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1.若等腰三角形的两边长分别为 3 cm 和 7 cm,则它的周长为 （
A.13 cm
B.17 cm
C.13 cm或 17 cm
D.11 cm或 17 cm
B
）A.13 cm
B.17 cm
C.13 cm或 17 cm
D.11 cm或 17 cm
答案
1.B
解析
【分析】
解题时需结合等腰三角形“两腰长度相等”的性质分类讨论，再依据三角形三边关系判断两种情况是否能构成三角形，排除不成立的情况后计算符合要求的周长即可。首先分两种情况：①3cm为腰长，7cm为底边长；②7cm为腰长，3cm为底边长；其次验证每种情况的三边是否满足“任意两边之和大于第三边”，舍去不成立的情况；最后对成立的情况计算周长。
【解析】
已知等腰三角形两边长为3cm和7cm，分两种情况讨论：
1. 若腰长为3cm，底边长为7cm，此时三角形三边长为3cm、3cm、7cm。
根据三角形三边关系：$3+3=6＜7$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去。
2. 若腰长为7cm，底边长为3cm，此时三角形三边长为7cm、7cm、3cm。
验证三边关系：$3+7=10＞7$，$7+7=14＞3$，满足三边关系，可以构成三角形。
此时三角形周长为：$7+7+3=17\mathrm{cm}$。
综上，该等腰三角形的周长为17cm。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，三角形周长计算
【点评】
本题是特殊三角形边长问题的典型考法，易错点是分类讨论后忽略验证三角形三边关系，直接计算两种情况的周长从而误选C，解题时要养成分类讨论后验证合理性的习惯。
【难度系数】
0.7
解题时需结合等腰三角形“两腰长度相等”的性质分类讨论，再依据三角形三边关系判断两种情况是否能构成三角形，排除不成立的情况后计算符合要求的周长即可。首先分两种情况：①3cm为腰长，7cm为底边长；②7cm为腰长，3cm为底边长；其次验证每种情况的三边是否满足“任意两边之和大于第三边”，舍去不成立的情况；最后对成立的情况计算周长。
【解析】
已知等腰三角形两边长为3cm和7cm，分两种情况讨论：
1. 若腰长为3cm，底边长为7cm，此时三角形三边长为3cm、3cm、7cm。
根据三角形三边关系：$3+3=6＜7$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去。
2. 若腰长为7cm，底边长为3cm，此时三角形三边长为7cm、7cm、3cm。
验证三边关系：$3+7=10＞7$，$7+7=14＞3$，满足三边关系，可以构成三角形。
此时三角形周长为：$7+7+3=17\mathrm{cm}$。
综上，该等腰三角形的周长为17cm。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，三角形周长计算
【点评】
本题是特殊三角形边长问题的典型考法，易错点是分类讨论后忽略验证三角形三边关系，直接计算两种情况的周长从而误选C，解题时要养成分类讨论后验证合理性的习惯。
【难度系数】
0.7
在△ABC中，∠C=40°,CA=CB,则∠B的度数是
70°
.答案
2.70°
解析
【分析】
解题时首先观察题目给出的边的关系：CA=CB，可判定△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠A=∠B；再结合三角形内角和为180°，已知顶角∠C的度数，用内角和减去顶角的度数得到两个底角的度数和，再除以2即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵在△ABC中，CA=CB，
∴△ABC是等腰三角形，且∠A=∠B（等边对等角）。
∵三角形内角和为180°，∠C=40°，
∴∠B = (180° - ∠C) ÷ 2 = (180° - 40°) ÷ 2 = 70°。
【答案】
70°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，掌握相关基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察题目给出的边的关系：CA=CB，可判定△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠A=∠B；再结合三角形内角和为180°，已知顶角∠C的度数，用内角和减去顶角的度数得到两个底角的度数和，再除以2即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵在△ABC中，CA=CB，
∴△ABC是等腰三角形，且∠A=∠B（等边对等角）。
∵三角形内角和为180°，∠C=40°，
∴∠B = (180° - ∠C) ÷ 2 = (180° - 40°) ÷ 2 = 70°。
【答案】
70°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，掌握相关基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
3.在等腰三角形$ABC$中，$∠ A=50°$，则$∠ B$的度数是
65°或 80°或 50°
。答案
3.65°或 80°或 50°
解析
【分析】
等腰三角形的两个底角相等，题目中未明确∠A是顶角还是底角，也未明确∠B的类型，因此需要分三类讨论：①∠A为顶角，∠B为底角；②∠A为底角，∠B也为底角；③∠A为底角，∠B为顶角，再结合三角形内角和为180°分别计算即可，所有结果需符合三角形内角和要求。
