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1 当用公式法解方程$2x^2 -1=3x$时，$b^2 -4ac$的值为 （
A.2
B.－3
C.17
D.－1
C
）A.2
B.－3
C.17
D.－1
答案
1. C
解析
【分析】
要计算一元二次方程中$b^2-4ac$的值，首先需要将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的标准一般形式，再准确对应找到二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，尤其要注意系数的正负符号，最后代入判别式公式计算即可得到结果。
【解析】
第一步：将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$2x^2-3x-1=0$
第二步：确定各项系数：
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-1$
第三步：代入判别式公式$b^2-4ac$计算：
$b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-1)=9+8=17$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式、根的判别式
【点评】
本题是基础题型，易错点是未将方程化为一般形式就直接找系数，或者忽略系数的正负符号导致计算错误，解题时要先规范整理方程再代值计算。
【难度系数】
0.8
要计算一元二次方程中$b^2-4ac$的值，首先需要将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的标准一般形式，再准确对应找到二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，尤其要注意系数的正负符号，最后代入判别式公式计算即可得到结果。
【解析】
第一步：将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$2x^2-3x-1=0$
第二步：确定各项系数：
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-1$
第三步：代入判别式公式$b^2-4ac$计算：
$b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-1)=9+8=17$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式、根的判别式
【点评】
本题是基础题型，易错点是未将方程化为一般形式就直接找系数，或者忽略系数的正负符号导致计算错误，解题时要先规范整理方程再代值计算。
【难度系数】
0.8
2 若关于$x$的方程$x^2 - x - m = 0$有实数根，则实数$m$的取值范围是 （
A.$m ＜ \dfrac{1}{4}$
B.$m ≤ \dfrac{1}{4}$
C.$m ≥ -\dfrac{1}{4}$
D.$m ＞ -\dfrac{1}{4}$
C
）A.$m ＜ \dfrac{1}{4}$
B.$m ≤ \dfrac{1}{4}$
C.$m ≥ -\dfrac{1}{4}$
D.$m ＞ -\dfrac{1}{4}$
答案
2. C
解析
【分析】
本题是已知一元二次方程有实数根，求参数取值范围的问题。解题思路如下：首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有实数根的等价条件是判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$；其次找到题干方程中对应的$a、b、c$的值，代入判别式得到关于$m$的不等式；最后解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x - m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-m$。
$\because$ 方程有实数根
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
代入系数得：$(-1)^2 - 4×1×(-m) ≥ 0$
计算化简：$1 + 4m ≥ 0$
移项得：$4m ≥ -1$
两边同时除以4得：$m ≥ -\frac{1}{4}$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时要注意准确识别常数项的符号，避免计算符号错误，同时牢记判别式大于等于0时方程均有实数根，不要遗漏等号情况。
【难度系数】
0.7
本题是已知一元二次方程有实数根，求参数取值范围的问题。解题思路如下：首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有实数根的等价条件是判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$；其次找到题干方程中对应的$a、b、c$的值，代入判别式得到关于$m$的不等式；最后解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x - m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-m$。
$\because$ 方程有实数根
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
代入系数得：$(-1)^2 - 4×1×(-m) ≥ 0$
计算化简：$1 + 4m ≥ 0$
移项得：$4m ≥ -1$
两边同时除以4得：$m ≥ -\frac{1}{4}$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时要注意准确识别常数项的符号，避免计算符号错误，同时牢记判别式大于等于0时方程均有实数根，不要遗漏等号情况。
【难度系数】
0.7
3 若直角三角形的两边长分别是方程$x^2 -7x +12=0$的两根，则该直角三角形的面积是 （
A.6
B.12
C.12 或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$
