登录
9（2025南通海安期末）在平面直角坐标系中，点$A(m,0)$，$B(2m+3,0)$，点$C$在线段$AB$上（不包括端点），$CD⊥ x$轴，点$D(2m+1,m)$，$AB=2CD$，则$m$的值为（
A.$-1$
B.$3$
C.$-1$或$3$
D.$2$或$4$
B
）A.$-1$
B.$3$
C.$-1$或$3$
D.$2$或$4$
答案
9. B
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①先根据x轴上两点的坐标特征，计算线段AB的长度；②由CD⊥x轴结合点D的坐标，得出CD的长度表达式；③根据AB=2CD列绝对值方程，求解得到m的初步取值；④最后结合“点C在线段AB上（不包括端点）”的限制条件，筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
1. 计算AB的长度：
∵点A(m,0)、B(2m+3,0)都在x轴上
∴AB的长度为两点横坐标差的绝对值，即$AB=|(2m+3)-m|=|m+3|$
2. 计算CD的长度：
∵CD⊥x轴，点D坐标为$(2m+1,m)$，点C在x轴上
∴点C的横坐标与D相同，纵坐标为0，即$C(2m+1,0)$
∴CD的长度为D、C两点纵坐标差的绝对值，即$CD=|m-0|=|m|$
3. 列方程求解：
根据$AB=2CD$，可得：
$|m+3|=2|m|$
分情况去绝对值：
①当$m+3=2m$时，解得$m=3$
②当$m+3=-2m$时，解得$m=-1$
4. 验证限制条件：
点C在线段AB上（不包括端点），即C的横坐标需在A、B的横坐标之间：
当$m=3$时，$A(3,0)$，$B(9,0)$，$C(7,0)$，7在3和9之间，符合要求；
当$m=-1$时，$A(-1,0)$，$B(1,0)$，$C(-1,0)$，C与A重合，不符合“不包括端点”的要求，舍去。
综上，$m$的值为3。
【答案】
B
【知识点】
①x轴上两点距离计算；②垂直于x轴的直线坐标特征；③绝对值方程求解
【点评】
本题考查平面直角坐标系中线段长度的计算，解题时要注意题目给出的隐含限制条件，求解后要对结果进行验证，避免因忽略限制条件导致多解错误。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：①先根据x轴上两点的坐标特征，计算线段AB的长度；②由CD⊥x轴结合点D的坐标，得出CD的长度表达式；③根据AB=2CD列绝对值方程，求解得到m的初步取值；④最后结合“点C在线段AB上（不包括端点）”的限制条件，筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
1. 计算AB的长度：
∵点A(m,0)、B(2m+3,0)都在x轴上
∴AB的长度为两点横坐标差的绝对值，即$AB=|(2m+3)-m|=|m+3|$
2. 计算CD的长度：
∵CD⊥x轴，点D坐标为$(2m+1,m)$，点C在x轴上
∴点C的横坐标与D相同，纵坐标为0，即$C(2m+1,0)$
∴CD的长度为D、C两点纵坐标差的绝对值，即$CD=|m-0|=|m|$
3. 列方程求解：
根据$AB=2CD$，可得：
$|m+3|=2|m|$
分情况去绝对值：
①当$m+3=2m$时，解得$m=3$
②当$m+3=-2m$时，解得$m=-1$
4. 验证限制条件：
点C在线段AB上（不包括端点），即C的横坐标需在A、B的横坐标之间：
当$m=3$时，$A(3,0)$，$B(9,0)$，$C(7,0)$，7在3和9之间，符合要求；
当$m=-1$时，$A(-1,0)$，$B(1,0)$，$C(-1,0)$，C与A重合，不符合“不包括端点”的要求，舍去。
综上，$m$的值为3。
【答案】
B
【知识点】
①x轴上两点距离计算；②垂直于x轴的直线坐标特征；③绝对值方程求解
【点评】
本题考查平面直角坐标系中线段长度的计算，解题时要注意题目给出的隐含限制条件，求解后要对结果进行验证，避免因忽略限制条件导致多解错误。
【难度系数】
0.6
10 新趋势 学科融合 如图，从点$M(0,3)$发出一束光，经$x$轴反射，过点$N(6,5)$，则这束光从点$M$到点$N$所经过的路径的长为 （
A.8
B.9
C.10
D.12.5
（第10题）
C
）A.8
B.9
C.10
D.12.5
（第10题）答案
10. C
解析
【分析】
本题属于光的反射结合平面直角坐标系求路径长的问题，解题核心是利用轴对称的性质转化路径长度。思考步骤：①光经x轴反射时，可通过作入射点关于x轴的对称点，将折线路径转化为两点之间的线段路径（依据轴对称性质和光的反射定律，此时两点之间的线段长等于光传播的路径长）；②得到对称点坐标后，利用勾股定理计算两点之间的距离即可得到结果。
【解析】
第一步：作点$M(0,3)$关于$x$轴的对称点$M'$，根据关于$x$轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数），可得$M'$的坐标为$(0,-3)$。
第二步：根据光的反射原理，光线从$M$经$x$轴反射到$N$的路径长度等于线段$M'N$的长度。
