1. 如图是简单的平面示意图,已知$OA=2\ \mathrm{km}$,$OB=6\ \mathrm{km}$,$OC=BD=4\ \mathrm{km}$,点$E$为$OC$的中点.
(1)由图可知,高铁站在小明家南偏西$65°$方向$6\ \mathrm{km}$处,请用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置；
(2)图中到小明家距离相同的是哪些地方？
(3)若小强家在小明家北偏西$60°$方向$2\ \mathrm{km}$处,请在图中标出小强家的位置.

1.解:(1)学校在小明家北偏东$45°$方向$2\ \mathrm{km}$处,博物馆在小明家南偏东$50°$方向$4\ \mathrm{km}$处.
(2)题图中到小明家距离相同的是学校、公园和影院.
(3)如答图,点$F$即为小强家.

【分析】
本题考查方位角与线段计算的综合应用，解题思路如下：
(1) 描述位置需要明确方向、距离两个核心要素，先确定学校、博物馆与正北/正南方向的夹角，再结合对应线段长度即可描述位置；
(2) 要找距离小明家相同的地点，只需计算各地点到点O的线段长度，结合已知BD的长度计算OD，利用中点性质计算OE，对比长度相等的即可；
(3) 作图时先以O为顶点作出北偏西60°的方向射线，再在射线上截取2km长度的线段标注端点即可。
【解析】
解：(1) 学校的位置：OA与正东方向夹角为45°，因此与正北方向夹角也为45°，即北偏东45°方向，已知$OA=2\ \mathrm{km}$，故学校在小明家北偏东$45°$方向$2\ \mathrm{km}$处；
博物馆的位置：OC与正东方向夹角为40°，则与正南方向的夹角为$90°-40°=50°$，即南偏东50°方向，已知$OC=4\ \mathrm{km}$，故博物馆在小明家南偏东$50°$方向$4\ \mathrm{km}$处。
(2) 计算各地点到小明家（点O）的距离：
已知$OA=2\ \mathrm{km}$，$OB=6\ \mathrm{km}$，$OC=4\ \mathrm{km}$；
由$BD=4\ \mathrm{km}$，可得$OD=OB-BD=6-4=2\ \mathrm{km}$；
点E为OC中点，故$OE=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{km}$；
因此$OA=OD=OE=2\ \mathrm{km}$，对应地点为学校、影院、公园，即这三个地点到小明家距离相同。
(3) 以点O为顶点，正北方向射线为始边，向西旋转60°得到角的终边，在终边上截取长度为2 km的线段，端点标记为F，点F即为小强家的位置。
【答案】
(1) 学校在小明家北偏东$45°$方向$2\ \mathrm{km}$处,博物馆在小明家南偏东$50°$方向$4\ \mathrm{km}$处。
(2) 到小明家距离相同的是学校、公园和影院。
(3) 如答图,点$F$即为小强家。

【知识点】
方位角的应用；线段和差计算；线段中点的性质
【点评】
本题结合生活场景考查方位角的识别与应用，同时融合线段的和差、中点性质的基础运算，侧重考查学生的识图能力和基础作图能力。
【难度系数】
0.8