D.6 或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$
D
）A.6
B.12
C.12 或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$
D.6 或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先求解一元二次方程得到直角三角形两边的长度，再对这两边的身份进行分类讨论：第一种情况是两边均为直角边，第二种情况是较长边为斜边、较短边为直角边，分别结合三角形面积公式、勾股定理计算两种情况的面积即可，注意不要漏解。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -7x +12=0$，
因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=4$，即直角三角形的两边长为3和4。
第二步：分情况讨论：
①当3和4均为直角边时，直角三角形面积$S=\frac{1}{2}×3×4=6$；
②当4为斜边，3为直角边时，由勾股定理得另一条直角边长为$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，
此时直角三角形面积$S=\frac{1}{2}×3×\sqrt{7}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$。
综上，该直角三角形的面积是6或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求解，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略对直角三角形两边是直角边还是斜边的分类讨论，容易漏算斜边为4时的面积，解题时要注意题干未明确边长属性时需分情况验证。
【难度系数】
0.7
解题时首先求解一元二次方程得到直角三角形两边的长度，再对这两边的身份进行分类讨论：第一种情况是两边均为直角边，第二种情况是较长边为斜边、较短边为直角边，分别结合三角形面积公式、勾股定理计算两种情况的面积即可，注意不要漏解。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -7x +12=0$，
因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=4$，即直角三角形的两边长为3和4。
第二步：分情况讨论：
①当3和4均为直角边时，直角三角形面积$S=\frac{1}{2}×3×4=6$；
②当4为斜边，3为直角边时，由勾股定理得另一条直角边长为$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，
此时直角三角形面积$S=\frac{1}{2}×3×\sqrt{7}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$。
综上，该直角三角形的面积是6或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求解，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略对直角三角形两边是直角边还是斜边的分类讨论，容易漏算斜边为4时的面积，解题时要注意题干未明确边长属性时需分情况验证。
【难度系数】
0.7
4 已知$(x+y)(x+y+2)-8=0$，则$x+y$的值是（
A.－4或2
B.－2或4
C.2或－3
D.3或－2
A
）A.－4或2
B.－2或4
C.2或－3
D.3或－2
答案
4. A
解析
【分析】
观察方程中多次出现$x+y$这个整体，可采用换元法简化运算：将$x+y$设为新变量$t$，把原方程转化为关于$t$的一元二次方程，求解出$t$的值即为$x+y$的取值，避免直接展开原式带来的复杂计算。
【解析】
设$x+y=t$，代入原方程得：
$t(t+2)-8=0$
展开整理为一元二次方程的一般形式：
$t^2+2t-8=0$
用十字相乘法因式分解得：
$(t+4)(t-2)=0$
因此$t+4=0$或$t-2=0$，解得$t_1=-4$，$t_2=2$
即$x+y$的值为$-4$或$2$。
【答案】
A
【知识点】
换元法；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题侧重考察整体思想的应用，当方程中存在重复出现的整式整体时，使用换元法可快速将陌生方程转化为熟悉的一元二次方程求解，是这类题型的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7
观察方程中多次出现$x+y$这个整体，可采用换元法简化运算：将$x+y$设为新变量$t$，把原方程转化为关于$t$的一元二次方程，求解出$t$的值即为$x+y$的取值，避免直接展开原式带来的复杂计算。
【解析】
设$x+y=t$，代入原方程得：
$t(t+2)-8=0$
展开整理为一元二次方程的一般形式：
$t^2+2t-8=0$
用十字相乘法因式分解得：
$(t+4)(t-2)=0$
因此$t+4=0$或$t-2=0$，解得$t_1=-4$，$t_2=2$
即$x+y$的值为$-4$或$2$。
【答案】
A
【知识点】
换元法；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题侧重考察整体思想的应用，当方程中存在重复出现的整式整体时，使用换元法可快速将陌生方程转化为熟悉的一元二次方程求解，是这类题型的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7
5 [2024 广安]若关于x的一元二次方程$(m+1)x^2 - 2x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（
A.$m＜0$且$m≠-1$
B.$m≥0$
C.$m≤0$且$m≠-1$
D.$m＜0$
A
）A.$m＜0$且$m≠-1$
B.$m≥0$
C.$m≤0$且$m≠-1$
D.$m＜0$
答案
5. A 【解析】
∵关于x的一元二次方程$(m+1)x^2-2x+1=0$有两个不相等的实数根，
∴ $\begin{cases} m+1≠0,\\ 4-4(m+1)＞0, \end{cases}$ 解得$m＜0$且$m≠-1$。
