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5 $-\sqrt{6}$的相反数是
√6
，$\frac{1}{π}$的倒数是π
，$|\sqrt{3} - π| =$π - √3
.答案
5.√6；π；π−√3
解析
【分析】
解决本题需要分别运用相反数、倒数、绝对值的相关概念，解题思路如下：①求一个数的相反数，只需根据“a的相反数是-a”，给原数添加负号后化简即可；②求一个非零数的倒数，根据“互为倒数的两数乘积为1”，用1除以原数化简即可；③求含根式的绝对值，先判断绝对值符号内算式的正负，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去绝对值符号计算。
【解析】
1. 求$-\sqrt{6}$的相反数：根据相反数的定义，$-\sqrt{6}$的相反数为$-(-\sqrt{6})=\sqrt{6}$；
2. 求$\frac{1}{π}$的倒数：根据倒数的定义，$\frac{1}{π}$的倒数为$1÷\frac{1}{π}=π$；
3. 求$|\sqrt{3} - π|$：因为$\sqrt{3}\approx1.732$，$π\approx3.14$，所以$\sqrt{3}-π＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|\sqrt{3}-π|=-(\sqrt{3}-π)=π-\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{6}$；$π$；$π-\sqrt{3}$
【知识点】
相反数的定义；倒数的定义；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查实数的相关基本性质，熟练掌握相反数、倒数、绝对值的定义及运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题需要分别运用相反数、倒数、绝对值的相关概念，解题思路如下：①求一个数的相反数，只需根据“a的相反数是-a”，给原数添加负号后化简即可；②求一个非零数的倒数，根据“互为倒数的两数乘积为1”，用1除以原数化简即可；③求含根式的绝对值，先判断绝对值符号内算式的正负，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去绝对值符号计算。
【解析】
1. 求$-\sqrt{6}$的相反数：根据相反数的定义，$-\sqrt{6}$的相反数为$-(-\sqrt{6})=\sqrt{6}$；
2. 求$\frac{1}{π}$的倒数：根据倒数的定义，$\frac{1}{π}$的倒数为$1÷\frac{1}{π}=π$；
3. 求$|\sqrt{3} - π|$：因为$\sqrt{3}\approx1.732$，$π\approx3.14$，所以$\sqrt{3}-π＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|\sqrt{3}-π|=-(\sqrt{3}-π)=π-\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{6}$；$π$；$π-\sqrt{3}$
【知识点】
相反数的定义；倒数的定义；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查实数的相关基本性质，熟练掌握相反数、倒数、绝对值的定义及运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6 数学课上,为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上表示,张老师做了如图所示的演示,把直径为1个单位长度的圆沿数轴从表示-1的点无滑动地顺时针滚动一周,到达点A,则点A表示的数是
π - 1
.答案
6.π−1
解析
【分析】
解题时首先要明确：圆在数轴上无滑动滚动一周时，滚动过的距离等于圆的周长。第一步先根据圆的直径计算出周长，第二步结合滚动的起点位置（表示-1的点）和滚动方向（向右），用起点对应的数加上滚动的距离，即可得到点A表示的数。
【解析】
1. 计算圆的周长：已知圆的直径为1个单位长度，根据圆的周长公式$C=π d$，可得周长$C=π × 1=π$，即圆滚动一周向右移动的距离为$π$个单位长度。
2. 计算点A对应的数：圆从数轴上表示-1的点开始向右移动$π$个单位长度，因此点A表示的数为$-1+π=π-1$。
【答案】
$π-1$
【知识点】
圆的周长计算；数轴的应用；无理数的表示
【点评】
本题将几何图形的运动和数轴知识相结合，直观展现了无理数也可以在数轴上表示出来，解题的核心是准确理解无滑动滚动一周的长度等于圆的周长，再结合数轴上点的平移规律计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：圆在数轴上无滑动滚动一周时，滚动过的距离等于圆的周长。第一步先根据圆的直径计算出周长，第二步结合滚动的起点位置（表示-1的点）和滚动方向（向右），用起点对应的数加上滚动的距离，即可得到点A表示的数。
【解析】