【解析】
已知等腰△ABC中∠A=50°，分三种情况讨论：
1. 当∠A为顶角时，∠B和∠C为底角，根据等腰三角形两底角相等的性质：
$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-50°)÷2=65°$；
2. 当∠A为底角，∠B也为底角时，根据等腰三角形两底角相等的性质：
$∠ B=∠ A=50°$；
3. 当∠A为底角，∠B为顶角时，根据三角形内角和定理：
$∠ B=180°-2×∠ A=180°-2×50°=80°$。
以上三种情况均满足三角形内角和要求，均成立。
【答案】
65°或 80°或 50°
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题关键是明确未指明角是顶角还是底角时，要全面分类讨论，避免漏解，计算后要注意验证结果是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.6
等腰三角形的两个底角相等，题目中未明确∠A是顶角还是底角，也未明确∠B的类型，因此需要分三类讨论：①∠A为顶角，∠B为底角；②∠A为底角，∠B也为底角；③∠A为底角，∠B为顶角，再结合三角形内角和为180°分别计算即可，所有结果需符合三角形内角和要求。
【解析】
已知等腰△ABC中∠A=50°，分三种情况讨论：
1. 当∠A为顶角时，∠B和∠C为底角，根据等腰三角形两底角相等的性质：
$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-50°)÷2=65°$；
2. 当∠A为底角，∠B也为底角时，根据等腰三角形两底角相等的性质：
$∠ B=∠ A=50°$；
3. 当∠A为底角，∠B为顶角时，根据三角形内角和定理：
$∠ B=180°-2×∠ A=180°-2×50°=80°$。
以上三种情况均满足三角形内角和要求，均成立。
【答案】
65°或 80°或 50°
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题关键是明确未指明角是顶角还是底角时，要全面分类讨论，避免漏解，计算后要注意验证结果是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.6
4.已知一个直角三角形的两条边长分别为1和2，则第三条边长的平方是
5或3
.答案
4.5或3
解析
【分析】
已知直角三角形的两条边长求第三条边，首先想到运用勾股定理求解。由于题目未明确说明长度为2的边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：①长度为2的边是直角边，此时第三条边为斜边；②长度为2的边是斜边，此时第三条边为直角边。分别根据勾股定理计算两种情况下第三条边长的平方即可。
【解析】
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况计算：
1. 当长度为2的边是直角边时，第三条边为斜边：
第三条边长的平方 = $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$
2. 当长度为2的边是斜边时，第三条边为直角边：
第三条边长的平方 = $2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$
综上，第三条边长的平方为5或3。
【答案】
5或3
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认已知的两条边都是直角边导致漏解，解题时要注意审题，明确已知边的属性，未明确说明时要全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
已知直角三角形的两条边长求第三条边，首先想到运用勾股定理求解。由于题目未明确说明长度为2的边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：①长度为2的边是直角边，此时第三条边为斜边；②长度为2的边是斜边，此时第三条边为直角边。分别根据勾股定理计算两种情况下第三条边长的平方即可。
【解析】
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况计算：
1. 当长度为2的边是直角边时，第三条边为斜边：
第三条边长的平方 = $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$
2. 当长度为2的边是斜边时，第三条边为直角边：
第三条边长的平方 = $2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$
综上，第三条边长的平方为5或3。
【答案】
5或3
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认已知的两条边都是直角边导致漏解，解题时要注意审题，明确已知边的属性，未明确说明时要全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，点D在BC的垂直平分线上，BE=AB，BD平分∠ABE，则∠E的度数为
第5题图
90°−α
。第5题图答案
5.90°−α
解析
【分析】
解题时首先从角平分线和等线段条件入手，利用SAS证明△ABD≌△EBD，将待求的∠E转化为∠BAD；再结合点D在BC垂直平分线上的条件，得到BD=CD，利用SSS证明△ABD≌△ACD，推出∠BAD是∠BAC的一半；最后根据等腰△ABC的内角和求出∠BAC，代入计算即可得到∠E的度数。
