5.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(1,4),点C的坐标为(-2,6),如果存在点D,使得△ABD与△ABC全等,那么点D的坐标为.(写出所有可能的情况)

(4,6),(-2,-2),(4,-2)

【分析】
首先观察点A、B的坐标，发现两点横坐标相同，因此线段AB是垂直于x轴的竖直线段，直线AB为x=1，是两个三角形的公共边。要使△ABD与△ABC全等，我们可以利用轴对称的性质找对应点：由于公共边AB固定，点D的位置分为三类：一是点D与点C关于直线AB对称（两三角形在AB同侧）；二是点D与点C关于线段AB的中垂线对称（两三角形在AB异侧，C、D分别在AB的上下方）；三是第二类的点再关于直线AB对称，即可得到所有符合条件的D点坐标，避免漏解。
【解析】
解：
∵点A(1,0)，点B(1,4)，
∴直线AB的解析式为x=1，线段AB的中点坐标为(1,2)，AB的中垂线为水平线y=2。
要使△ABD与△ABC全等，AB为公共边，分三类情况找点D：
1. 点D与点C关于直线x=1对称：
点C(-2,6)关于x=1对称时，纵坐标不变，横坐标为$1 + [1 - (-2)] = 4$，得$D_1(4,6)$；
2. 点D与点C关于直线y=2对称：
点C(-2,6)关于y=2对称时，横坐标不变，纵坐标为$2 - (6 - 2) = -2$，得$D_2(-2,-2)$；
3. 点D是$D_2$关于直线x=1的对称点：
点$D_2(-2,-2)$关于x=1对称时，纵坐标不变，横坐标为$1 + [1 - (-2)] = 4$，得$D_3(4,-2)$。
经检验，以上三个点都能使△ABD与△ABC全等。
【答案】
(4,6),(-2,-2),(4,-2)
【知识点】
全等三角形的判定；坐标与图形变化-对称
【点评】
本题考查坐标平面内全等三角形的存在性问题，解题的核心是抓住公共边AB的特征，利用轴对称性质快速定位对应点，解题时要注意分类讨论，避免漏下不同位置的符合条件的点。
【难度系数】
0.6

6.如图,已知点A(4,3),若点P在x轴上且△POA为等腰三角形,求点P的坐标. 第6题图

解:如答图,过点A作AE⊥x轴于点E,则OE=4,AE=3,由勾股定理,得$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
当O为顶角顶点时,以点O为圆心,OA的长为半径作弧交x轴于点$P_1,P_2$,则$OP_1=OP_2=OA=5$,
∴$P_1(-5,0),P_2(5,0)$.
当A为顶角顶点时,以点A为圆心,AO的长为半径作弧交x轴于点$P_3$,则$AP_3=AO$,
∴$P_3E=OE=4$,
∴$OP_3=8,∴P_3(8,0)$.
当P为顶角顶点时,作OA的垂直平分线交x轴于点$P_4$,设$AP_4=OP_4=x$,则$P_4E=4-x$.
在Rt△$AP_4E$中,由勾股定理,得$(4-x)^2+3^2=x^2$,
解得$x=\frac{25}{8},∴OP_4=\frac{25}{8},∴P_4(\frac{25}{8},0)$.
综上所述,点P的坐标为(-5,0)或$(\frac{25}{8},0)$或(5,0)或(8,0).