1. 计算圆的周长：已知圆的直径为1个单位长度，根据圆的周长公式$C=π d$，可得周长$C=π × 1=π$，即圆滚动一周向右移动的距离为$π$个单位长度。
2. 计算点A对应的数：圆从数轴上表示-1的点开始向右移动$π$个单位长度，因此点A表示的数为$-1+π=π-1$。
【答案】
$π-1$
【知识点】
圆的周长计算；数轴的应用；无理数的表示
【点评】
本题将几何图形的运动和数轴知识相结合，直观展现了无理数也可以在数轴上表示出来，解题的核心是准确理解无滑动滚动一周的长度等于圆的周长，再结合数轴上点的平移规律计算即可。
【难度系数】
0.7
7 用“＜”连接下列各数：$-\dfrac{1}{2}$，$\sqrt{3}$，$-2\sqrt{2}$，$2.5$，$0$。
答案
7.解:$-2\sqrt{2} ＜ -\dfrac{1}{2} ＜ 0 ＜ \sqrt{3} ＜ 2.5$。
解析
【分析】
要比较这些实数的大小，首先遵循实数比较大小的基本思路：①先将数分为负数、0、正数三类，根据“负数＜0＜正数”确定整体的大小区间；②负数部分：按照“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的规则比较，需要先估算无理数$-2\sqrt{2}$的近似值，计算两个负数的绝对值再比较；③正数部分：估算$\sqrt{3}$的近似值，再和2.5比较大小，最后将所有数按从小到大顺序串联即可。
【解析】
第一步：估算无理数的近似值
已知$\sqrt{2}≈1.414$，因此$-2\sqrt{2}≈-2×1.414=-2.828$；$\sqrt{3}≈1.732$；$-\dfrac{1}{2}=-0.5$。
第二步：分组比较大小
①负数组比较：$\left|-2\sqrt{2}\right|≈2.828$，$\left|-\dfrac{1}{2}\right|=0.5$，因为$2.828＞0.5$，根据两个负数比较、绝对值大的反而小的规则，可得$-2\sqrt{2}＜-\dfrac{1}{2}$；
②结合负数小于0的规则，可得$-2\sqrt{2}＜-\dfrac{1}{2}＜0$；
③正数组比较：$\sqrt{3}≈1.732＜2.5$，且正数都大于0，可得$0＜\sqrt{3}＜2.5$。
第三步：整合排序
将所有数按从小到大的顺序用“＜”连接即可。
【答案】
$-2\sqrt{2} ＜ -\dfrac{1}{2} ＜ 0 ＜ \sqrt{3} ＜ 2.5$
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 无理数估算
3. 负数比较规则
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，解题核心是先按数的正负分类缩小比较范围，再分别对负数、正数组排序，无理数可通过估算近似值简化比较过程，是实数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
要比较这些实数的大小，首先遵循实数比较大小的基本思路：①先将数分为负数、0、正数三类，根据“负数＜0＜正数”确定整体的大小区间；②负数部分：按照“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的规则比较，需要先估算无理数$-2\sqrt{2}$的近似值，计算两个负数的绝对值再比较；③正数部分：估算$\sqrt{3}$的近似值，再和2.5比较大小，最后将所有数按从小到大顺序串联即可。
【解析】
第一步：估算无理数的近似值
已知$\sqrt{2}≈1.414$，因此$-2\sqrt{2}≈-2×1.414=-2.828$；$\sqrt{3}≈1.732$；$-\dfrac{1}{2}=-0.5$。
第二步：分组比较大小
①负数组比较：$\left|-2\sqrt{2}\right|≈2.828$，$\left|-\dfrac{1}{2}\right|=0.5$，因为$2.828＞0.5$，根据两个负数比较、绝对值大的反而小的规则，可得$-2\sqrt{2}＜-\dfrac{1}{2}$；
②结合负数小于0的规则，可得$-2\sqrt{2}＜-\dfrac{1}{2}＜0$；
③正数组比较：$\sqrt{3}≈1.732＜2.5$，且正数都大于0，可得$0＜\sqrt{3}＜2.5$。
第三步：整合排序
将所有数按从小到大的顺序用“＜”连接即可。
【答案】
$-2\sqrt{2} ＜ -\dfrac{1}{2} ＜ 0 ＜ \sqrt{3} ＜ 2.5$
【知识点】
1. 实数大小比较
2. 无理数估算
3. 负数比较规则
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，解题核心是先按数的正负分类缩小比较范围，再分别对负数、正数组排序，无理数可通过估算近似值简化比较过程，是实数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
8 计算:
(1)$3\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$;
(2)$\sqrt{6} × (\sqrt{6} - \dfrac{1}{\sqrt{6}})$.
