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13 已知关于$x$的一元二次方程$mx^2-(3m-1)x+2m-1=0$的根的判别式的值为1，求$m$的值及该方程的根。
答案
13. 根据题意，得$m≠0$，且$\Delta=[-(3m-1)]^2-4m(2m-1)=m^2-2m+1=1$，解得$m_1=0$(不合题意，舍去)，$m_2=2$。
∴$m=2$，
∴原方程为$2x^2-5x+3=0$，解得$x_1=\frac{3}{2},x_2=1$
∴$m=2$，
∴原方程为$2x^2-5x+3=0$，解得$x_1=\frac{3}{2},x_2=1$
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的是一元二次方程，因此隐含条件是二次项系数不为0，即$m≠0$；其次已知根的判别式的值为1，可直接套用一元二次方程根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，对应找到方程中$a=m$、$b=-(3m-1)$、$c=2m-1$，代入后得到关于$m$的方程，求解后舍去不符合$m≠0$的解，得到正确的$m$值，最后将$m$代入原方程，求解一元二次方程即可得到方程的根。
【解析】
∵该方程是关于$x$的一元二次方程，
∴二次项系数$m≠0$。
根据根的判别式$\Delta=1$，代入$\Delta=b^2-4ac$得：
$[-(3m-1)]^2-4m(2m-1)=1$
展开并整理：
$9m^2-6m+1-8m^2+4m=1$
$m^2-2m=0$
$m(m-2)=0$
解得$m_1=0$，$m_2=2$。
∵$m≠0$，
∴$m_1=0$不合题意，舍去，即$m=2$。
将$m=2$代入原方程，得$2x^2-5x+3=0$，
因式分解得$(2x-3)(x-1)=0$，
解得$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=1$。
【答案】
$m$的值为2，方程的根为$x_1=1$，$x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式、解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，未舍去$m=0$的解导致错误，熟练掌握相关概念和计算方法即可正确解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目给出的是一元二次方程，因此隐含条件是二次项系数不为0，即$m≠0$；其次已知根的判别式的值为1，可直接套用一元二次方程根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，对应找到方程中$a=m$、$b=-(3m-1)$、$c=2m-1$，代入后得到关于$m$的方程，求解后舍去不符合$m≠0$的解，得到正确的$m$值，最后将$m$代入原方程，求解一元二次方程即可得到方程的根。
【解析】
∵该方程是关于$x$的一元二次方程，
∴二次项系数$m≠0$。
根据根的判别式$\Delta=1$，代入$\Delta=b^2-4ac$得：
$[-(3m-1)]^2-4m(2m-1)=1$
展开并整理：
$9m^2-6m+1-8m^2+4m=1$
$m^2-2m=0$
$m(m-2)=0$
解得$m_1=0$，$m_2=2$。
∵$m≠0$，
∴$m_1=0$不合题意，舍去，即$m=2$。
将$m=2$代入原方程，得$2x^2-5x+3=0$，
因式分解得$(2x-3)(x-1)=0$，
解得$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=1$。
【答案】
$m$的值为2，方程的根为$x_1=1$，$x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式、解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，未舍去$m=0$的解导致错误，熟练掌握相关概念和计算方法即可正确解答。
【难度系数】
0.7
14 [2025 沭阳段考]定义:如果关于 x 的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$,那么我们称这个方程为“黄金方程”.
(1) 有下列方程:① $x^2=1$;② $(x-1)(x+2)=0$;③ $x^2-2x-3=0$.其中,是“黄金方程”的为
(2) 已知$3x^2 -ax +b=0$是关于 x 的“黄金方程”,若$x=a$是此“黄金方程”的一个根,求 a 的值.
(3) 已知关于 x 的一元二次方程$2x^2 +bx +c=0(c≠0)$是“黄金方程”,求代数式$b^2 -2c +1$的最小值.
(1) 有下列方程:① $x^2=1$;② $(x-1)(x+2)=0$;③ $x^2-2x-3=0$.其中,是“黄金方程”的为
①③
(填序号).(2) 已知$3x^2 -ax +b=0$是关于 x 的“黄金方程”,若$x=a$是此“黄金方程”的一个根,求 a 的值.