∵关于x的一元二次方程$(m+1)x^2-2x+1=0$有两个不相等的实数根，
∴ $\begin{cases} m+1≠0,\\ 4-4(m+1)＞0, \end{cases}$ 解得$m＜0$且$m≠-1$。
解析
【分析】
要解这道题，需结合一元二次方程的定义和根的判别式两个要求分析：①首先，题干明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就变成一元一次方程，不符合题意；②其次，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。我们只需分别列出两个条件对应的不等式，联立求解不等式组，就能得到m的取值范围，再匹配选项即可。
【解析】
∵关于x的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，
∴需同时满足两个条件：
1. 二次项系数不为0：$m+1 ≠ 0$，解得$m ≠ -1$；
2. 根的判别式大于0：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta = b^2-4ac$，
代入本题中$a=m+1$，$b=-2$，$c=1$，得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×(m+1)×1 ＞ 0$
化简得：$4 - 4(m+1) ＞ 0$
去括号：$4 - 4m - 4 ＞ 0$
合并同类项：$-4m ＞ 0$
系数化为1：$m ＜ 0$
联立两个结果，得$m ＜ 0$且$m ≠ -1$，故选A。
【答案】A
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；解一元一次不等式组
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，易错点是容易忽略“一元二次方程要求二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式求解误选D，解题时要注意仔细读题，挖掘题干的隐含限制条件。
【难度系数】
0.6
要解这道题，需结合一元二次方程的定义和根的判别式两个要求分析：①首先，题干明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就变成一元一次方程，不符合题意；②其次，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。我们只需分别列出两个条件对应的不等式，联立求解不等式组，就能得到m的取值范围，再匹配选项即可。
【解析】
∵关于x的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，
∴需同时满足两个条件：
1. 二次项系数不为0：$m+1 ≠ 0$，解得$m ≠ -1$；
2. 根的判别式大于0：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta = b^2-4ac$，
代入本题中$a=m+1$，$b=-2$，$c=1$，得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×(m+1)×1 ＞ 0$
化简得：$4 - 4(m+1) ＞ 0$
去括号：$4 - 4m - 4 ＞ 0$
合并同类项：$-4m ＞ 0$
系数化为1：$m ＜ 0$
联立两个结果，得$m ＜ 0$且$m ≠ -1$，故选A。
【答案】A
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；解一元一次不等式组
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，易错点是容易忽略“一元二次方程要求二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式求解误选D，解题时要注意仔细读题，挖掘题干的隐含限制条件。
【难度系数】
0.6
二、填空题
6 若$ x=3 $是关于$ x $的方程$ ax^2 - bx -6=0 $的根，则$ 2026 -6a +2b $的值为
6 若$ x=3 $是关于$ x $的方程$ ax^2 - bx -6=0 $的根，则$ 2026 -6a +2b $的值为
2022
。答案
6. 2022
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程可使等式成立，因此将x=3代入给定方程，可得到关于a、b的等量关系；再观察所求代数式的结构，通过变形将得到的a、b的等量关系整体代入，即可求出代数式的值，无需单独求解a和b的具体数值，简化计算过程。
【解析】
解：
∵x=3是关于x的方程$ax^2 - bx -6=0$的根，
∴将x=3代入方程得：$a× 3^2 - b× 3 -6=0$，
整理得：$9a - 3b = 6$，两边同时除以3可得$3a - b = 2$。
对所求代数式变形：
$2026 -6a +2b = 2026 - 2(3a - b)$，
将$3a - b = 2$代入上式得：
$2026 - 2× 2 = 2026 - 4 = 2022$。
【答案】
2022
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入法求值
【点评】
本题解题的核心是利用方程根的性质得到参数间的数量关系，再通过整体代入的思想计算代数式的值，避免了单独求解参数的繁琐运算，考查了代数式变形能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
首先根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程可使等式成立，因此将x=3代入给定方程，可得到关于a、b的等量关系；再观察所求代数式的结构，通过变形将得到的a、b的等量关系整体代入，即可求出代数式的值，无需单独求解a和b的具体数值，简化计算过程。
【解析】
解：
∵x=3是关于x的方程$ax^2 - bx -6=0$的根，
∴将x=3代入方程得：$a× 3^2 - b× 3 -6=0$，
整理得：$9a - 3b = 6$，两边同时除以3可得$3a - b = 2$。
对所求代数式变形：