(1)$3\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$;
(2)$\sqrt{6} × (\sqrt{6} - \dfrac{1}{\sqrt{6}})$.
答案
8.解:(1)原式 = (3 + 5)$\sqrt{3}$
= $8\sqrt{3}$。
(2)原式 = $\sqrt{6} × \sqrt{6} - \sqrt{6} × \dfrac{1}{\sqrt{6}}$
= 6 - 1
= 5。
= $8\sqrt{3}$。
(2)原式 = $\sqrt{6} × \sqrt{6} - \sqrt{6} × \dfrac{1}{\sqrt{6}}$
= 6 - 1
= 5。
解析
【分析】
(1) 题中的$3\sqrt{3}$和$5\sqrt{3}$都含有相同的二次根式$\sqrt{3}$，类比合并同类项的方法，只需要把根号前的系数相加，根号部分保持不变，即可算出结果。
(2) 题的算式符合乘法分配律的结构，类比整式的乘法分配律$a(b-c)=ab-ac$，把括号外的$\sqrt{6}$分别和括号内的两项相乘，再把所得的积相减；计算时$\sqrt{6}×\sqrt{6}$的结果为6，$\sqrt{6}$和$\frac{1}{\sqrt{6}}$的分母可以约分，最后计算减法即可得到结果。
【解析】
(1) 原式$=(3+5)\sqrt{3}$
$=8\sqrt{3}$
(2) 原式$=\sqrt{6} × \sqrt{6} - \sqrt{6} × \dfrac{1}{\sqrt{6}}$
$=6 - 1$
$=5$
【答案】
(1) $8\sqrt{3}$；(2) $5$
【知识点】
二次根式加减运算，二次根式乘法运算，乘法分配律
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，主要考查二次根式基本运算规则和运算律的应用，难度较低，熟练掌握对应法则即可快速准确解题，是后续学习复杂根式运算的基础，需要扎实掌握。
【难度系数】
0.9
(1) 题中的$3\sqrt{3}$和$5\sqrt{3}$都含有相同的二次根式$\sqrt{3}$，类比合并同类项的方法，只需要把根号前的系数相加，根号部分保持不变，即可算出结果。
(2) 题的算式符合乘法分配律的结构，类比整式的乘法分配律$a(b-c)=ab-ac$，把括号外的$\sqrt{6}$分别和括号内的两项相乘，再把所得的积相减；计算时$\sqrt{6}×\sqrt{6}$的结果为6，$\sqrt{6}$和$\frac{1}{\sqrt{6}}$的分母可以约分，最后计算减法即可得到结果。
【解析】
(1) 原式$=(3+5)\sqrt{3}$
$=8\sqrt{3}$
(2) 原式$=\sqrt{6} × \sqrt{6} - \sqrt{6} × \dfrac{1}{\sqrt{6}}$
$=6 - 1$
$=5$
【答案】
(1) $8\sqrt{3}$；(2) $5$
【知识点】
二次根式加减运算，二次根式乘法运算，乘法分配律
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，主要考查二次根式基本运算规则和运算律的应用，难度较低，熟练掌握对应法则即可快速准确解题，是后续学习复杂根式运算的基础，需要扎实掌握。
【难度系数】
0.9
9 $\sqrt{81}$的平方根是（
A.±9
B.3
C.-3
D.±3
D
）A.±9
B.3
C.-3
D.±3
答案
9.D
解析
【分析】
解题时首先要理清运算顺序，不能直接将题目等同于求81的平方根。第一步先计算√81的值，√81表示81的算术平方根，结果为正数；第二步再求这个结果的平方根，注意正数的平方根有2个，且互为相反数，避免因概念混淆出现错选。
【解析】
1. 先化简√81：根据算术平方根的定义，√81是81的正的平方根，因此√81=9；
2. 再求9的平方根：根据平方根的定义，若x²=a，则x是a的平方根，由于(±3)²=9，因此9的平方根为±3。
