登录
1. 如图，在$△ ABC$中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，并且相交于点F，且$∠ DFE=70°$，则$∠ DAE$的度数是（
A.$30°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$70°$
B
）A.$30°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先从垂直平分线的性质入手：首先由垂直平分线的垂直属性得到两个直角，再结合对顶角相等和四边形内角和定理求出∠BAC的度数；接着根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到AD=BD、AE=CE，利用等腰三角形等边对等角的性质推出∠B=∠BAD、∠C=∠CAE；然后根据三角形内角和求出∠B+∠C的度数，即可得到∠BAD+∠CAE的度数；最后用∠BAC减去∠BAD与∠CAE的和，就能求出∠DAE的度数。
【解析】
解：设AB的垂直平分线与AB交于点M，AC的垂直平分线与AC交于点N。
∵AB、AC的垂直平分线分别垂直于AB、AC，
∴∠AMF=∠ANF=90°。
∵∠DFE与∠MFN是对顶角，
∴∠MFN=∠DFE=70°。
在四边形AMFN中，内角和为360°，
∴∠BAC + ∠AMF + ∠ANF + ∠MFN = 360°，
代入数值计算得：∠BAC=360°-90°-90°-70°=110°。
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD。
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=CE，
∴∠C=∠CAE。
在△ABC中，∠B + ∠C = 180° - ∠BAC = 180°-110°=70°，
∴∠BAD + ∠CAE = ∠B + ∠C =70°，
∴∠DAE=∠BAC - (∠BAD + ∠CAE)=110°-70°=40°。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于垂直平分线与角度计算的综合常考题，解题核心是利用垂直平分线的性质实现边、角的等量转化，理清各角度之间的运算关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从垂直平分线的性质入手：首先由垂直平分线的垂直属性得到两个直角，再结合对顶角相等和四边形内角和定理求出∠BAC的度数；接着根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到AD=BD、AE=CE，利用等腰三角形等边对等角的性质推出∠B=∠BAD、∠C=∠CAE；然后根据三角形内角和求出∠B+∠C的度数，即可得到∠BAD+∠CAE的度数；最后用∠BAC减去∠BAD与∠CAE的和，就能求出∠DAE的度数。
【解析】
解：设AB的垂直平分线与AB交于点M，AC的垂直平分线与AC交于点N。
∵AB、AC的垂直平分线分别垂直于AB、AC，
∴∠AMF=∠ANF=90°。
∵∠DFE与∠MFN是对顶角，
∴∠MFN=∠DFE=70°。
在四边形AMFN中，内角和为360°，
∴∠BAC + ∠AMF + ∠ANF + ∠MFN = 360°，
代入数值计算得：∠BAC=360°-90°-90°-70°=110°。
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD。
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=CE，
∴∠C=∠CAE。
在△ABC中，∠B + ∠C = 180° - ∠BAC = 180°-110°=70°，
∴∠BAD + ∠CAE = ∠B + ∠C =70°，
∴∠DAE=∠BAC - (∠BAD + ∠CAE)=110°-70°=40°。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于垂直平分线与角度计算的综合常考题，解题核心是利用垂直平分线的性质实现边、角的等量转化，理清各角度之间的运算关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
2.在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$边上的动点(点$D$与点$B$，$C$不重合)，$△ ABD$和$△ ACD$的面积分别表示为$S_1$和$S_2$，下列条件不能说明$AD$是$△ ABC$的角平分线的是（
A.$BD=CD$
B.$AD=\frac{1}{2}BC$
C.$∠ ADB=∠ ADC$
D.$S_1=S_2$
B
）A.$BD=CD$
B.$AD=\frac{1}{2}BC$
C.$∠ ADB=∠ ADC$
D.$S_1=S_2$
答案
2.B
解析
【分析】
本题是等腰三角形中判断角平分线的问题，解题思路如下：首先明确等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合，因此只要能证明AD是BC边上的中线或高，即可推出AD是△ABC的角平分线；再结合每个选项的条件逐一验证，判断能否推出AD满足角平分线的要求即可。