$2026 -6a +2b = 2026 - 2(3a - b)$，
将$3a - b = 2$代入上式得：
$2026 - 2× 2 = 2026 - 4 = 2022$。
【答案】
2022
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入法求值
【点评】
本题解题的核心是利用方程根的性质得到参数间的数量关系，再通过整体代入的思想计算代数式的值，避免了单独求解参数的繁琐运算，考查了代数式变形能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
7 [2025 西宁]若关于x的一元二次方程$kx^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值：
－1(答案不唯一)
。答案
7. －1(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先明确题目的两个隐含要求：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有两个不相等的实数根，需要用根的判别式判断取值范围。首先根据一元二次方程的定义确定k≠0，再代入判别式Δ=b²-4ac，令Δ＞0解出k的取值范围，最后在取值范围内任选一个符合条件的数值即可。
【解析】
∵ 方程$kx^2 -2x +1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k≠0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$
其中$a=k$，$b=-2$，$c=1$，代入得：
$\Delta=(-2)^2 - 4× k×1=4-4k＞0$
解不等式$4-4k＞0$，得$k＜1$
综上，k的取值范围为$k＜1$且$k≠0$，取其中一个值例如$k=-1$即可。
【答案】
－1(答案不唯一)
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题属于基础型题目，解题时需注意先满足一元二次方程的前提条件，即二次项系数不为0，再结合根的判别式求解参数范围，避免遗漏隐含条件导致取值错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目的两个隐含要求：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有两个不相等的实数根，需要用根的判别式判断取值范围。首先根据一元二次方程的定义确定k≠0，再代入判别式Δ=b²-4ac，令Δ＞0解出k的取值范围，最后在取值范围内任选一个符合条件的数值即可。
【解析】
∵ 方程$kx^2 -2x +1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k≠0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$
其中$a=k$，$b=-2$，$c=1$，代入得：
$\Delta=(-2)^2 - 4× k×1=4-4k＞0$
解不等式$4-4k＞0$，得$k＜1$
综上，k的取值范围为$k＜1$且$k≠0$，取其中一个值例如$k=-1$即可。
【答案】
－1(答案不唯一)
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题属于基础型题目，解题时需注意先满足一元二次方程的前提条件，即二次项系数不为0，再结合根的判别式求解参数范围，避免遗漏隐含条件导致取值错误。
【难度系数】
0.8
8 [2025镇江]若关于x的一元二次方程$x^2 + mx + 1 = 0$有两个相等的实数根，则m的值为
±2
.答案
8. ±2
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：第一步，明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式$\Delta=b^2-4ac$与根的对应关系：当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；第二步，结合题目给出的方程有两个相等实数根的条件，可得$\Delta=0$，对应找出本题方程中$a=1$、$b=m$、$c=1$，代入判别式即可得到关于$m$的方程；第三步，求解该方程就能得到$m$的取值。
【解析】
解：
∵关于$x$的一元二次方程$x^2+mx+1=0$有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$，
将$a=1$，$b=m$，$c=1$代入得：
$m^2-4×1×1=0$，
整理得$m^2=4$，
解得$m=\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，熟记判别式和根的三种对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：第一步，明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式$\Delta=b^2-4ac$与根的对应关系：当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；第二步，结合题目给出的方程有两个相等实数根的条件，可得$\Delta=0$，对应找出本题方程中$a=1$、$b=m$、$c=1$，代入判别式即可得到关于$m$的方程；第三步，求解该方程就能得到$m$的取值。
【解析】
解：
∵关于$x$的一元二次方程$x^2+mx+1=0$有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$，
将$a=1$，$b=m$，$c=1$代入得：
$m^2-4×1×1=0$，
整理得$m^2=4$，
解得$m=\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，熟记判别式和根的三种对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9 对于任意实数$a$,$b$,定义一种运算:$a※b=a^2+b^2-ab$,等式右边为通常的混合运算.若$x※(x-1)=3$,则$x$的值为
2或－1
.答案
9. 2或－1