【解析】
1. 证明△ABD≌△EBD：
∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD=∠EBD。
在△ABD和△EBD中：
$\{\begin{array}{l} AB=BE(已知)\\ ∠ ABD=∠ EBD(已证)\\ BD=BD(公共边)\end{array} $
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴∠E=∠BAD。
2. 证明△ABD≌△ACD：
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴BD=CD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l} AB=AC(已知)\\ BD=CD(已证)\\ AD=AD(公共边)\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC。
3. 计算∠E的度数：
∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠ACB=∠ABC=α，
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2α，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}(180°-2α)=90°-α$，
又
∵∠E=∠BAD，
∴∠E=90°-α。
【答案】
$90°−α$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，核心是通过两次全等实现角度的转化，将未知角和已知等腰三角形的内角建立联系，解题时要注意挖掘隐含的公共边、角平分线等条件，熟练掌握全等判定和特殊三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题时首先从角平分线和等线段条件入手，利用SAS证明△ABD≌△EBD，将待求的∠E转化为∠BAD；再结合点D在BC垂直平分线上的条件，得到BD=CD，利用SSS证明△ABD≌△ACD，推出∠BAD是∠BAC的一半；最后根据等腰△ABC的内角和求出∠BAC，代入计算即可得到∠E的度数。
【解析】
1. 证明△ABD≌△EBD：
∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD=∠EBD。
在△ABD和△EBD中：
$\{\begin{array}{l} AB=BE(已知)\\ ∠ ABD=∠ EBD(已证)\\ BD=BD(公共边)\end{array} $
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴∠E=∠BAD。
2. 证明△ABD≌△ACD：
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴BD=CD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l} AB=AC(已知)\\ BD=CD(已证)\\ AD=AD(公共边)\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC。
3. 计算∠E的度数：
∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠ACB=∠ABC=α，
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2α，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}(180°-2α)=90°-α$，
又
∵∠E=∠BAD，
∴∠E=90°-α。
【答案】
$90°−α$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，核心是通过两次全等实现角度的转化，将未知角和已知等腰三角形的内角建立联系，解题时要注意挖掘隐含的公共边、角平分线等条件，熟练掌握全等判定和特殊三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
6.如图,在长方形纸片ABCD中,$AB=1$,$AD=\sqrt{2}$.将该纸片沿BE折叠,使点A落在BC上的点F处,连接CE.
(1)求证:$△ BCE$是等腰三角形；
(2)将$△ CDE$沿CE折叠,点D是否落在BE上?请说明理由.
(1)求证:$△ BCE$是等腰三角形；
(2)将$△ CDE$沿CE折叠,点D是否落在BE上?请说明理由.
答案
6.(1)证明:
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠ABF=90°,BC=AD=√2.
∵该纸片沿BE折叠,使点A落在BC上的点F处，
∴∠BFE=∠A=90°,BF=AB=1，
∴BF=EF=AE=AB=1，
∴BE=√(BF²+EF²)=√2,
∴BE=BC，
∴△BCE是等腰三角形.
(2)解:将△CDE沿CE折叠,点D落在BE上.理由如下：
∵AD//BC,
∴∠DEC=∠ECB.
由(1)知BE=BC,
∴∠ECB=∠BEC，
∴∠DEC=∠BEC,
∴点D落在BE上.
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠ABF=90°,BC=AD=√2.