第三步：计算$M'N$的长度：
$M'$到$N$的水平距离为$6-0=6$，竖直距离为$5 - (-3)=8$，
根据勾股定理，$M'N=\sqrt{6^2 + 8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$。
因此这束光从点$M$到点$N$所经过的路径长为10。
【答案】
C
【知识点】
1. 轴对称的应用
2. 勾股定理
3. 关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题跨学科结合了物理光的反射知识，考查了轴对称性质和勾股定理的实际应用，解题关键是通过对称将折线路径转化为直线路径，体现了转化的数学思想，同时也考查了学生结合不同学科知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题属于光的反射结合平面直角坐标系求路径长的问题，解题核心是利用轴对称的性质转化路径长度。思考步骤：①光经x轴反射时，可通过作入射点关于x轴的对称点，将折线路径转化为两点之间的线段路径（依据轴对称性质和光的反射定律，此时两点之间的线段长等于光传播的路径长）；②得到对称点坐标后，利用勾股定理计算两点之间的距离即可得到结果。
【解析】
第一步：作点$M(0,3)$关于$x$轴的对称点$M'$，根据关于$x$轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数），可得$M'$的坐标为$(0,-3)$。
第二步：根据光的反射原理，光线从$M$经$x$轴反射到$N$的路径长度等于线段$M'N$的长度。
第三步：计算$M'N$的长度：
$M'$到$N$的水平距离为$6-0=6$，竖直距离为$5 - (-3)=8$，
根据勾股定理，$M'N=\sqrt{6^2 + 8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$。
因此这束光从点$M$到点$N$所经过的路径长为10。
【答案】
C
【知识点】
1. 轴对称的应用
2. 勾股定理
3. 关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题跨学科结合了物理光的反射知识，考查了轴对称性质和勾股定理的实际应用，解题关键是通过对称将折线路径转化为直线路径，体现了转化的数学思想，同时也考查了学生结合不同学科知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
11 (2025连云港灌云月考)如图，点A，B分别在x轴，y轴上，OA=OB，分别以A，B为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧，两弧交于点P。若点P的坐标为$(2a,3a-4)$，则a的值为
4
。答案
11. 4
解析
【分析】
首先根据题中的尺规作图步骤，判断出点P在∠AOB的角平分线上；由于∠AOB是x轴和y轴的夹角，为90°，其角平分线是第一象限的角平分线，该直线上所有点的横坐标和纵坐标相等；最后结合点P的坐标列等式求解即可得到a的值。
【解析】
由尺规作图的方法可知，点P在∠AOB的角平分线上。
∵点A在x轴上，点B在y轴上，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOB的角平分线为第一象限的角平分线，该直线上的点满足横坐标与纵坐标相等，且均为正数。
已知点P的坐标为$(2a,3a-4)$，因此可列等式：
$2a = 3a - 4$
移项计算得：$a=4$
【答案】
4
【知识点】
角平分线尺规作图；角平分线的性质；象限角平分线坐标特征
【点评】
本题结合了尺规作图和平面直角坐标系的相关知识，解题的核心是根据作图特征判断出点P所在的特殊直线，熟记特殊直线上点的坐标规律能够快速解题。
【难度系数】
0.7
首先根据题中的尺规作图步骤，判断出点P在∠AOB的角平分线上；由于∠AOB是x轴和y轴的夹角，为90°，其角平分线是第一象限的角平分线，该直线上所有点的横坐标和纵坐标相等；最后结合点P的坐标列等式求解即可得到a的值。
【解析】
由尺规作图的方法可知，点P在∠AOB的角平分线上。
∵点A在x轴上，点B在y轴上，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOB的角平分线为第一象限的角平分线，该直线上的点满足横坐标与纵坐标相等，且均为正数。
已知点P的坐标为$(2a,3a-4)$，因此可列等式：
$2a = 3a - 4$
移项计算得：$a=4$
【答案】
4
【知识点】
角平分线尺规作图；角平分线的性质；象限角平分线坐标特征
【点评】
本题结合了尺规作图和平面直角坐标系的相关知识，解题的核心是根据作图特征判断出点P所在的特殊直线，熟记特殊直线上点的坐标规律能够快速解题。
【难度系数】
0.7
12（2025无锡梁溪月考）如图，过点A的直线$l// x$轴，点B在x轴的正半轴上，OC平分$∠ AOB$交直线$l$于点$C(2,4)$，则点A的坐标是
(-3,4)