【分析】
解决本题需围绕等腰三角形“两边相等”的性质，采用分类讨论思想，按顶角顶点的不同分三类讨论：①以O为顶角顶点，此时OA=OP；②以A为顶角顶点，此时AO=AP；③以P为顶角顶点，此时PO=PA。首先利用点A的坐标通过勾股定理求出OA的长度，再结合x轴上点纵坐标为0的特征，分别计算每种情况对应的P点坐标，最后汇总所有符合条件的结果即可。
【解析】
过点A作AE⊥x轴于点E，已知A(4,3)，则OE=4，AE=3，
由勾股定理，得$OA=\sqrt{OE^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
分三种情况讨论：
1. 当O为顶角顶点时：
以点O为圆心，OA的长为半径作弧交x轴于点$P_1,P_2$，则$OP_1=OP_2=OA=5$，
∴$P_1(-5,0),P_2(5,0)$。
2. 当A为顶角顶点时：
以点A为圆心，AO的长为半径作弧交x轴于点$P_3$，则$AP_3=AO$，
由等腰三角形三线合一性质得$P_3E=OE=4$，
∴$OP_3=8$，
∴$P_3(8,0)$。
3. 当P为顶角顶点时：
作OA的垂直平分线交x轴于点$P_4$，设$AP_4=OP_4=x$，则$P_4E=4-x$，
在Rt△$AP_4E$中，由勾股定理，得$(4-x)^2+3^2=x^2$，
解得$x=\frac{25}{8}$，
∴$OP_4=\frac{25}{8}$，
∴$P_4(\frac{25}{8},0)$。
【答案】
点P的坐标为(-5,0)或$(\frac{25}{8},0)$或(5,0)或(8,0)。
【知识点】
等腰三角形的判定；勾股定理；坐标与图形性质
【点评】
本题是坐标平面内等腰三角形存在性问题的经典题型，核心解题思想是分类讨论，需按照顶角顶点的不同明确分类标准，避免出现漏解或多解的情况，同时结合勾股定理完成坐标计算，对分类讨论思想和基础运算能力有一定考察。
【难度系数】
0.6

7.如图,在平面直角坐标系中,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,点A(0,3),点B(4,0),CD⊥x轴,垂足为D.
(1)求证:△AOB≌△BDC;
(2)求点C的坐标;
(3)若点E(-3,0),连接EA,在平面直角坐标系中存在一点P,使得△PAE是等腰直角三角形,请直接写出所有符合条件的点P的坐标.

(1)证明:
∵△ABC是等腰直角三角形,且CD⊥x轴,
∴∠ABO+∠BAO=90°,∠CBD+∠BCD=90°,∠ABO+∠CBD=90°,AB=BC,
∴∠ABO=∠BCD,∠BAO=∠CBD.
在△AOB和△BDC中,$\begin{cases} ∠ABO=∠BCD,\\ AB=BC,\\ ∠BAO=∠CBD, \end{cases}$
∴△AOB≌△BDC(ASA).
(2)解:
∵△AOB≌△BDC,
∴CD=OB=4,BD=OA=3,
∴OD=OB+BD=4+3=7,
∴点C的坐标为(7,4).
(3)解:点P的坐标为(0,0)或(-3,3)或(0,-3)或(-6,3)或(-3,6)或(3,0).

【分析】
(1)要证明△AOB≌△BDC，先由等腰直角三角形的性质得AB=BC，∠ABC=90°，再结合CD⊥x轴、∠AOB=90°，利用同角的余角相等推出两组对应角相等，即可用ASA判定两个三角形全等。
(2)根据全等三角形对应边相等的性质，可得BD=OA，CD=OB，结合已知点A、B的坐标，计算OD的长度后即可得到点C的坐标。
(3)要找使△PAE为等腰直角三角形的点P，需分三类讨论：①以点A为直角顶点，AE为直角边；②以点E为直角顶点，AE为直角边；③以AE为斜边，分别结合等腰直角三角形的边的性质计算对应P点坐标，注意不要遗漏情况。
【解析】
(1)证明:
∵△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,CD⊥x轴,
∴∠ABO+∠BAO=90°,∠CBD+∠BCD=90°,∠ABO+∠CBD=90°,AB=BC,
∴∠ABO=∠BCD,∠BAO=∠CBD.
在△AOB和△BDC中,$\begin{cases} ∠ABO=∠BCD,\\ AB=BC,\\ ∠BAO=∠CBD, \end{cases}$
∴△AOB≌△BDC(ASA).
(2)解:
∵△AOB≌△BDC,
∴CD=OB=4,BD=OA=3,
∴OD=OB+BD=4+3=7,
∴点C的坐标为(7,4).
(3)解：
分三种情况讨论等腰直角△PAE：
①以A为直角顶点时，得到P坐标为(-6,3)、(3,0)；
②以E为直角顶点时，得到P坐标为(-3,3)、(0,-3)；
③以AE为斜边时，得到P坐标为(0,0)、(-3,6)。
综上，所有符合条件的点P坐标为(0,0)或(-3,3)或(0,-3)或(-6,3)或(-3,6)或(3,0)。
【答案】
(1)证明见解析；
(2)$\boldsymbol{(7,4)}$；
(3)$\boldsymbol{(0,0)}$、$\boldsymbol{(-3,3)}$、$\boldsymbol{(0,-3)}$、$\boldsymbol{(-6,3)}$、$\boldsymbol{(-3,6)}$、$\boldsymbol{(3,0)}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；坐标与图形性质
【点评】
本题是坐标系与几何结合的综合题，前两问侧重全等三角形的基础应用，难度较低；第三问属于存在性问题，需要对等腰直角三角形的直角顶点分类讨论，解题时需全面思考，避免漏解，能有效考查分类讨论的思维能力。
【难度系数】
0.6