∵该纸片沿BE折叠,使点A落在BC上的点F处，
∴∠BFE=∠A=90°,BF=AB=1，
∴BF=EF=AE=AB=1，
∴BE=√(BF²+EF²)=√2,
∴BE=BC，
∴△BCE是等腰三角形.
(2)解:将△CDE沿CE折叠,点D落在BE上.理由如下：
∵AD//BC,
∴∠DEC=∠ECB.
由(1)知BE=BC,
∴∠ECB=∠BEC，
∴∠DEC=∠BEC,
∴点D落在BE上.
解析
【分析】
（1）要证明△BCE是等腰三角形，可通过证明三角形两条边相等完成。首先利用矩形的性质得到BC的长度，再结合折叠的性质得到BF、EF的长度，通过勾股定理计算BE的长度，对比BE与BC的长度即可得证。
（2）判断折叠后点D是否落在BE上，本质是判断CE是否为∠DEB的角平分线：若CE平分∠DEB，则沿CE折叠时DE会与BE重合，点D就落在BE上。可先由平行线的性质得到∠DEC=∠ECB，再结合（1）中等腰三角形的底角相等，推导得到∠DEC=∠BEC，即可验证结论。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠ABF=90°，BC=AD=√2。
∵该纸片沿BE折叠，使点A落在BC上的点F处，
∴∠BFE=∠A=90°，BF=AB=1，AE=EF，
∴EF=BF=1，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BF^2+EF^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
∴BE=BC，
∴△BCE是等腰三角形。
(2) 解：将△CDE沿CE折叠，点D落在BE上，理由如下：
∵四边形ABCD是长方形，AD//BC，
∴∠DEC=∠ECB（两直线平行，内错角相等）。
由(1)知BE=BC，
∴∠BEC=∠ECB（等腰三角形两底角相等），
∴∠DEC=∠BEC，即CE平分∠DEB，
因此沿CE折叠△CDE时，边ED与边EB重合，故点D落在BE上。
【答案】
(1) △BCE是等腰三角形，证明成立；
(2) 将△CDE沿CE折叠，点D落在BE上。
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题结合矩形与折叠变换考察几何推理能力，解题核心是抓住折叠前后对应边、对应角相等的性质，灵活运用平行线、等腰三角形的性质推导边角关系，是几何基础综合类的典型习题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△BCE是等腰三角形，可通过证明三角形两条边相等完成。首先利用矩形的性质得到BC的长度，再结合折叠的性质得到BF、EF的长度，通过勾股定理计算BE的长度，对比BE与BC的长度即可得证。
（2）判断折叠后点D是否落在BE上，本质是判断CE是否为∠DEB的角平分线：若CE平分∠DEB，则沿CE折叠时DE会与BE重合，点D就落在BE上。可先由平行线的性质得到∠DEC=∠ECB，再结合（1）中等腰三角形的底角相等，推导得到∠DEC=∠BEC，即可验证结论。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠ABF=90°，BC=AD=√2。
∵该纸片沿BE折叠，使点A落在BC上的点F处，
∴∠BFE=∠A=90°，BF=AB=1，AE=EF，
∴EF=BF=1，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BF^2+EF^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
∴BE=BC，
∴△BCE是等腰三角形。
(2) 解：将△CDE沿CE折叠，点D落在BE上，理由如下：
∵四边形ABCD是长方形，AD//BC，
∴∠DEC=∠ECB（两直线平行，内错角相等）。
由(1)知BE=BC，
∴∠BEC=∠ECB（等腰三角形两底角相等），
∴∠DEC=∠BEC，即CE平分∠DEB，
因此沿CE折叠△CDE时，边ED与边EB重合，故点D落在BE上。
【答案】
(1) △BCE是等腰三角形，证明成立；
(2) 将△CDE沿CE折叠，点D落在BE上。
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题结合矩形与折叠变换考察几何推理能力，解题核心是抓住折叠前后对应边、对应角相等的性质，灵活运用平行线、等腰三角形的性质推导边角关系，是几何基础综合类的典型习题。
【难度系数】
0.7