综上，√81的平方根是±3，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题属于易错题，核心考查算术平方根与平方根的概念差异，解题时需先完成根号内的化简再计算平方根，避免漏记正数平方根有两个、或者直接对根号下的原数求平方根的错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先要理清运算顺序，不能直接将题目等同于求81的平方根。第一步先计算√81的值，√81表示81的算术平方根，结果为正数；第二步再求这个结果的平方根，注意正数的平方根有2个，且互为相反数，避免因概念混淆出现错选。
【解析】
1. 先化简√81：根据算术平方根的定义，√81是81的正的平方根，因此√81=9；
2. 再求9的平方根：根据平方根的定义，若x²=a，则x是a的平方根，由于(±3)²=9，因此9的平方根为±3。
综上，√81的平方根是±3，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题属于易错题，核心考查算术平方根与平方根的概念差异，解题时需先完成根号内的化简再计算平方根，避免漏记正数平方根有两个、或者直接对根号下的原数求平方根的错误。
【难度系数】
0.6
10 若用科学计算器按如图所示的顺序依次按键进行计算，则输出的结果应为 （
A.16
B.14
C.-4
D.2
C
）A.16
B.14
C.-4
D.2
答案
10.C
解析
【分析】
首先要将按键顺序转化为对应的数学运算式：先按√键再输入25，即求25的算术平方根；再输入减号，接着输入括号内的-3后按平方键，即求(-3)的平方；最后计算两者的差。解题时遵循有理数混合运算顺序：先算开方和乘方，再算减法即可得到结果。
【解析】
根据按键顺序，对应的运算式为：
$\sqrt{25} - (-3)^2$
第一步，计算算术平方根：$\sqrt{25}=5$
第二步，计算乘方：$(-3)^2=9$
第三步，计算减法：$5 - 9 = -4$
【答案】
C
【知识点】
算术平方根计算，有理数乘方运算，有理数混合运算
【点评】
本题核心是正确将计算器按键顺序转化为数学算式，计算时要注意运算优先级，同时避免出现负数平方符号判断错误、算术平方根取正负值这类常见错误。
【难度系数】
0.6
首先要将按键顺序转化为对应的数学运算式：先按√键再输入25，即求25的算术平方根；再输入减号，接着输入括号内的-3后按平方键，即求(-3)的平方；最后计算两者的差。解题时遵循有理数混合运算顺序：先算开方和乘方，再算减法即可得到结果。
【解析】
根据按键顺序，对应的运算式为：
$\sqrt{25} - (-3)^2$
第一步，计算算术平方根：$\sqrt{25}=5$
第二步，计算乘方：$(-3)^2=9$
第三步，计算减法：$5 - 9 = -4$
【答案】
C
【知识点】
算术平方根计算，有理数乘方运算，有理数混合运算
【点评】
本题核心是正确将计算器按键顺序转化为数学算式，计算时要注意运算优先级，同时避免出现负数平方符号判断错误、算术平方根取正负值这类常见错误。
【难度系数】
0.6
11 若$a,b$为实数，且$\sqrt{(a-2)} + |b - 3| = 0$，则$b^a =$
9
。答案
11.9
解析
【分析】
本题需要利用非负数的性质求解。首先我们知道算术平方根和绝对值的结果都是非负数，两个非负数相加的和为0时，只有这两个非负数各自为0才能成立。所以我们可以据此分别列出关于a、b的等式，求出a和b的值，最后代入代数式计算结果即可。
【解析】
解：
∵ 算术平方根与绝对值均为非负数
∴ $\sqrt{a-2} ≥ 0$，$|b-3| ≥ 0$
又
∵ $\sqrt{a-2} + |b - 3| = 0$
∴ $\sqrt{a-2}=0$，$|b-3|=0$
即 $a-2=0$，$b-3=0$
解得 $a=2$，$b=3$
将$a=2$，$b=3$代入$b^a$得：
$b^a=3^2=9$
【答案】
9
【知识点】
非负数的性质、算术平方根、绝对值
【点评】
本题是基础常考题，核心考点是“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0”的性质，解题时先根据性质求出未知参数的值，再代入运算即可，注意幂的运算要准确。
【难度系数】