(3) 已知关于 x 的一元二次方程$2x^2 +bx +c=0(c≠0)$是“黄金方程”,求代数式$b^2 -2c +1$的最小值.
答案
14. (1) ①③ (2) 由条件可知$3-(-a)+b=0$，
∴$b=-a-3$，
∴原方程为$3x^2-ax-a-3=0$。
∵a是此“黄金方程”的一个根，
∴$3a^2-a^2-a-3=0$，即$2a^2-a-3=0$，
∴$(a+1)(2a-3)=0$，解得$a=-1$或$a=\frac{3}{2}$ (3) 由条件可知$2-b+c=0$，
∴$c=b-2$，
∴$b^2-2c+1=b^2-2(b-2)+1=b^2-2b+1+4=(b-1)^2+4$。
∵$(b-1)^2≥0$，
∴$(b-1)^2+4≥4$，
∴$b^2-2c+1$的最小值为4
∴$b=-a-3$，
∴原方程为$3x^2-ax-a-3=0$。
∵a是此“黄金方程”的一个根，
∴$3a^2-a^2-a-3=0$，即$2a^2-a-3=0$，
∴$(a+1)(2a-3)=0$，解得$a=-1$或$a=\frac{3}{2}$ (3) 由条件可知$2-b+c=0$，
∴$c=b-2$，
∴$b^2-2c+1=b^2-2(b-2)+1=b^2-2b+1+4=(b-1)^2+4$。
∵$(b-1)^2≥0$，
∴$(b-1)^2+4≥4$，
∴$b^2-2c+1$的最小值为4
解析
【分析】
首先明确“黄金方程”的定义：关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$，本质是$x=-1$是该方程的一个根（将$x=-1$代入方程即可得到$a-b+c=0$）。
(1) 解题思路：将各方程整理为一元二次方程的一般形式，确定$a、b、c$的值，验证是否满足$a-b+c=0$，或直接代入$x=-1$判断方程是否成立，即可筛选出“黄金方程”。
(2) 解题思路：先根据“黄金方程”的定义，代入对应系数得到$a$与$b$的关系，再将$x=a$代入方程得到关于$a$的一元二次方程，解方程即可求出$a$的值。
(3) 解题思路：先根据“黄金方程”的定义得到$b$与$c$的关系，将关系代入所求代数式，通过配方将代数式转化为含完全平方式的形式，利用平方的非负性即可求出最小值，注意验证$c≠0$的限制条件是否满足最值要求。
【解析】
(1) 分别判断三个方程：
① 方程$x^2=1$整理为一般形式为$x^2-1=0$，$a=1,b=0,c=-1$，$a-b+c=1-0-1=0$，是“黄金方程”；
② 方程$(x-1)(x+2)=0$整理为一般形式为$x^2+x-2=0$，$a=1,b=1,c=-2$，$a-b+c=1-1-2=-2≠0$，不是“黄金方程”；
③ 方程$x^2-2x-3=0$中，$a=1,b=-2,c=-3$，$a-b+c=1-(-2)-3=0$，是“黄金方程”。
(2)
∵$3x^2 -ax +b=0$是“黄金方程”
∴代入定义得$3 - (-a) + b = 0$，即$b=-a-3$
∴原方程为$3x^2 -ax -a -3=0$
∵$x=a$是该方程的一个根，代入得：
$3a^2 -a· a -a -3=0$
化简得$2a^2 -a -3=0$
因式分解得$(a+1)(2a-3)=0$
解得$a=-1$或$a=\frac{3}{2}$
(3)
∵$2x^2 +bx +c=0$是“黄金方程”
∴代入定义得$2 - b + c = 0$，即$c=b-2$
将$c=b-2$代入$b^2 -2c +1$得：
$b^2 -2(b-2)+1 = b^2 -2b +4 +1 = b^2 -2b +1 +4 = (b-1)^2 +4$
∵$(b-1)^2≥0$
∴$(b-1)^2 +4 ≥4$
当$b=1$时取等号，此时$c=1-2=-1≠0$，满足题设条件。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①③}$；(2) $\boldsymbol{a=-1}$或$\boldsymbol{a=\frac{3}{2}}$；(3) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
