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7. 已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为(
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
C
)A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
7. C 解析：令 $AB = 5$，$BC = 7$，$AC = 8$。过点 $C$ 作 $CD⊥AB$，垂足为 $D$。设 $△ABC$ 的内切圆的半径为 $r$，$AD = x$，则 $BD = 5 - x$。由勾股定理，得 $CD^{2} = AC^{2} - AD^{2}$，$CD^{2} = BC^{2} - BD^{2}$，
∴ $8^{2} - x^{2} = 7^{2} - (5 - x)^{2}$，解得 $x = 4$。
∴ $CD = \sqrt{AC^{2} - AD^{2}} = 4\sqrt{3}$。
∵ $S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB·CD = \frac{1}{2}(AB + BC + AC)·r$，
∴ $\frac{1}{2}×5×4\sqrt{3} = \frac{1}{2}×(5 + 7 + 8)r$，
∴ $r = \sqrt{3}$。
∴ $8^{2} - x^{2} = 7^{2} - (5 - x)^{2}$，解得 $x = 4$。
∴ $CD = \sqrt{AC^{2} - AD^{2}} = 4\sqrt{3}$。
∵ $S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB·CD = \frac{1}{2}(AB + BC + AC)·r$，
∴ $\frac{1}{2}×5×4\sqrt{3} = \frac{1}{2}×(5 + 7 + 8)r$，
∴ $r = \sqrt{3}$。
8. 如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在平面直角坐标系中的坐标分别为(3，6)、(-3，3)、(7，-2)，则△ABC的内心的坐标为
(2,3)
.答案
8. $(2,3)$
9. (2023·攀枝花)已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为$\pi r^{2}$，则△ABC的面积为
$\frac{1}{2}rl$
.答案
9. $\frac{1}{2}rl$
10. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，连接AC，则∠CDE的度数为
$68^{\circ}$
.答案
10. $68^{\circ}$
解析
证明：
∵点$I$是$\triangle ABC$的内心，
∴$\angle IAC = \frac{1}{2}\angle BAC$，$\angle ICA = \frac{1}{2}\angle BCA$。
在$\triangle AIC$中，$\angle AIC = 124°$，
∴$\angle IAC + \angle ICA = 180° - 124° = 56°$，
∴$\angle BAC + \angle BCA = 2(\angle IAC + \angle ICA) = 112°$，
∴$\angle ABC = 180° - (\angle BAC + \angle BCA) = 68°$。
∵四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
∴$\angle ABC + \angle ADC = 180°$。
又
∵$\angle CDE + \angle ADC = 180°$，
∴$\angle CDE = \angle ABC = 68°$。
$68°$
∵点$I$是$\triangle ABC$的内心，
∴$\angle IAC = \frac{1}{2}\angle BAC$，$\angle ICA = \frac{1}{2}\angle BCA$。
在$\triangle AIC$中，$\angle AIC = 124°$，
∴$\angle IAC + \angle ICA = 180° - 124° = 56°$，
∴$\angle BAC + \angle BCA = 2(\angle IAC + \angle ICA) = 112°$，
∴$\angle ABC = 180° - (\angle BAC + \angle BCA) = 68°$。
∵四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
∴$\angle ABC + \angle ADC = 180°$。
又
∵$\angle CDE + \angle ADC = 180°$，
∴$\angle CDE = \angle ABC = 68°$。
$68°$
11. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.
（1）求证：四边形CFDE是正方形；
（2）若AC=6，BC=8，求△ABC的内切圆的周长.
（1）求证：四边形CFDE是正方形；
（2）若AC=6，BC=8，求△ABC的内切圆的周长.
答案
11. (1) 如图，过点 $D$ 作 $DN⊥AB$ 于点 $N$。
∵ $∠C = 90^{\circ}$，$DE⊥BC$，$DF⊥AC$，
∴ $∠C = ∠DEC = ∠DFC = 90^{\circ}$，
∴ 四边形 $CFDE$ 是矩形。
∵ $∠BAC$、$∠ABC$ 的平分线交于点 $D$，$DE⊥BC$，$DF⊥AC$，$DN⊥AB$，
∴ $DE = DN$，$DN = DF$，
∴ $DF = DE$，
∴ 四边形 $CFDE$ 是正方形
(2) 在 $Rt△ABC$ 中，$AC = 6$，$BC = 8$，根据勾股定理，得 $AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = 10$。设 $△ABC$ 的内切圆的半径为 $r$。
∵ $S_{△ABC} = \frac{1}{2}AC·BC = \frac{1}{2}r·(AC + BC + AB)$，
∴ $\frac{1}{2}×6×8 = \frac{1}{2}r·(6 + 8 + 10)$，解得 $r = 2$。
∴ $△ABC$ 的内切圆的周长为 $2π×2 = 4π$
12. （2024·烟台）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是$\widehat{BC}$上任意一点，连接AD、BD、BE、CE.
（1）若∠ABC=25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并说明理由.
（1）若∠ABC=25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并说明理由.
答案
12. (1)
∵ $AB$ 是 $⊙O$ 的直径，
∴ $∠ADB = ∠ACB = 90^{\circ}$。
∵ $∠ABC = 25^{\circ}$，
∴ $∠CAB = 90^{\circ} - 25^{\circ} = 65^{\circ}$。
∵ 四边形 $ABEC$ 是 $⊙O$ 的内接四边形，
∴ $∠CEB + ∠CAB = 180^{\circ}$，
∴ $∠CEB = 180^{\circ} - ∠CAB = 115^{\circ}$
(2) $DI = AD = BD$ 理由：连接 $AI$。
∵ 点 $I$ 为 $△ABC$ 的内心，
∴ $∠CAI = ∠BAI$，$∠ACI = ∠BCI$，
∴ $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠DAB = ∠DCB = ∠ACI$，$AD = BD$。
∵ $∠DAI = ∠DAB + ∠BAI$，$∠DIA = ∠ACI + ∠CAI$，
∴ $∠DAI = ∠DIA$，
∴ $DI = AD$，
∴ $DI = AD = BD$。
∵ $AB$ 是 $⊙O$ 的直径，
∴ $∠ADB = ∠ACB = 90^{\circ}$。
∵ $∠ABC = 25^{\circ}$，
∴ $∠CAB = 90^{\circ} - 25^{\circ} = 65^{\circ}$。
∵ 四边形 $ABEC$ 是 $⊙O$ 的内接四边形，
∴ $∠CEB + ∠CAB = 180^{\circ}$，
∴ $∠CEB = 180^{\circ} - ∠CAB = 115^{\circ}$
(2) $DI = AD = BD$ 理由：连接 $AI$。
∵ 点 $I$ 为 $△ABC$ 的内心，
∴ $∠CAI = ∠BAI$，$∠ACI = ∠BCI$，
∴ $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠DAB = ∠DCB = ∠ACI$，$AD = BD$。
∵ $∠DAI = ∠DAB + ∠BAI$，$∠DIA = ∠ACI + ∠CAI$，
∴ $∠DAI = ∠DIA$，
∴ $DI = AD$，
∴ $DI = AD = BD$。
