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13 如图,一只蚂蚁从点A沿数轴先向左爬了2个单位长度到达点B,再向右爬了5个单位长度到达点C.若点C表示的数为$\sqrt{3}$,则点A表示的数为
√3 - 3
.答案
13.$\sqrt{3} - 3$
解析
【分析】
我们可以通过设未知数结合数轴点的移动规律求解：先设点A表示的数为x，数轴上点向左移动对应数值减、向右移动对应数值加，我们按照蚂蚁的移动路径依次表示出点B、点C对应的数，再结合点C表示的数为$\sqrt{3}$列等式计算即可；也可以从点C反向倒推回点A，反向移动时原向右移动变为向左、原向左移动变为向右，同样按移动规则计算。
【解析】
设点A表示的数为$x$。
1. 蚂蚁从点A向左爬2个单位长度到达点B，因此点B表示的数为：$x-2$
2. 再从点B向右爬5个单位长度到达点C，因此点C表示的数为：$(x-2)+5=x+3$
3. 已知点C表示的数为$\sqrt{3}$，可得等式：
$x+3=\sqrt{3}$
解得$x=\sqrt{3}-3$
【答案】
$\sqrt{3}-3$
【知识点】
数轴点的平移、实数与数轴
【点评】
本题考查数轴上点的平移规律，牢记“左减右加”的平移规则即可快速解题，也可通过倒推的方式简化计算，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
我们可以通过设未知数结合数轴点的移动规律求解：先设点A表示的数为x，数轴上点向左移动对应数值减、向右移动对应数值加，我们按照蚂蚁的移动路径依次表示出点B、点C对应的数，再结合点C表示的数为$\sqrt{3}$列等式计算即可；也可以从点C反向倒推回点A，反向移动时原向右移动变为向左、原向左移动变为向右，同样按移动规则计算。
【解析】
设点A表示的数为$x$。
1. 蚂蚁从点A向左爬2个单位长度到达点B，因此点B表示的数为：$x-2$
2. 再从点B向右爬5个单位长度到达点C，因此点C表示的数为：$(x-2)+5=x+3$
3. 已知点C表示的数为$\sqrt{3}$，可得等式：
$x+3=\sqrt{3}$
解得$x=\sqrt{3}-3$
【答案】
$\sqrt{3}-3$
【知识点】
数轴点的平移、实数与数轴
【点评】
本题考查数轴上点的平移规律，牢记“左减右加”的平移规则即可快速解题，也可通过倒推的方式简化计算，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
14 已知$7-2a$的平方根是$\pm\sqrt{3}$，2是$b$的算术平方根，则$ab$的立方根为
2
。答案
14.2
解析
【分析】
解题时先回忆平方根、算术平方根的定义：①若一个数的平方根是±x，那么这个数等于x²；②若一个非负数x是另一个数的算术平方根，那么另一个数等于x²。首先根据7-2a的平方根求出a的值，再根据b的算术平方根求出b的值，最后计算ab的立方根即可。
【解析】
解：
∵$7-2a$的平方根是$\pm\sqrt{3}$
∴$7-2a = (\pm\sqrt{3})^2 = 3$
移项计算得：$2a = 7 - 3 = 4$，解得$a=2$
又
∵2是$b$的算术平方根
∴$b = 2^2 = 4$
则$ab = 2×4 = 8$
∵$2^3=8$，
∴8的立方根为2，即$ab$的立方根为2。
【答案】
2
【知识点】
平方根的性质；算术平方根的定义；立方根的计算
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查对平方根、算术平方根、立方根定义的理解和简单运算，解题时注意区分平方根和算术平方根的差异，避免计算失误即可。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平方根、算术平方根的定义：①若一个数的平方根是±x，那么这个数等于x²；②若一个非负数x是另一个数的算术平方根，那么另一个数等于x²。首先根据7-2a的平方根求出a的值，再根据b的算术平方根求出b的值，最后计算ab的立方根即可。
【解析】
解：
∵$7-2a$的平方根是$\pm\sqrt{3}$
∴$7-2a = (\pm\sqrt{3})^2 = 3$
移项计算得：$2a = 7 - 3 = 4$，解得$a=2$
又
∵2是$b$的算术平方根
∴$b = 2^2 = 4$
则$ab = 2×4 = 8$
∵$2^3=8$，
∴8的立方根为2，即$ab$的立方根为2。
【答案】
2
【知识点】
平方根的性质；算术平方根的定义；立方根的计算
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查对平方根、算术平方根、立方根定义的理解和简单运算，解题时注意区分平方根和算术平方根的差异，避免计算失误即可。
【难度系数】
0.8
15 用计算器求下列各式的近似值(结果保留小数点后两位):
(1) $\frac{\sqrt{5}}{2} + \sqrt[3]{2} - π$;
(2) $\sqrt{13} - \sqrt{2} ÷ \sqrt{6}$.