一元二次方程的根的意义，因式分解法解一元二次方程，配方法求最值
【点评】
本题属于新定义类考题，解题的关键是准确理解“黄金方程”的定义，结合一元二次方程的相关性质灵活转化条件，考查了基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
首先明确“黄金方程”的定义：关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$，本质是$x=-1$是该方程的一个根（将$x=-1$代入方程即可得到$a-b+c=0$）。
(1) 解题思路：将各方程整理为一元二次方程的一般形式，确定$a、b、c$的值，验证是否满足$a-b+c=0$，或直接代入$x=-1$判断方程是否成立，即可筛选出“黄金方程”。
(2) 解题思路：先根据“黄金方程”的定义，代入对应系数得到$a$与$b$的关系，再将$x=a$代入方程得到关于$a$的一元二次方程，解方程即可求出$a$的值。
(3) 解题思路：先根据“黄金方程”的定义得到$b$与$c$的关系，将关系代入所求代数式，通过配方将代数式转化为含完全平方式的形式，利用平方的非负性即可求出最小值，注意验证$c≠0$的限制条件是否满足最值要求。
【解析】
(1) 分别判断三个方程：
① 方程$x^2=1$整理为一般形式为$x^2-1=0$，$a=1,b=0,c=-1$，$a-b+c=1-0-1=0$，是“黄金方程”；
② 方程$(x-1)(x+2)=0$整理为一般形式为$x^2+x-2=0$，$a=1,b=1,c=-2$，$a-b+c=1-1-2=-2≠0$，不是“黄金方程”；
③ 方程$x^2-2x-3=0$中，$a=1,b=-2,c=-3$，$a-b+c=1-(-2)-3=0$，是“黄金方程”。
(2)
∵$3x^2 -ax +b=0$是“黄金方程”
∴代入定义得$3 - (-a) + b = 0$，即$b=-a-3$
∴原方程为$3x^2 -ax -a -3=0$
∵$x=a$是该方程的一个根，代入得：
$3a^2 -a· a -a -3=0$
化简得$2a^2 -a -3=0$
因式分解得$(a+1)(2a-3)=0$
解得$a=-1$或$a=\frac{3}{2}$
(3)
∵$2x^2 +bx +c=0$是“黄金方程”
∴代入定义得$2 - b + c = 0$，即$c=b-2$
将$c=b-2$代入$b^2 -2c +1$得：
$b^2 -2(b-2)+1 = b^2 -2b +4 +1 = b^2 -2b +1 +4 = (b-1)^2 +4$
∵$(b-1)^2≥0$
∴$(b-1)^2 +4 ≥4$
当$b=1$时取等号，此时$c=1-2=-1≠0$，满足题设条件。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①③}$；(2) $\boldsymbol{a=-1}$或$\boldsymbol{a=\frac{3}{2}}$；(3) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
一元二次方程的根的意义，因式分解法解一元二次方程，配方法求最值
【点评】
本题属于新定义类考题，解题的关键是准确理解“黄金方程”的定义，结合一元二次方程的相关性质灵活转化条件，考查了基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
15 已知关于x的一元二次方程$x^2 -2mx -3m^2 +8m -4=0$.
（1）求证:该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根一个小于5,另一个大于2,求m的取值范围.
（1）求证:该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根一个小于5,另一个大于2,求m的取值范围.