【解析】
已知AB=AC，故△ABC为等腰三角形，BC为底边，∠BAC为顶角。
选项A：若BD=CD，则AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，即AD是△ABC的角平分线，不符合题意；
选项B：若AD=$\frac{1}{2}$BC，无法推出AD是BC边上的中线或高，可构造符合该条件但D不是BC中点的情况，此时AD不平分∠BAC，故该条件不能说明AD是角平分线，符合题意；
选项C：若∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180°，因此∠ADB=∠ADC=90°，即AD是BC边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，即AD是△ABC的角平分线，不符合题意；
选项D：设点A到BC的距离为h，则$S_1=\frac{1}{2}·BD·h$，$S_2=\frac{1}{2}·CD·h$，若$S_1=S_2$，可得BD=CD，即AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，即AD是△ABC的角平分线，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一；三角形面积计算；角平分线判定
【点评】
本题围绕等腰三角形的核心性质“三线合一”出题，结合线段长度、角度、面积等多个维度设置条件，解题时要紧扣三线合一的适用前提，也可通过举反例快速判断错误选项，有助于提升对等腰三角形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是等腰三角形中判断角平分线的问题，解题思路如下：首先明确等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合，因此只要能证明AD是BC边上的中线或高，即可推出AD是△ABC的角平分线；再结合每个选项的条件逐一验证，判断能否推出AD满足角平分线的要求即可。
【解析】
已知AB=AC，故△ABC为等腰三角形，BC为底边，∠BAC为顶角。
选项A：若BD=CD，则AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，即AD是△ABC的角平分线，不符合题意；
选项B：若AD=$\frac{1}{2}$BC，无法推出AD是BC边上的中线或高，可构造符合该条件但D不是BC中点的情况，此时AD不平分∠BAC，故该条件不能说明AD是角平分线，符合题意；
选项C：若∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180°，因此∠ADB=∠ADC=90°，即AD是BC边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，即AD是△ABC的角平分线，不符合题意；
选项D：设点A到BC的距离为h，则$S_1=\frac{1}{2}·BD·h$，$S_2=\frac{1}{2}·CD·h$，若$S_1=S_2$，可得BD=CD，即AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，即AD是△ABC的角平分线，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一；三角形面积计算；角平分线判定
【点评】
本题围绕等腰三角形的核心性质“三线合一”出题，结合线段长度、角度、面积等多个维度设置条件，解题时要紧扣三线合一的适用前提，也可通过举反例快速判断错误选项，有助于提升对等腰三角形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3.若等腰三角形的一个底角为$70°$,则此等腰三角形顶角的度数为
40°
.答案
3.40°
解析
【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的基本性质和三角形内角和定理：等腰三角形的两个底角度数相等，任意三角形的内角和为180°。已知一个底角为70°，可先确定另一个底角的度数，再用内角和减去两个底角的度数即可求出顶角的度数。
【解析】
∵ 等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角为70°
∴ 另一个底角的度数也为70°
又
∵ 三角形的内角和为180°
∴ 顶角的度数 = 180° - 70°×2 = 180° - 140° = 40°
【答案】
40°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形的性质和三角形内角和的应用，只要熟练掌握相关基础性质就能快速准确解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆等腰三角形的基本性质和三角形内角和定理：等腰三角形的两个底角度数相等，任意三角形的内角和为180°。已知一个底角为70°，可先确定另一个底角的度数，再用内角和减去两个底角的度数即可求出顶角的度数。
【解析】