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：首先准确理解给定的新运算规则$a※b=a^2+b^2-ab$，明确运算中两个量的对应关系；其次将$x$对应$a$，$x-1$对应$b$，代入新运算公式，把原式转化为常规整式方程；最后化简得到一元二次方程，求解即可得到$x$的值，代入时要注意符号运算避免出错。
【解析】
根据新运算的定义，令$a=x$，$b=x-1$，代入$a※b=a^2+b^2-ab$可得：
$\begin{aligned}x※(x-1)&=x^2 + (x-1)^2 - x(x-1) = 3\\\mathrm{展开各项得：}&x^2 + x^2 - 2x + 1 - x^2 + x = 3\\\mathrm{合并同类项得：}&x^2 - x + 1 = 3\\\mathrm{移项整理为标准一元二次方程：}&x^2 - x - 2 = 0\\\mathrm{因式分解得：}&(x-2)(x+1)=0\\\mathrm{解得：}&x_1=2，x_2=-1\end{aligned}$
【答案】
2或－1
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的求解
【点评】
本题将新定义运算和一元二次方程的求解结合考查，解题核心是正确理解新运算规则，将陌生运算转化为常规的代数运算，计算时注意符号变化即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：首先准确理解给定的新运算规则$a※b=a^2+b^2-ab$，明确运算中两个量的对应关系；其次将$x$对应$a$，$x-1$对应$b$，代入新运算公式，把原式转化为常规整式方程；最后化简得到一元二次方程，求解即可得到$x$的值，代入时要注意符号运算避免出错。
【解析】
根据新运算的定义，令$a=x$，$b=x-1$，代入$a※b=a^2+b^2-ab$可得：
$\begin{aligned}x※(x-1)&=x^2 + (x-1)^2 - x(x-1) = 3\\\mathrm{展开各项得：}&x^2 + x^2 - 2x + 1 - x^2 + x = 3\\\mathrm{合并同类项得：}&x^2 - x + 1 = 3\\\mathrm{移项整理为标准一元二次方程：}&x^2 - x - 2 = 0\\\mathrm{因式分解得：}&(x-2)(x+1)=0\\\mathrm{解得：}&x_1=2，x_2=-1\end{aligned}$
【答案】
2或－1
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的求解
【点评】
本题将新定义运算和一元二次方程的求解结合考查，解题核心是正确理解新运算规则，将陌生运算转化为常规的代数运算，计算时注意符号变化即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
10 [2024河北]淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a的值为
$1+\sqrt{2}$
。答案
10. $1+\sqrt{2}$ 【解析】根据题意，得$a^2 - 2a = 1$，解得$a=1±\sqrt{2}$。
∵a为正数，
∴$a=1+\sqrt{2}$。
∵a为正数，
∴$a=1+\sqrt{2}$。
解析
【分析】
解题时首先明确题意中的等量关系：正数a的平方（正确计算结果）减去a与2的积（错误计算结果）等于1，据此列出一元二次方程，再求解方程，最后结合a是正数的条件对求出的根进行取舍，即可得到a的值。
【解析】
根据题意可得等量关系：正确结果 - 错误结果 = 1
即 $a^2 - 2a = 1$
整理为一元二次方程的一般形式：$a^2 - 2a - 1 = 0$
用配方法求解：
$a^2 - 2a + 1 = 1 + 1$
$(a - 1)^2 = 2$
开平方得 $a - 1 = \pm\sqrt{2}$
解得 $a = 1 + \sqrt{2}$ 或 $a = 1 - \sqrt{2}$
∵a为正数，$1 - \sqrt{2} ＜ 0$ 不符合题意，舍去
∴$a = 1 + \sqrt{2}$
【答案】
$1+\sqrt{2}$
【知识点】
列一元二次方程解应用题；一元二次方程的解法；根的取舍
【点评】
本题属于基础类应用题，核心是准确捕捉题干中的数量关系列出方程，求解后切记结合题干给出的限定条件筛选符合要求的根，避免出现增解错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题意中的等量关系：正数a的平方（正确计算结果）减去a与2的积（错误计算结果）等于1，据此列出一元二次方程，再求解方程，最后结合a是正数的条件对求出的根进行取舍，即可得到a的值。
【解析】
根据题意可得等量关系：正确结果 - 错误结果 = 1
即 $a^2 - 2a = 1$
整理为一元二次方程的一般形式：$a^2 - 2a - 1 = 0$
用配方法求解：
$a^2 - 2a + 1 = 1 + 1$
$(a - 1)^2 = 2$
开平方得 $a - 1 = \pm\sqrt{2}$
解得 $a = 1 + \sqrt{2}$ 或 $a = 1 - \sqrt{2}$
∵a为正数，$1 - \sqrt{2} ＜ 0$ 不符合题意，舍去
∴$a = 1 + \sqrt{2}$
【答案】
$1+\sqrt{2}$
【知识点】
列一元二次方程解应用题；一元二次方程的解法；根的取舍
【点评】
本题属于基础类应用题，核心是准确捕捉题干中的数量关系列出方程，求解后切记结合题干给出的限定条件筛选符合要求的根，避免出现增解错误。
【难度系数】
0.7
11 已知$m^2 + mn - n^2 = 0$，且$mn ≠ 0$，则$\frac{n}{m}$的值为
$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$
。答案
11. $\frac{1±\sqrt{5}}{2}$ 【解析】由$mn≠0$，得$m≠0$。在$m^2+mn-n^2=0$的两边同时除以$m^2$，得$1+\frac{n}{m}-(\frac{n}{m})^2=0$，即$(\frac{n}{m})^2-\frac{n}{m}-1=0$，用公式法解关于$\frac{n}{m}$的一元二次方程，得$\frac{n}{m}=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$。