答案
15. (1)
∵$\Delta=(-2m)^2-4(-3m^2+8m-4)=4m^2+12m^2-32m+16=16(m-1)^2≥0$，
∴该方程总有两个实数根 (2)
∵$x^2-2mx-3m^2+8m-4=0$，
∴$(x+2-3m)(x+m-2)=0$，
∴$x_1=3m-2$，$x_2=2-m$。由题意，得$\begin{cases} 3m-2＜5,\\ 2-m＞2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} 2-m＜5,\\ 3m-2＞2, \end{cases}$ 解得$m＜0$或$m＞\frac{4}{3}$，
∴m的取值范围是$m＜0$或$m＞\frac{4}{3}$
∵$\Delta=(-2m)^2-4(-3m^2+8m-4)=4m^2+12m^2-32m+16=16(m-1)^2≥0$，
∴该方程总有两个实数根 (2)
∵$x^2-2mx-3m^2+8m-4=0$，
∴$(x+2-3m)(x+m-2)=0$，
∴$x_1=3m-2$，$x_2=2-m$。由题意，得$\begin{cases} 3m-2＜5,\\ 2-m＞2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} 2-m＜5,\\ 3m-2＞2, \end{cases}$ 解得$m＜0$或$m＞\frac{4}{3}$，
∴m的取值范围是$m＜0$或$m＞\frac{4}{3}$
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，只需证明判别式$\Delta ≥ 0$即可。先确定方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入$\Delta = b^2-4ac$化简，判断化简结果的非负性即可得证。
（2）要求$m$的取值范围，先将原方程因式分解求出两个根的表达式，由于两个根的大小关系不确定，因此分两种情况讨论：分别对应两个根一个小于5、另一个大于2的情况，求解对应的不等式组后合并解集即可。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 -2mx -3m^2 +8m -4=0$，其中$a=1$，$b=-2m$，$c=-3m^2+8m-4$，
则判别式$\Delta=(-2m)^2-4×1×(-3m^2+8m-4)$
$=4m^2+12m^2-32m+16$
$=16m^2-32m+16$
$=16(m-1)^2$
∵无论$m$取何值，$(m-1)^2≥0$，
∴$16(m-1)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴该方程总有两个实数根。
（2）解：对原方程因式分解得：
$(x+2-3m)(x+m-2)=0$，
解得$x_1=3m-2$，$x_2=2-m$。
由题意分两种情况讨论：
① $\begin{cases} 3m-2＜5\\ 2-m＞2 \end{cases}$，
解第一个不等式得$m＜\frac{7}{3}$，解第二个不等式得$m＜0$，取交集得$m＜0$；
② $\begin{cases} 2-m＜5\\ 3m-2＞2 \end{cases}$，
解第一个不等式得$m＞-3$，解第二个不等式得$m＞\frac{4}{3}$，取交集得$m＞\frac{4}{3}$。
综上，合并解集得$m$的取值范围。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$m＜0$或$m＞\frac{4}{3}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；因式分解法解一元二次方程；不等式组求解
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判定与参数取值求解，解题时要注意第二问中两根大小不明确，需分类讨论两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，只需证明判别式$\Delta ≥ 0$即可。先确定方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入$\Delta = b^2-4ac$化简，判断化简结果的非负性即可得证。
（2）要求$m$的取值范围，先将原方程因式分解求出两个根的表达式，由于两个根的大小关系不确定，因此分两种情况讨论：分别对应两个根一个小于5、另一个大于2的情况，求解对应的不等式组后合并解集即可。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 -2mx -3m^2 +8m -4=0$，其中$a=1$，$b=-2m$，$c=-3m^2+8m-4$，
则判别式$\Delta=(-2m)^2-4×1×(-3m^2+8m-4)$
$=4m^2+12m^2-32m+16$
$=16m^2-32m+16$
$=16(m-1)^2$
∵无论$m$取何值，$(m-1)^2≥0$，
∴$16(m-1)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴该方程总有两个实数根。
（2）解：对原方程因式分解得：
$(x+2-3m)(x+m-2)=0$，
解得$x_1=3m-2$，$x_2=2-m$。
由题意分两种情况讨论：
① $\begin{cases} 3m-2＜5\\ 2-m＞2 \end{cases}$，
解第一个不等式得$m＜\frac{7}{3}$，解第二个不等式得$m＜0$，取交集得$m＜0$；
② $\begin{cases} 2-m＜5\\ 3m-2＞2 \end{cases}$，
解第一个不等式得$m＞-3$，解第二个不等式得$m＞\frac{4}{3}$，取交集得$m＞\frac{4}{3}$。
综上，合并解集得$m$的取值范围。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$m＜0$或$m＞\frac{4}{3}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；因式分解法解一元二次方程；不等式组求解
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判定与参数取值求解，解题时要注意第二问中两根大小不明确，需分类讨论两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