(1) $\frac{\sqrt{5}}{2} + \sqrt[3]{2} - π$;
(2) $\sqrt{13} - \sqrt{2} ÷ \sqrt{6}$.
答案
15.解:(1)原式≈$\dfrac{1}{2} × 2.236 + 1.260 - 3.142$
≈ -0.76。
(2)原式≈3.606 - 1.414 ÷ 2.449
≈3.03。
≈ -0.76。
(2)原式≈3.606 - 1.414 ÷ 2.449
≈3.03。
解析
【分析】
本题是实数的近似计算类题目，解题思路如下：①先明确运算顺序：先进行开方运算，再算乘除，最后算加减；②为了减小计算误差，各无理数的近似值先保留三位小数，再代入原式；③按运算顺序计算后，将最终结果四舍五入保留两位小数即可。
【解析】
(1) 先取各无理数近似值：$\sqrt{5}≈2.236$，$\sqrt[3]{2}≈1.260$，$π≈3.142$，代入原式得：
原式≈$\frac{2.236}{2} + 1.260 - 3.142$
$= 1.118 + 1.260 - 3.142$
$= 2.378 - 3.142$
$= -0.764$
≈$-0.76$
(2) 先取各无理数近似值：$\sqrt{13}≈3.606$，$\sqrt{2}≈1.414$，$\sqrt{6}≈2.449$，代入原式得：
原式≈$3.606 - 1.414÷2.449$
≈$3.606 - 0.577$
$= 3.029$
≈$3.03$
【答案】
(1) $\boxed{-0.76}$；(2) $\boxed{3.03}$
【知识点】
计算器开方运算、实数混合运算、近似数取值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查实数运算规则的应用和近似值的计算能力，计算时注意遵循运算顺序，中间步骤多保留1位小数可有效降低误差，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题是实数的近似计算类题目，解题思路如下：①先明确运算顺序：先进行开方运算，再算乘除，最后算加减；②为了减小计算误差，各无理数的近似值先保留三位小数，再代入原式；③按运算顺序计算后，将最终结果四舍五入保留两位小数即可。
【解析】
(1) 先取各无理数近似值：$\sqrt{5}≈2.236$，$\sqrt[3]{2}≈1.260$，$π≈3.142$，代入原式得：
原式≈$\frac{2.236}{2} + 1.260 - 3.142$
$= 1.118 + 1.260 - 3.142$
$= 2.378 - 3.142$
$= -0.764$
≈$-0.76$
(2) 先取各无理数近似值：$\sqrt{13}≈3.606$，$\sqrt{2}≈1.414$，$\sqrt{6}≈2.449$，代入原式得：
原式≈$3.606 - 1.414÷2.449$
≈$3.606 - 0.577$
$= 3.029$
≈$3.03$
【答案】
(1) $\boxed{-0.76}$；(2) $\boxed{3.03}$
【知识点】
计算器开方运算、实数混合运算、近似数取值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查实数运算规则的应用和近似值的计算能力，计算时注意遵循运算顺序，中间步骤多保留1位小数可有效降低误差，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
16 小明制作了一张边长为 16 cm 的正方形贺卡想寄给朋友. 现有一个面积为 426 cm²的长方形信封,它的长和宽的比为 3:2.
(1)求此长方形信封的长和宽.
(2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此长方形信封吗? 请通过计算说明理由.
(1)求此长方形信封的长和宽.
(2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此长方形信封吗? 请通过计算说明理由.