。答案
12. (-3,4)
解析
【分析】
首先根据直线$l// x$轴的特征，可得直线$l$上所有点的纵坐标相等，因此点$A$的纵坐标与点$C(2,4)$一致为4，只需确定点$A$的横坐标即可。再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等的性质，可推导出$△ AOC$为等腰三角形，即$AO=AC$，最后设出点$A$的坐标，利用勾股定理列方程求解即可得到横坐标。
【解析】
1. 因为直线$l// x$轴，点$C(2,4)$在直线$l$上，所以直线$l$上所有点的纵坐标均为4，设点$A$的坐标为$(a,4)$。
2. 因为$OC$平分$∠ AOB$，根据角平分线的定义可得$∠ AOC=∠ COB$。
3. 又因为$l// x$轴，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ ACO=∠ COB$。
4. 因此$∠ AOC=∠ ACO$，根据“等角对等边”，可得$AO=AC$。
5. 计算线段长度：$AC$的长度为$2 - a$（点$A$在点$C$左侧，长度为正）；根据勾股定理，点$A(a,4)$到原点$O$的距离$AO=\sqrt{a^2 + 4^2}=\sqrt{a^2+16}$。
6. 列等式求解：$\sqrt{a^2+16}=2 - a$，两边同时平方得$a^2 + 16 = (2 - a)^2$，展开右边得$a^2 + 16 = 4 - 4a + a^2$，消去$a^2$后解得$4a=-12$，即$a=-3$。
【答案】
$(-3,4)$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何性质结合的典型习题，解题核心是通过角平分线和平行线的性质推导得到等腰三角形，再利用方程思想求解坐标，能够较好地考查学生的几何推理能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
首先根据直线$l// x$轴的特征，可得直线$l$上所有点的纵坐标相等，因此点$A$的纵坐标与点$C(2,4)$一致为4，只需确定点$A$的横坐标即可。再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等的性质，可推导出$△ AOC$为等腰三角形，即$AO=AC$，最后设出点$A$的坐标，利用勾股定理列方程求解即可得到横坐标。
【解析】
1. 因为直线$l// x$轴，点$C(2,4)$在直线$l$上，所以直线$l$上所有点的纵坐标均为4，设点$A$的坐标为$(a,4)$。
2. 因为$OC$平分$∠ AOB$，根据角平分线的定义可得$∠ AOC=∠ COB$。
3. 又因为$l// x$轴，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ ACO=∠ COB$。
4. 因此$∠ AOC=∠ ACO$，根据“等角对等边”，可得$AO=AC$。
5. 计算线段长度：$AC$的长度为$2 - a$（点$A$在点$C$左侧，长度为正）；根据勾股定理，点$A(a,4)$到原点$O$的距离$AO=\sqrt{a^2 + 4^2}=\sqrt{a^2+16}$。
6. 列等式求解：$\sqrt{a^2+16}=2 - a$，两边同时平方得$a^2 + 16 = (2 - a)^2$，展开右边得$a^2 + 16 = 4 - 4a + a^2$，消去$a^2$后解得$4a=-12$，即$a=-3$。
【答案】
$(-3,4)$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何性质结合的典型习题，解题核心是通过角平分线和平行线的性质推导得到等腰三角形，再利用方程思想求解坐标，能够较好地考查学生的几何推理能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
13 在平面直角坐标系中，点$A(a,b)$，$B(2,2)$，且$|a - b + 8| + \sqrt{3a + 2b - 6} = 0$。
(1) 求点$A$的坐标；
(2) 过点$A$作$AC ⊥ x$轴于点$C$，连接$BC$，$AB$，求$△ ABC$的面积；
(3) 在(2)的条件下，延长$AB$交$x$轴于点$D$，$AB$交$y$轴于点$E$，则$OD$与$OE$是否相等？请说明理由。
(1) 求点$A$的坐标；
(2) 过点$A$作$AC ⊥ x$轴于点$C$，连接$BC$，$AB$，求$△ ABC$的面积；
(3) 在(2)的条件下，延长$AB$交$x$轴于点$D$，$AB$交$y$轴于点$E$，则$OD$与$OE$是否相等？请说明理由。
答案
13. 解:(1) 由$|a−b+8|+\sqrt{3a+2b−6}=0$,
得 $\begin{cases}a−b+8=0,\\3a+2b−6=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-2,\\b=6,\end{cases}$
所以点 A 的坐标为$(-2,6)$.
