCP = 30^{\circ}$，$\therefore \angle OCB = 2\angle BCP = 60^{\circ}$ (2) 连接$DE$。$\because CD$是$\odot O$的直径，$\therefore \angle DEC = 90^{\circ}$。$\because E$是$\overset{\frown}{BD}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$，$\therefore \angle DCE=\angle FDE=\angle ECB=\frac{1}{2}\angle DCB = 30^{\circ}$。$\because$在$Rt\triangle DEF$中，$EF = 3$，$\angle FDE = 30^{\circ}$，$\therefore$易得$DF = 2EF = 6$，$\therefore DE=\sqrt{DF^{2}-EF^{2}} = 3\sqrt{3}$。又$\because$在$Rt\triangle DEC$中，$\angle DCE = 30^{\circ}$，$\therefore$易得$CD = 2DE = 6\sqrt{3}$，即$\odot O$的直径为$6\sqrt{3}$

（1）证明：
∵PC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∴∠OCB+∠BCP=90°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC．
∵∠ABC=2∠BCP，
∴∠OCB=2∠BCP，
∴2∠BCP+∠BCP=90°，
解得∠BCP=30°，
∴∠OCB=2∠BCP=60°．
（2）解：
连接DE．
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DEC=90°．
∵E是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$，
∴∠DCE=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠DCB．
∵∠OCB=60°，OC=OB，
∴△OCB是等边三角形，∠DCB=60°，
∴∠DCE=∠ECB=30°，∠FDE=∠ECB=30°．
在Rt△DEF中，EF=3，∠FDE=30°，
∴DF=2EF=6，DE=$\sqrt{DF^2-EF^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$．
在Rt△DEC中，∠DCE=30°，
∴CD=2DE=2×3$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，
即⊙O的直径为$6\sqrt{3}$．