∵ 等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角为70°
∴ 另一个底角的度数也为70°
又
∵ 三角形的内角和为180°
∴ 顶角的度数 = 180° - 70°×2 = 180° - 140° = 40°
【答案】
40°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形的性质和三角形内角和的应用，只要熟练掌握相关基础性质就能快速准确解答。
【难度系数】
0.9
4.在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$D$为边$AB$的中点，且$CD=4$，则$AB$的长是
8
。答案
4.8
解析
【分析】
拿到题目先梳理已知条件：△ABC是直角三角形，∠C=90°，D为斜边AB的中点，且给出斜边中线CD的长度。解题时首先关联直角三角形的特殊性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，已知中线长度，直接通过该性质推导斜边AB的长度即可，无需复杂辅助线或计算。
【解析】
解：
∵ 在$△ABC$中，$∠C=90°$，D是AB的中点
∴ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线
根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得：
$CD=\frac{1}{2}AB$
已知$CD=4$，代入得：
$AB=2CD=2×4=8$
【答案】
8
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，线段中点的定义
【点评】
本题属于基础性质应用题，重点考察对直角三角形核心性质的记忆与直接应用，解题关键是准确识别直角三角形的斜边中线，熟练对应性质即可快速得出结果，是几何基础考点的典型考法。
【难度系数】
0.9
拿到题目先梳理已知条件：△ABC是直角三角形，∠C=90°，D为斜边AB的中点，且给出斜边中线CD的长度。解题时首先关联直角三角形的特殊性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，已知中线长度，直接通过该性质推导斜边AB的长度即可，无需复杂辅助线或计算。
【解析】
解：
∵ 在$△ABC$中，$∠C=90°$，D是AB的中点
∴ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线
根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得：
$CD=\frac{1}{2}AB$
已知$CD=4$，代入得：
$AB=2CD=2×4=8$
【答案】
8
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，线段中点的定义
【点评】
本题属于基础性质应用题，重点考察对直角三角形核心性质的记忆与直接应用，解题关键是准确识别直角三角形的斜边中线，熟练对应性质即可快速得出结果，是几何基础考点的典型考法。
【难度系数】
0.9
5.如图，在$△ ABC$中，AB的垂直平分线交AC于点D.已知AC=10 cm，BC=7 cm，则$△ BCD$的周长是
17
cm.答案
5.17
解析
【分析】
解题时先观察图形，已知ED是AB的垂直平分线，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD。接下来求△BCD的周长，其周长为BD+CD+BC，将BD等量替换为AD后，周长可转化为AD+CD+BC，而AD+CD恰好是AC的长度，因此只需代入已知的AC和BC的长度即可求出结果。
【解析】
∵ED是AB的垂直平分线，点D在AB的垂直平分线上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$AD=BD$。
△BCD的周长为：$C_{△ BCD}=BD + CD + BC$，
将$BD=AD$代入上式可得：
$C_{△ BCD}=AD + CD + BC = AC + BC$，
已知$AC=10\mathrm{cm}$，$BC=7\mathrm{cm}$，
代入计算得：$C_{△ BCD}=10 + 7 = 17(\mathrm{cm})$。
【答案】
17
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题考查线段垂直平分线性质的实际应用，核心解题思路是通过等量代换将未知的边长转化为已知线段长度，无需额外计算未知边的数值，掌握线段垂直平分线的性质是快速解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形，已知ED是AB的垂直平分线，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD。接下来求△BCD的周长，其周长为BD+CD+BC，将BD等量替换为AD后，周长可转化为AD+CD+BC，而AD+CD恰好是AC的长度，因此只需代入已知的AC和BC的长度即可求出结果。
【解析】