解析
【分析】
题目要求$\frac{n}{m}$的比值，已知等式是关于m、n的二次齐次式，且$mn≠0$，说明m、n均不为0，因此可以将原等式两边同时除以$m^2$，将式子转化为仅含$\frac{n}{m}$的方程，再通过解一元二次方程得到所求值。
【解析】
∵$mn≠0$，
∴$m≠0$，$n≠0$。
将$m^2 + mn - n^2 = 0$两边同时除以$m^2$，可得：
$1 + \frac{n}{m} - (\frac{n}{m})^2 = 0$
整理为标准一元二次方程形式：$(\frac{n}{m})^2 - \frac{n}{m} - 1 = 0$
设$t = \frac{n}{m}$，则方程变为$t^2 - t - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$。
由一元二次方程求根公式$t = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，代入得：
$t = \frac{1 ± \sqrt{(-1)^2 - 4×1×(-1)}}{2×1} = \frac{1 ± \sqrt{5}}{2}$
即$\frac{n}{m} = \frac{1±\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
一元二次方程求解、换元法、分式基本性质
【点评】
本题是典型的比值求解类题型，解题核心是通过合理变形将二元齐次方程转化为关于所求比值的一元二次方程，既考察了一元二次方程的求解能力，也考察了对式子结构的观察和变形能力，掌握换元的思想能大大降低解题难度。
【难度系数】
0.7
题目要求$\frac{n}{m}$的比值，已知等式是关于m、n的二次齐次式，且$mn≠0$，说明m、n均不为0，因此可以将原等式两边同时除以$m^2$，将式子转化为仅含$\frac{n}{m}$的方程，再通过解一元二次方程得到所求值。
【解析】
∵$mn≠0$，
∴$m≠0$，$n≠0$。
将$m^2 + mn - n^2 = 0$两边同时除以$m^2$，可得：
$1 + \frac{n}{m} - (\frac{n}{m})^2 = 0$
整理为标准一元二次方程形式：$(\frac{n}{m})^2 - \frac{n}{m} - 1 = 0$
设$t = \frac{n}{m}$，则方程变为$t^2 - t - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$。
由一元二次方程求根公式$t = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，代入得：
$t = \frac{1 ± \sqrt{(-1)^2 - 4×1×(-1)}}{2×1} = \frac{1 ± \sqrt{5}}{2}$
即$\frac{n}{m} = \frac{1±\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
一元二次方程求解、换元法、分式基本性质
【点评】
本题是典型的比值求解类题型，解题核心是通过合理变形将二元齐次方程转化为关于所求比值的一元二次方程，既考察了一元二次方程的求解能力，也考察了对式子结构的观察和变形能力，掌握换元的思想能大大降低解题难度。
【难度系数】
0.7
三、解答题
12 用适当的方法解下列方程：
(1) $x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = 0$；
(2) $3x^2 = 2(2 - x)$；
(3) $\frac{1}{2}x(x + 2) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2}x$；
(4) $4(t - 5)^2 + 4(5 - t) + 1 = 0$。
12 用适当的方法解下列方程：
(1) $x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = 0$；
(2) $3x^2 = 2(2 - x)$；
(3) $\frac{1}{2}x(x + 2) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2}x$；
(4) $4(t - 5)^2 + 4(5 - t) + 1 = 0$。
答案
12. (1) $x_1=x_2=-\sqrt{2}$ (2) $x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{3},x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{3}$
(3) $x_1=\frac{-3+\sqrt{15}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$ (4) $t_1=t_2=\frac{11}{2}$
(3) $x_1=\frac{-3+\sqrt{15}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$ (4) $t_1=t_2=\frac{11}{2}$
解析
【分析】
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、公式法，解题时优先观察方程结构选择简便方法：
1. 第(1)题左边恰好是完全平方式，可直接用因式分解法求解；
2. 第(2)题先去括号、移项整理为一元二次方程的一般形式，再用公式法求解；
3. 第(3)题先去分母消去分数，再整理为一般形式后用公式法求解；
4. 第(4)题将$(t-5)$看作整体，变形后左边为完全平方式，用因式分解法简化计算。
【解析】
(1) 原方程可变形为：
$(x+\sqrt{2})^2=0$
开方得：$x+\sqrt{2}=0$
解得：$x_1=x_2=-\sqrt{2}$
(2) 先去括号得：$3x^2=4-2x$
移项整理为一般形式：$3x^2+2x-4=0$
其中$a=3,b=2,c=-4$，判别式$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×3×(-4)=4+48=52＞0$
