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1. 下列四边形中，一定有内切圆的是(
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.等腰梯形
C
)A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.等腰梯形
答案
1. C
2. (2023·聊城)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB、IA. 若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为(
A.15°
B.17.5°
C.20°
D.25°
C
)A.15°
B.17.5°
C.20°
D.25°
答案
2. C
解析
证明：
∵点$I$是$\triangle ABC$的内心，
∴$IA$平分$\angle BAC$。
∵$\angle CAI = 35°$，
∴$\angle BAC = 2\angle CAI = 70°$。
∵点$O$是$\triangle ABC$外接圆的圆心，
∴$\angle BOC = 2\angle BAC = 140°$（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。
∵$OB = OC$（半径相等），
∴$\triangle OBC$是等腰三角形，$\angle OBC = \angle OCB$。
在$\triangle OBC$中，
$\angle OBC = \frac{180° - \angle BOC}{2} = \frac{180° - 140°}{2} = 20°$。
答案：C
∵点$I$是$\triangle ABC$的内心，
∴$IA$平分$\angle BAC$。
∵$\angle CAI = 35°$，
∴$\angle BAC = 2\angle CAI = 70°$。
∵点$O$是$\triangle ABC$外接圆的圆心，
∴$\angle BOC = 2\angle BAC = 140°$（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。
∵$OB = OC$（半径相等），
∴$\triangle OBC$是等腰三角形，$\angle OBC = \angle OCB$。
在$\triangle OBC$中，
$\angle OBC = \frac{180° - \angle BOC}{2} = \frac{180° - 140°}{2} = 20°$。
答案：C
3. 如图，△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D、E、F，连接EF、DE、DF，作∠ABC的平分线BP. 有下列说法：①射线BP一定过点O；②O是△DEF三条中线的交点；③若△ABC是等边三角形，则DE=$\frac{1}{2}$BC；④O不是△DEF三条边的垂直平分线的交点. 其中，正确的是
①③
(填序号).答案
3. ①③
解析
证明：①
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴点O为△ABC的内心，即三条角平分线的交点，
∵BP平分∠ABC，
∴射线BP一定过点O，①正确；
②
∵⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，OD=OE=OF，
∴O为△DEF的外心，即三条边垂直平分线的交点，不是三条中线的交点，②错误；
③若△ABC是等边三角形，设边长为a，内切圆半径为r，连接OD、OE，OD⊥AB，OE⊥AC，∠A=60°，
∴∠DOE=120°，OD=OE=r，DE²=r²+r²-2r²cos120°=3r²，DE=√3r，又BC=a，r=√3a/6，
∴DE=√3×√3a/6=a/2=1/2BC，③正确；
④由②知O为△DEF的外心，即三条边垂直平分线的交点，④错误。
正确的是①③。
答案：①③
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴点O为△ABC的内心，即三条角平分线的交点，
∵BP平分∠ABC，
∴射线BP一定过点O，①正确；
②
∵⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，OD=OE=OF，
∴O为△DEF的外心，即三条边垂直平分线的交点，不是三条中线的交点，②错误；
③若△ABC是等边三角形，设边长为a，内切圆半径为r，连接OD、OE，OD⊥AB，OE⊥AC，∠A=60°，
∴∠DOE=120°，OD=OE=r，DE²=r²+r²-2r²cos120°=3r²，DE=√3r，又BC=a，r=√3a/6，
∴DE=√3×√3a/6=a/2=1/2BC，③正确；
④由②知O为△DEF的外心，即三条边垂直平分线的交点，④错误。
正确的是①③。
答案：①③
4. (2023·镇江)已知直角三角形的两条直角边的长分别是8和15，则该三角形内切圆的直径为
6
.答案
4. 6
解析
直角三角形的斜边长为$\sqrt{8^{2}+15^{2}}=\sqrt{64 + 225}=\sqrt{289}=17$。
内切圆半径$r=\frac{8 + 15 - 17}{2}=\frac{6}{2}=3$。
内切圆直径为$2r = 2×3=6$。
6
内切圆半径$r=\frac{8 + 15 - 17}{2}=\frac{6}{2}=3$。
内切圆直径为$2r = 2×3=6$。
6
5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，连接BD并延长至点F，使得BD=DF，连接CF、BE. 求证：
（1）DB=DE；
（2）直线CF为⊙O的切线.
（1）DB=DE；
（2）直线CF为⊙O的切线.
答案
5. (1)
∵ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠DBC = ∠EAC$。
∵ 点 $E$ 是 $△ABC$ 的内心，
∴ $∠BAE = ∠EAC$，$∠EBA = ∠EBC$，
∴ $∠BAE = ∠DBC$。
∵ $∠DEB = ∠BAE + ∠EBA$，$∠DBE = ∠EBC + ∠DBC$，
∴ $∠DBE = ∠DEB$，
∴ $DB = DE$
(2) 连接 $CD$。
∵ 点 $E$ 是 $△ABC$ 的内心，
∴ $∠DAB = ∠DAC$，
∴ 易得 $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $BD = CD$。
∵ $BD = DF$，
∴ $CD = BD = DF$，
∴ $∠BCD = ∠CBD$，$∠DCF = ∠F$。
∵ $△BCF$ 的内角和为 $180^{\circ}$，
∴ 易得 $∠BCF = 90^{\circ}$，
∴ $BC⊥CF$。又
∵ $BC$ 为 $⊙O$ 的直径，
∴ 直线 $CF$ 为 $⊙O$ 的切线
∵ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠DBC = ∠EAC$。
∵ 点 $E$ 是 $△ABC$ 的内心，
∴ $∠BAE = ∠EAC$，$∠EBA = ∠EBC$，
∴ $∠BAE = ∠DBC$。
∵ $∠DEB = ∠BAE + ∠EBA$，$∠DBE = ∠EBC + ∠DBC$，
∴ $∠DBE = ∠DEB$，
∴ $DB = DE$
(2) 连接 $CD$。
∵ 点 $E$ 是 $△ABC$ 的内心，
∴ $∠DAB = ∠DAC$，
∴ 易得 $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $BD = CD$。
∵ $BD = DF$，
∴ $CD = BD = DF$，
∴ $∠BCD = ∠CBD$，$∠DCF = ∠F$。
∵ $△BCF$ 的内角和为 $180^{\circ}$，
∴ 易得 $∠BCF = 90^{\circ}$，
∴ $BC⊥CF$。又
∵ $BC$ 为 $⊙O$ 的直径，
∴ 直线 $CF$ 为 $⊙O$ 的切线
6. (2024·滨州)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB、BC、CA的长分别为c、a、b，则可以用含c、a、b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是(
A.$d = a + b - c$
B.$d=\frac{2ab}{a + b + c}$
C.$d=\sqrt{2(c - a)(c - b)}$
D.$d = |(a - b)(c - b)|$
D
)A.$d = a + b - c$
B.$d=\frac{2ab}{a + b + c}$
C.$d=\sqrt{2(c - a)(c - b)}$
D.$d = |(a - b)(c - b)|$
答案
6. D 解析：采用特殊值法求解。根据题意，不妨令 $a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则选项 A 中 $d = a + b - c = 2$，选项 B 中 $d = \frac{2ab}{a + b + c} = 2$，选项 C 中 $d = \sqrt{2(c - a)(c - b)} = 2$，选项 D 中 $d = |(a - b)(c - b)| = 1$。
∵ 只有选项 D 的答案跟其他选项不一致，
∴ 表达式错误的是选项 D。
∵ 只有选项 D 的答案跟其他选项不一致，
∴ 表达式错误的是选项 D。