∵ED是AB的垂直平分线，点D在AB的垂直平分线上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$AD=BD$。
△BCD的周长为：$C_{△ BCD}=BD + CD + BC$，
将$BD=AD$代入上式可得：
$C_{△ BCD}=AD + CD + BC = AC + BC$，
已知$AC=10\mathrm{cm}$，$BC=7\mathrm{cm}$，
代入计算得：$C_{△ BCD}=10 + 7 = 17(\mathrm{cm})$。
【答案】
17
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题考查线段垂直平分线性质的实际应用，核心解题思路是通过等量代换将未知的边长转化为已知线段长度，无需额外计算未知边的数值，掌握线段垂直平分线的性质是快速解题的前提。
【难度系数】
0.8
6.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,按如下步骤尺规作图:①分别以点$B,C$为圆心,$BC$的长为半径作弧,两弧交于点$D$;②作射线$AD$,连接$BD,CD$.有下列结论:①$△ BCD$是等边三角形;②$AD$垂直平分$BC$;③$DC\bot AC$;④$∠ BAD=∠ CAD$;⑤$S_{\mathrm{四边形}ABDC}=AD· BC$.其中一定正确的是
①②④
.(填序号)答案
6.①②④
解析
【分析】
解题时先根据尺规作图的步骤得到线段的等量关系，再结合已知AB=AC的条件，依次对5个结论进行验证：首先根据三边相等判断△BCD的形状，再根据到线段两端距离相等的点在垂直平分线上判断AD与BC的位置关系，结合等腰三角形三线合一判断角的关系，再推导角度和面积判断剩下两个结论是否成立。
【解析】
根据作图步骤可知：BD=BC，CD=BC，因此BD=CD=BC，
∴△BCD是等边三角形，故①正确；
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
又
∵BD=CD，
∴点D也在BC的垂直平分线上，
两点确定一条直线，因此AD垂直平分BC，故②正确；
∵AB=AC，AD垂直平分BC，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，故④正确；
对于③：题中没有给出△ABC的角度，无法证明∠ACD=90°，因此DC⊥AC不一定成立，故③错误；
对于⑤：设AD与BC交于点O，四边形ABDC的面积=S△ABC + S△DBC = $\frac{1}{2}$BC·AO + $\frac{1}{2}$BC·DO = $\frac{1}{2}$BC·(AO+DO) = $\frac{1}{2}$AD·BC，不是AD·BC，故⑤错误。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
等边三角形判定，线段垂直平分线判定，等腰三角形性质
【点评】
本题结合尺规作图考察三角形相关性质，解题的关键是明确作图得到的线段等量关系，逐一验证结论，注意不要默认不存在的角度、长度条件。
【难度系数】
0.7
解题时先根据尺规作图的步骤得到线段的等量关系，再结合已知AB=AC的条件，依次对5个结论进行验证：首先根据三边相等判断△BCD的形状，再根据到线段两端距离相等的点在垂直平分线上判断AD与BC的位置关系，结合等腰三角形三线合一判断角的关系，再推导角度和面积判断剩下两个结论是否成立。
【解析】
根据作图步骤可知：BD=BC，CD=BC，因此BD=CD=BC，
∴△BCD是等边三角形，故①正确；
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
又
∵BD=CD，
∴点D也在BC的垂直平分线上，
两点确定一条直线，因此AD垂直平分BC，故②正确；
∵AB=AC，AD垂直平分BC，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，故④正确；
对于③：题中没有给出△ABC的角度，无法证明∠ACD=90°，因此DC⊥AC不一定成立，故③错误；
对于⑤：设AD与BC交于点O，四边形ABDC的面积=S△ABC + S△DBC = $\frac{1}{2}$BC·AO + $\frac{1}{2}$BC·DO = $\frac{1}{2}$BC·(AO+DO) = $\frac{1}{2}$AD·BC，不是AD·BC，故⑤错误。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
等边三角形判定，线段垂直平分线判定，等腰三角形性质
【点评】
本题结合尺规作图考察三角形相关性质，解题的关键是明确作图得到的线段等量关系，逐一验证结论，注意不要默认不存在的角度、长度条件。
【难度系数】
0.7
7.如图，点A，B，C都在方格纸的格点上.
(1)请在图①中再画出一个格点D，使得$△ ACD ≌ △ CAB$；
(2)请在图②中再画出一个格点E，使$△ ABE$为等腰三角形.(画出所有符合要求的点)
(1)请在图①中再画出一个格点D，使得$△ ACD ≌ △ CAB$；
(2)请在图②中再画出一个格点E，使$△ ABE$为等腰三角形.(画出所有符合要求的点)
答案
7.解:(1)如答图①,△ACD即为所求.
