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36. 【探究题】观察下列运算:
由 $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)= 1$, 得 $\frac{1}{\sqrt{2}+1}= \sqrt{2}-1$;
由 $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})= 1$, 得 $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}= $ $\sqrt{3}-\sqrt{2}$;
由 $(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})= 1$, 得 $\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}= $ $\sqrt{4}-\sqrt{3}$;
...
(1) 通过观察, 你能得出什么规律?
(2) 利用 (1) 中你发现的规律计算: $\left(\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\right.$ $\left.\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+…+\frac{1}{\sqrt{2020}+\sqrt{2019}}\right)(1+$ $\sqrt{2020})$.
由 $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)= 1$, 得 $\frac{1}{\sqrt{2}+1}= \sqrt{2}-1$;
由 $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})= 1$, 得 $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}= $ $\sqrt{3}-\sqrt{2}$;
由 $(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})= 1$, 得 $\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}= $ $\sqrt{4}-\sqrt{3}$;
...
(1) 通过观察, 你能得出什么规律?
可以发现$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$与$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$互为倒数，即$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$．
(2) 利用 (1) 中你发现的规律计算: $\left(\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\right.$ $\left.\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+…+\frac{1}{\sqrt{2020}+\sqrt{2019}}\right)(1+$ $\sqrt{2020})$.
2019
答案
解：(1)可以发现$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$与$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$互为倒数，即$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$． (2)由(1)得$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$，$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，…，$\frac{1}{\sqrt{2020}+\sqrt{2019}}=\sqrt{2020}-\sqrt{2019}$．$\therefore$原式$=[(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{2020}-\sqrt{2019})](1+\sqrt{2020})=(\sqrt{2020}-1)(\sqrt{2020}+1)=(\sqrt{2020})^{2}-1^{2}=2020-1=2019$．
1. (百色中考) 下列各式计算正确的是 (
A.$3^3= 9$
B.$(a-b)^2= a^2-b^2$
C.$2 \sqrt{2}+3 \sqrt{2}= 5 \sqrt{2}$
D.$\left(2 a^2 b\right)^3= 8 a^8 b^3$
C
)A.$3^3= 9$
B.$(a-b)^2= a^2-b^2$
C.$2 \sqrt{2}+3 \sqrt{2}= 5 \sqrt{2}$
D.$\left(2 a^2 b\right)^3= 8 a^8 b^3$
答案
C
2. (武威中考) 下列运算正确的是 (
A.$\sqrt{3}+\sqrt{3}= 3$
B.$4 \sqrt{5}-\sqrt{5}= 4$
C.$\sqrt{3} × \sqrt{2}= \sqrt{6}$
D.$\sqrt{32} ÷ \sqrt{8}= 4$
C
)A.$\sqrt{3}+\sqrt{3}= 3$
B.$4 \sqrt{5}-\sqrt{5}= 4$
C.$\sqrt{3} × \sqrt{2}= \sqrt{6}$
D.$\sqrt{32} ÷ \sqrt{8}= 4$
答案
C
3. (梧州中考) 下列计算正确的是 (
A.$\sqrt{12}= 3 \sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}+\sqrt{3}= \sqrt{5}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{2}= \sqrt{3}$
D.$(\sqrt{2})^2= 2$
D
)A.$\sqrt{12}= 3 \sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}+\sqrt{3}= \sqrt{5}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{2}= \sqrt{3}$
D.$(\sqrt{2})^2= 2$
答案
D
4. (柳州中考) 下列计算正确的是 (
A.$\sqrt{3}+\sqrt{7}= \sqrt{10}$
B.$3+\sqrt{7}= 3 \sqrt{7}$
C.$\sqrt{3} × \sqrt{7}= \sqrt{21}$
D.$2 \sqrt{7}-2= \sqrt{7}$
C
)A.$\sqrt{3}+\sqrt{7}= \sqrt{10}$
B.$3+\sqrt{7}= 3 \sqrt{7}$
C.$\sqrt{3} × \sqrt{7}= \sqrt{21}$
D.$2 \sqrt{7}-2= \sqrt{7}$
答案
C
5. (荆州中考) 若 $x$ 为实数, 在 $(\sqrt{3}+1) □ x$ 的 “ $□$ ”中添上一种运算符号 (在 $+,-, ×, ÷$ 中选择) 后, 其运算的结果是有理数, 则 $x$ 不可能是 (
A.$\sqrt{3}+1$
B.$\sqrt{3}-1$
C.$2 \sqrt{3}$
D.$1-\sqrt{3}$
C
)A.$\sqrt{3}+1$
B.$\sqrt{3}-1$
C.$2 \sqrt{3}$
D.$1-\sqrt{3}$
答案
C
6. (南京中考) 计算 $\sqrt{8}-\sqrt{\frac{9}{2}}$ 的结果是
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
.答案
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
7. (岳阳中考) 已知 $x+\frac{1}{x}= \sqrt{2}$, 则代数式 $x+$ $\frac{1}{x}-\sqrt{2}= $
0
.答案
0
8. (重庆中考) 估计 $\sqrt{5} ×\left(\sqrt{6}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ 的值应在 (
A.4 和 5 之间
B.5 和 6 之间
C.6 和 7 之间
D.7 和 8 之间
A
)A.4 和 5 之间
B.5 和 6 之间
C.6 和 7 之间
D.7 和 8 之间
答案
A
9. (荆州中考) 已知 $k= \sqrt{2} ×(\sqrt{5}+\sqrt{3}) ×$ $(\sqrt{5}-\sqrt{3})$, 则与 $k$ 最接近的整数为 (
A.2
B.3
C.4
D.5
B
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
B
10. (威海中考) 计算 $\sqrt{24}-\sqrt{\frac{6}{5}} × \sqrt{45}$ 的结果是
$-\sqrt{6}$
.答案
$-\sqrt{6}$
11. (铜仁中考) 计算 $(\sqrt{27}+\sqrt{18})(\sqrt{3}-\sqrt{2})= $
3
.答案
3
12. (南京中考) 计算 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{12}}$ 的结果是
$\frac{1}{3}$
.答案
$\frac{1}{3}$
13. (河池中考) 计算: $(-3)^0+\sqrt{8}+(-3)^2-$ $4 × \frac{\sqrt{2}}{2}$.
答案
解：原式$=1+2\sqrt{2}+9-2\sqrt{2}=10$．