答案
16.解:(1)设此长方形信封的长为3x cm,宽为2x cm。
根据题意,得$3x · 2x = 426$，
∴$x^2 = 71$。
∵x为正数,
∴$x = \sqrt{71}$，
∴此长方形信封的长为$3\sqrt{71}$ cm,宽为$2\sqrt{71}$ cm。
(2)能.理由如下：
∵71 ＞ 64,
∴$\sqrt{71} ＞ 8$，
∴$3\sqrt{71} ＞ 2\sqrt{71} ＞ 16$，
∴此长方形信封的长、宽均大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此长方形信封。
根据题意,得$3x · 2x = 426$，
∴$x^2 = 71$。
∵x为正数,
∴$x = \sqrt{71}$，
∴此长方形信封的长为$3\sqrt{71}$ cm,宽为$2\sqrt{71}$ cm。
(2)能.理由如下：
∵71 ＞ 64,
∴$\sqrt{71} ＞ 8$，
∴$3\sqrt{71} ＞ 2\sqrt{71} ＞ 16$，
∴此长方形信封的长、宽均大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此长方形信封。
解析
【分析】
（1）已知长方形信封的长宽比为3:2，我们可以通过设参数的方式表示长和宽，再结合长方形面积公式列方程求解，由于长度是正数，开平方时只需取正根即可得到信封的长宽。（2）要判断正方形贺卡能否不折叠放入信封，只要判断信封的较短边（宽）是否大于等于贺卡的边长即可，因为只要宽大于贺卡边长，更长的长必然也大于边长，所以只需比较$2\sqrt{71}$和16的大小就能得出结论。
【解析】
(1) 设此长方形信封的长为$3x$ cm，宽为$2x$ cm。
根据题意，结合长方形面积公式得：
$3x · 2x = 426$
化简得$x^2 = 71$。
∵$x$表示长度，为正数，
∴$x = \sqrt{71}$，
因此长方形信封的长为$3\sqrt{71}$ cm，宽为$2\sqrt{71}$ cm。
(2) 能，理由如下：
∵$71＞64$，
∴$\sqrt{71}＞\sqrt{64}=8$，
不等式两边同乘2得$2\sqrt{71}＞16$，
又因为信封的长$3\sqrt{71}$大于宽$2\sqrt{71}$，所以信封的长、宽均大于正方形贺卡的边长16cm，因此小明能将这张贺卡不折叠就放入此长方形信封。
【答案】
(1) 长为$3\sqrt{71}$ cm，宽为$2\sqrt{71}$ cm；(2) 能。
【知识点】
长方形面积计算、平方根的应用、实数大小比较
【点评】
本题结合生活实际命题，既考查基础的代数运算能力，也能锻炼学生用数学知识解决实际问题的意识。解题的关键是根据比例关系设参数求解长宽，再通过合理的大小比较判断放入的可行性，需要注意求解边长时平方根仅取正值。
【难度系数】
0.7
（1）已知长方形信封的长宽比为3:2，我们可以通过设参数的方式表示长和宽，再结合长方形面积公式列方程求解，由于长度是正数，开平方时只需取正根即可得到信封的长宽。（2）要判断正方形贺卡能否不折叠放入信封，只要判断信封的较短边（宽）是否大于等于贺卡的边长即可，因为只要宽大于贺卡边长，更长的长必然也大于边长，所以只需比较$2\sqrt{71}$和16的大小就能得出结论。
【解析】
(1) 设此长方形信封的长为$3x$ cm，宽为$2x$ cm。
根据题意，结合长方形面积公式得：
$3x · 2x = 426$
化简得$x^2 = 71$。
∵$x$表示长度，为正数，
∴$x = \sqrt{71}$，
因此长方形信封的长为$3\sqrt{71}$ cm，宽为$2\sqrt{71}$ cm。
(2) 能，理由如下：
∵$71＞64$，
∴$\sqrt{71}＞\sqrt{64}=8$，
不等式两边同乘2得$2\sqrt{71}＞16$，
又因为信封的长$3\sqrt{71}$大于宽$2\sqrt{71}$，所以信封的长、宽均大于正方形贺卡的边长16cm，因此小明能将这张贺卡不折叠就放入此长方形信封。
【答案】
(1) 长为$3\sqrt{71}$ cm，宽为$2\sqrt{71}$ cm；(2) 能。
【知识点】
长方形面积计算、平方根的应用、实数大小比较
【点评】
本题结合生活实际命题，既考查基础的代数运算能力，也能锻炼学生用数学知识解决实际问题的意识。解题的关键是根据比例关系设参数求解长宽，再通过合理的大小比较判断放入的可行性，需要注意求解边长时平方根仅取正值。
【难度系数】
0.7
17【问题背景】数学活动课上，老师带领学生开展“运用规律求一个数的立方根”的实践活动，列出了如下表格。
(1)填写上表。
【探索发现】
(2)观察表格中的数据，被开方数a的小数点的位置的移动和它的立方根的小数点的位置的移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律。
【规律应用】
(3)已知$\sqrt[3]{m}=-50$，$\sqrt[3]{0.125}=0.5$，你能求出m的值吗？若能，请求出m的值。
(1)填写上表。
【探索发现】
(2)观察表格中的数据，被开方数a的小数点的位置的移动和它的立方根的小数点的位置的移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律。
【规律应用】