(2)如答图②,△ABE₁,△ABE₂,△ABE₃,△ABE₄,△ABE₅即为所求.
第7题答图
解析
【分析】
(1) 要画格点D使△ACD≌△CAB，可利用SSS全等判定思路：先通过勾股定理计算△CAB的三边长，再以AC为公共边，找到格点D满足AD=BC、CD=AB即可。
(2) 要找格点E使△ABE为等腰三角形，需分三类讨论避免漏解：①AB为腰，A为顶角顶点：以A为圆心、AB长为半径画弧，弧经过的格点即为符合要求的点；②AB为腰，B为顶角顶点：以B为圆心、AB长为半径画弧，弧经过的格点即为符合要求的点；③AB为底边：作AB的垂直平分线，线上的格点即为符合要求的点，最后排除共线、重合的无效点即可。
【解析】
(1) 设小方格的边长为1，由勾股定理计算△ABC各边长度：$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
要使△ACD≌△CAB，AC为公共边，只需满足$AD=BC=2\sqrt{5}$，$CD=AB=\sqrt{5}$，在格点中找到符合长度要求的点D，连接AD、CD即可得到所求三角形，如答图①所示。
(2) 分三类寻找符合要求的点E：
① 以A为圆心，$AB=\sqrt{5}$为半径画弧，与格点的交点为$E_2$、$E_3$；
② 以B为圆心，$AB=\sqrt{5}$为半径画弧，与格点的交点为$E_4$、$E_5$；
③ 作AB的垂直平分线，与格点的交点为$E_1$；
以上5个点均满足△ABE为等腰三角形，如答图②所示。
【答案】
7.解:(1)如答图①,△ACD即为所求.
(2)如答图②,△ABE₁,△ABE₂,△ABE₃,△ABE₄,△ABE₅即为所求.
第7题答图
【知识点】
全等三角形的判定；等腰三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题考查格点背景下的几何作图，要求熟练掌握全等、等腰三角形的判定规则，同时需要运用分类讨论思想避免漏解，结合勾股定理计算边长验证格点的有效性，能很好地考查作图能力和逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
(1) 要画格点D使△ACD≌△CAB，可利用SSS全等判定思路：先通过勾股定理计算△CAB的三边长，再以AC为公共边，找到格点D满足AD=BC、CD=AB即可。
(2) 要找格点E使△ABE为等腰三角形，需分三类讨论避免漏解：①AB为腰，A为顶角顶点：以A为圆心、AB长为半径画弧，弧经过的格点即为符合要求的点；②AB为腰，B为顶角顶点：以B为圆心、AB长为半径画弧，弧经过的格点即为符合要求的点；③AB为底边：作AB的垂直平分线，线上的格点即为符合要求的点，最后排除共线、重合的无效点即可。
【解析】
(1) 设小方格的边长为1，由勾股定理计算△ABC各边长度：$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
要使△ACD≌△CAB，AC为公共边，只需满足$AD=BC=2\sqrt{5}$，$CD=AB=\sqrt{5}$，在格点中找到符合长度要求的点D，连接AD、CD即可得到所求三角形，如答图①所示。
(2) 分三类寻找符合要求的点E：
① 以A为圆心，$AB=\sqrt{5}$为半径画弧，与格点的交点为$E_2$、$E_3$；
② 以B为圆心，$AB=\sqrt{5}$为半径画弧，与格点的交点为$E_4$、$E_5$；
③ 作AB的垂直平分线，与格点的交点为$E_1$；
以上5个点均满足△ABE为等腰三角形，如答图②所示。
【答案】
7.解:(1)如答图①,△ACD即为所求.
(2)如答图②,△ABE₁,△ABE₂,△ABE₃,△ABE₄,△ABE₅即为所求.
第7题答图
【知识点】
全等三角形的判定；等腰三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题考查格点背景下的几何作图，要求熟练掌握全等、等腰三角形的判定规则，同时需要运用分类讨论思想避免漏解，结合勾股定理计算边长验证格点的有效性，能很好地考查作图能力和逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