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{52}}{2×3}=\frac{-2\pm2\sqrt{13}}{6}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{3}$
即$x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{3},x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{3}$
(3) 方程两边同乘4消去分母得：$2x(x+2)=3-2x$
去括号得：$2x^2+4x=3-2x$
移项合并同类项得一般形式：$2x^2+6x-3=0$
其中$a=2,b=6,c=-3$，判别式$\Delta=6^2-4×2×(-3)=36+24=60＞0$
代入求根公式得：
$x=\frac{-6\pm\sqrt{60}}{2×2}=\frac{-6\pm2\sqrt{15}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{15}}{2}$
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{15}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$
(4) 先将方程变形为：$4(t-5)^2-4(t-5)+1=0$
令$u=t-5$，则方程变为：$4u^2-4u+1=0$
因式分解得：$(2u-1)^2=0$
解得：$u=\frac{1}{2}$
即$t-5=\frac{1}{2}$，解得$t_1=t_2=\frac{11}{2}$
【答案】
(1) $x_1=x_2=-\sqrt{2}$
(2) $x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{3},x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{3}$
(3) $x_1=\frac{-3+\sqrt{15}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$
(4) $t_1=t_2=\frac{11}{2}$
【知识点】
一元二次方程解法；完全平方公式；求根公式
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，解题时要先观察方程特征优先选择简便方法，无特殊结构的方程先整理为一般形式再求解，计算过程中要注意符号处理和根式化简，保证结果的准确性。
【难度系数】
0.75
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、公式法，解题时优先观察方程结构选择简便方法：
1. 第(1)题左边恰好是完全平方式，可直接用因式分解法求解；
2. 第(2)题先去括号、移项整理为一元二次方程的一般形式，再用公式法求解；
3. 第(3)题先去分母消去分数，再整理为一般形式后用公式法求解；
4. 第(4)题将$(t-5)$看作整体，变形后左边为完全平方式，用因式分解法简化计算。
【解析】
(1) 原方程可变形为：
$(x+\sqrt{2})^2=0$
开方得：$x+\sqrt{2}=0$
解得：$x_1=x_2=-\sqrt{2}$
(2) 先去括号得：$3x^2=4-2x$
移项整理为一般形式：$3x^2+2x-4=0$
其中$a=3,b=2,c=-4$，判别式$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×3×(-4)=4+48=52＞0$
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{52}}{2×3}=\frac{-2\pm2\sqrt{13}}{6}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{3}$
即$x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{3},x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{3}$
(3) 方程两边同乘4消去分母得：$2x(x+2)=3-2x$
去括号得：$2x^2+4x=3-2x$
移项合并同类项得一般形式：$2x^2+6x-3=0$
其中$a=2,b=6,c=-3$，判别式$\Delta=6^2-4×2×(-3)=36+24=60＞0$
代入求根公式得：
$x=\frac{-6\pm\sqrt{60}}{2×2}=\frac{-6\pm2\sqrt{15}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{15}}{2}$
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{15}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$
(4) 先将方程变形为：$4(t-5)^2-4(t-5)+1=0$
令$u=t-5$，则方程变为：$4u^2-4u+1=0$
因式分解得：$(2u-1)^2=0$
解得：$u=\frac{1}{2}$
即$t-5=\frac{1}{2}$，解得$t_1=t_2=\frac{11}{2}$
【答案】
(1) $x_1=x_2=-\sqrt{2}$
(2) $x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{3},x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{3}$
(3) $x_1=\frac{-3+\sqrt{15}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$
(4) $t_1=t_2=\frac{11}{2}$
【知识点】
一元二次方程解法；完全平方公式；求根公式
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，解题时要先观察方程特征优先选择简便方法，无特殊结构的方程先整理为一般形式再求解，计算过程中要注意符号处理和根式化简，保证结果的准确性。
【难度系数】
0.75