(3)已知$\sqrt[3]{m}=-50$，$\sqrt[3]{0.125}=0.5$，你能求出m的值吗？若能，请求出m的值。
答案
17.解:(1)从左向右依次在表中填入0.1,10。
(2)有规律.当被开方数a的小数点每向左(或向右)移动三位,它的立方根的小数点就向左(或向右)移动一位。
(3)能求出m的值。
∵$\sqrt[3]{0.125} = 0.5$，
∴$\sqrt[3]{-0.125} = -0.5$。
由-0.5到-50,小数点向右移动了两位，
则将-0.125的小数点向右移动六位就得到m，
∴$m = -125\ 000$。
(2)有规律.当被开方数a的小数点每向左(或向右)移动三位,它的立方根的小数点就向左(或向右)移动一位。
(3)能求出m的值。
∵$\sqrt[3]{0.125} = 0.5$，
∴$\sqrt[3]{-0.125} = -0.5$。
由-0.5到-50,小数点向右移动了两位，
则将-0.125的小数点向右移动六位就得到m，
∴$m = -125\ 000$。
解析
【分析】
第(1)问：根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根，分别计算$0.001$和$1000$的立方根即可补全表格；
第(2)问：对比表格中多组被开方数$a$和对应立方根的小数点移动位数，总结出通用的移动规律；
第(3)问：先由$\sqrt[3]{0.125}=0.5$推出$\sqrt[3]{-0.125}=-0.5$，再结合第(2)问得到的规律，根据立方根的小数点移动情况，反推被开方数$m$的小数点移动位数，即可求出$m$的值。
【解析】
(1) 根据立方根定义计算：
$\because 0.1^3=0.001$，$\therefore \sqrt[3]{0.001}=0.1$；
$\because 10^3=1000$，$\therefore \sqrt[3]{1000}=10$；
因此表格从左到右依次填$0.1$、$10$。
(2) 观察数据可发现规律：当被开方数$a$的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点就对应向左（或向右）移动一位。
(3) 能求出$m$的值，过程如下：
$\because \sqrt[3]{0.125}=0.5$，
$\therefore \sqrt[3]{-0.125}=-0.5$，
对比$-0.5$和$-50$，立方根的小数点向右移动了2位，根据规律可知被开方数的小数点要向右移动$3×2=6$位，
将$-0.125$的小数点向右移动6位，得$m=-125000$。
【答案】
(1) 依次填$\boxed{0.1}$，$\boxed{10}$；
(2) 规律：被开方数的小数点每向左(或向右)移动三位，它的立方根的小数点就向左(或向右)移动一位；
(3) $\boxed{m=-125000}$
【知识点】
立方根的概念，立方根的性质，规律探究应用
【点评】
本题以表格探究的形式考查立方根相关知识，既考查基础的立方根计算能力，也考查规律总结与迁移应用的能力，掌握立方根的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
第(1)问：根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根，分别计算$0.001$和$1000$的立方根即可补全表格；
第(2)问：对比表格中多组被开方数$a$和对应立方根的小数点移动位数，总结出通用的移动规律；
第(3)问：先由$\sqrt[3]{0.125}=0.5$推出$\sqrt[3]{-0.125}=-0.5$，再结合第(2)问得到的规律，根据立方根的小数点移动情况，反推被开方数$m$的小数点移动位数，即可求出$m$的值。
【解析】
(1) 根据立方根定义计算：
$\because 0.1^3=0.001$，$\therefore \sqrt[3]{0.001}=0.1$；
$\because 10^3=1000$，$\therefore \sqrt[3]{1000}=10$；
因此表格从左到右依次填$0.1$、$10$。
(2) 观察数据可发现规律：当被开方数$a$的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点就对应向左（或向右）移动一位。
(3) 能求出$m$的值，过程如下：
$\because \sqrt[3]{0.125}=0.5$，
$\therefore \sqrt[3]{-0.125}=-0.5$，
对比$-0.5$和$-50$，立方根的小数点向右移动了2位，根据规律可知被开方数的小数点要向右移动$3×2=6$位，
将$-0.125$的小数点向右移动6位，得$m=-125000$。
【答案】
(1) 依次填$\boxed{0.1}$，$\boxed{10}$；
(2) 规律：被开方数的小数点每向左(或向右)移动三位，它的立方根的小数点就向左(或向右)移动一位；
(3) $\boxed{m=-125000}$
【知识点】
立方根的概念，立方根的性质，规律探究应用
【点评】
本题以表格探究的形式考查立方根相关知识，既考查基础的立方根计算能力，也考查规律总结与迁移应用的能力，掌握立方根的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