0.8
本题需要利用非负数的性质求解。首先我们知道算术平方根和绝对值的结果都是非负数，两个非负数相加的和为0时，只有这两个非负数各自为0才能成立。所以我们可以据此分别列出关于a、b的等式，求出a和b的值，最后代入代数式计算结果即可。
【解析】
解：
∵ 算术平方根与绝对值均为非负数
∴ $\sqrt{a-2} ≥ 0$，$|b-3| ≥ 0$
又
∵ $\sqrt{a-2} + |b - 3| = 0$
∴ $\sqrt{a-2}=0$，$|b-3|=0$
即 $a-2=0$，$b-3=0$
解得 $a=2$，$b=3$
将$a=2$，$b=3$代入$b^a$得：
$b^a=3^2=9$
【答案】
9
【知识点】
非负数的性质、算术平方根、绝对值
【点评】
本题是基础常考题，核心考点是“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0”的性质，解题时先根据性质求出未知参数的值，再代入运算即可，注意幂的运算要准确。
【难度系数】
0.8
12 我国古代数学家张衡将圆周率取值为$\sqrt{10}$,祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为$\frac{22}{7}$. 比较大小: $\sqrt{10}\_\_\_\_\_\_\frac{22}{7}$(填“＞”或“＜”).
答案
12.＞
解析
【分析】
要比较两个正数$\sqrt{10}$和$\frac{22}{7}$的大小，可采用平方法：对于两个正数，平方越大则原数越大，该方法可以消去根号，把无理数转化为有理数，再通过通分比较两个有理数的大小，即可推出原数的大小关系。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{10}$和$\frac{22}{7}$均为正数，
分别计算两数的平方：
$(\sqrt{10})^2 = 10$，
$(\frac{22}{7})^2 = \frac{22^2}{7^2} = \frac{484}{49}$，
将10通分为分母是49的分数：$10 = \frac{490}{49}$，
∵ $\frac{490}{49} ＞ \frac{484}{49}$，即$(\sqrt{10})^2 ＞ (\frac{22}{7})^2$，
根据正数比较大小的规则：平方大的正数本身更大，
∴ $\sqrt{10} ＞ \frac{22}{7}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较，乘方运算，分数通分
【点评】
本题是实数大小比较的基础题，利用平方法将含根号的无理数转化为有理数，再通过通分比较大小，是比较无理数和有理数大小的常用技巧，操作简单易掌握。
【难度系数】
0.8
要比较两个正数$\sqrt{10}$和$\frac{22}{7}$的大小，可采用平方法：对于两个正数，平方越大则原数越大，该方法可以消去根号，把无理数转化为有理数，再通过通分比较两个有理数的大小，即可推出原数的大小关系。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{10}$和$\frac{22}{7}$均为正数，
分别计算两数的平方：
$(\sqrt{10})^2 = 10$，
$(\frac{22}{7})^2 = \frac{22^2}{7^2} = \frac{484}{49}$，
将10通分为分母是49的分数：$10 = \frac{490}{49}$，
∵ $\frac{490}{49} ＞ \frac{484}{49}$，即$(\sqrt{10})^2 ＞ (\frac{22}{7})^2$，
根据正数比较大小的规则：平方大的正数本身更大，
∴ $\sqrt{10} ＞ \frac{22}{7}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较，乘方运算，分数通分
【点评】
本题是实数大小比较的基础题，利用平方法将含根号的无理数转化为有理数，再通过通分比较大小，是比较无理数和有理数大小的常用技巧，操作简单易掌握。
【难度系数】
0.8