8.(鼓楼区期末)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为$(-1,0),(3,0)$.现同时将点A,B分别向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,CD.
(1)直接写出点C,D的坐标;
(2)在x轴上是否存在点M,使$S_{△ MDC}=S_{△ MBD}$?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)点C的坐标为(0,2),点D的坐标为(4,2).
(2)设点M的坐标为(m,0).
∵B(3,0),
∴BM=|m-3|.
由(1)知,C(0,2),D(4,2),
∴CD=4.
由平移知,AB与CD间的距离相等,均为OC.
∵$S_{△MDC}=S_{△MBD}$,
∴$\frac{1}{2}CD·OC=\frac{1}{2}BM·OC$,
∴BM=CD=4,即|m-3|=4,解得m=7或m=-1.
∴点M的坐标为(-1,0)或(7,0).

【分析】
(1) 依据点的平移规律：向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加，结合点A、B的初始坐标可直接计算出平移后C、D的坐标；(2) 对于存在性问题先假设成立，设点M坐标为$(m,0)$，分别表示出$△ MDC$和$△ MBD$的面积：$△ MDC$的底为CD的长度，高为CD到x轴的距离2；$△ MBD$的底为BM的长度（用绝对值表示避免漏解），高同样为点D到x轴的距离2，令两个面积相等列方程求解，即可得到点M的坐标。
【解析】
(1) 根据平移规则：向右平移1个单位横坐标加1，向上平移2个单位纵坐标加2。
点$A(-1,0)$平移后：横坐标为$-1+1=0$，纵坐标为$0+2=2$，即$C(0,2)$；
点$B(3,0)$平移后：横坐标为$3+1=4$，纵坐标为$0+2=2$，即$D(4,2)$。
(2) 存在，理由如下：
设x轴上点M的坐标为$(m,0)$，
$\because B(3,0)$，$\therefore BM=|m-3|$，
由(1)可知$CD=4-0=4$，CD平行于x轴，CD与x轴的距离为2，即两个三角形的高均为2，
$\because S_{△ MDC}=S_{△ MBD}$，
$\therefore \frac{1}{2} × CD × 2 = \frac{1}{2} × BM × 2$，
化简得$CD=BM$，即$|m-3|=4$，
解得$m=7$或$m=-1$，
$\therefore$点M的坐标为$(-1,0)$或$(7,0)$。
【答案】
(1) $C(0,2)$，$D(4,2)$；
(2) 存在，点M的坐标为$(-1,0)$或$(7,0)$。
【知识点】
坐标平移规律；三角形面积计算；坐标与图形性质
【点评】
本题考查平移的性质、坐标平面内三角形面积的计算及存在性问题的求解，解题时注意用绝对值表示数轴上两点的距离，避免漏解，熟练掌握平移规则和面积公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7