13 已知关于$x$的一元二次方程$mx^2-(3m-1)x+2m-1=0$的根的判别式的值为1，求$m$的值及该方程的根。

13. 根据题意，得$m≠0$，且$\Delta=[-(3m-1)]^2-4m(2m-1)=m^2-2m+1=1$，解得$m_1=0$(不合题意，舍去)，$m_2=2$。
∴$m=2$，
∴原方程为$2x^2-5x+3=0$，解得$x_1=\frac{3}{2},x_2=1$

14 [2025 沭阳段考]定义:如果关于 x 的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$,那么我们称这个方程为“黄金方程”.
(1) 有下列方程:① $x^2=1$;② $(x-1)(x+2)=0$;③ $x^2-2x-3=0$.其中,是“黄金方程”的为(填序号).
(2) 已知$3x^2 -ax +b=0$是关于 x 的“黄金方程”,若$x=a$是此“黄金方程”的一个根,求 a 的值.
(3) 已知关于 x 的一元二次方程$2x^2 +bx +c=0(c≠0)$是“黄金方程”,求代数式$b^2 -2c +1$的最小值.

14. (1) ①③ (2) 由条件可知$3-(-a)+b=0$，
∴$b=-a-3$，
∴原方程为$3x^2-ax-a-3=0$。
∵a是此“黄金方程”的一个根，
∴$3a^2-a^2-a-3=0$，即$2a^2-a-3=0$，
∴$(a+1)(2a-3)=0$，解得$a=-1$或$a=\frac{3}{2}$ (3) 由条件可知$2-b+c=0$，
∴$c=b-2$，
∴$b^2-2c+1=b^2-2(b-2)+1=b^2-2b+1+4=(b-1)^2+4$。
∵$(b-1)^2≥0$，
∴$(b-1)^2+4≥4$，
∴$b^2-2c+1$的最小值为4

15 已知关于x的一元二次方程$x^2 -2mx -3m^2 +8m -4=0$.
（1）求证:该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根一个小于5,另一个大于2,求m的取值范围.

15. (1)
∵$\Delta=(-2m)^2-4(-3m^2+8m-4)=4m^2+12m^2-32m+16=16(m-1)^2≥0$，
∴该方程总有两个实数根 (2)
∵$x^2-2mx-3m^2+8m-4=0$，
∴$(x+2-3m)(x+m-2)=0$，
∴$x_1=3m-2$，$x_2=2-m$。由题意，得$\begin{cases} 3m-2＜5,\\ 2-m＞2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} 2-m＜5,\\ 3m-2＞2, \end{cases}$ 解得$m＜0$或$m＞\frac{4}{3}$，
∴m的取值范围是$m＜0$或$m＞\frac{4}{3}$