(2) 如图1,过点 B 作 $BF⊥x$ 轴于点 F,
则 $S_{△ ABC}=S_{\mathrm{梯形}ACFB}-S_{△ BCF}=\frac{1}{2}×(2+6)×4-\frac{1}{2}×4×2=12$.
(3) OD 与 OE 相等.理由如下:
如图2,设点 D 的坐标为$(x,0)(x＞0)$,点 E 的坐标为$(0,y)(y＞0)$,
则 $CD=x+2$,$OE=y$.
因为 $S_{△ ABC}=S_{△ ACD}-S_{△ BCD}$,
所以 $12=\frac{1}{2}×(x+2)×6-\frac{1}{2}×(x+2)×2=2(x+2)$,
解得 $x=4$,即 $OD=4$.
又因为 $S_{△ EOD}=S_{△ ACD}-S_{\mathrm{梯形}ACOE}$,
所以 $\frac{1}{2}×4× y=\frac{1}{2}×6×6-\frac{1}{2}×(y+6)×2$,
解得 $y=4$,即 $OE=4$,
所以 $OD=OE$.
解析
【分析】
(1) 绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到a、b的值，确定点A的坐标。
(2) 求△ABC的面积可采用割补法，过B作x轴的垂线BF，用梯形ACFB的面积减去△BCF的面积即可，先根据坐标算出对应线段的长度，再代入面积公式计算。
(3) 要判断OD和OE是否相等，只需求出D、E两点的坐标，得到OD、OE的长度再比较即可。可以借助已知的△ABC的面积，利用面积的和差关系分别求出D点的横坐标和E点的纵坐标，验证二者是否相等。
【解析】
(1) 解：$\because|a - b + 8|≥0$，$\sqrt{3a + 2b - 6}≥0$，且$|a - b + 8| + \sqrt{3a + 2b - 6} = 0$
$\therefore \begin{cases}a−b+8=0\\3a+2b−6=0\end{cases}$
由第一个方程得$a = b - 8$，代入第二个方程得：
$3(b-8)+2b-6=0$，解得$b=6$
将$b=6$代入$a = b - 8$，得$a=-2$
$\therefore$点A的坐标为$(-2,6)$
(2) 如图1，过点B作$BF⊥x$轴于点F，
由坐标可得：$AC=6$，$BF=2$，$CF=2-(-2)=4$
$S_{梯形ACFB}=\frac{1}{2}×(AC+BF)× CF=\frac{1}{2}×(6+2)×4=16$
$S_{△ BCF}=\frac{1}{2}× CF× BF=\frac{1}{2}×4×2=4$
$\therefore S_{△ ABC}=S_{梯形ACFB}-S_{△ BCF}=16-4=12$
(3) OD与OE相等，理由如下：
如图2，设点D的坐标为$(x,0)(x＞0)$，点E的坐标为$(0,y)(y＞0)$，则$CD=x-(-2)=x+2$
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ACD}-S_{△ BCD}$
$\therefore 12=\frac{1}{2}×(x+2)×6-\frac{1}{2}×(x+2)×2$
化简得$12=2(x+2)$，解得$x=4$，即$OD=4$
又$\because S_{△ EOD}=S_{△ ACD}-S_{梯形ACOE}$
$\therefore \frac{1}{2}×4× y=\frac{1}{2}×6×6-\frac{1}{2}×(y+6)×2$
化简得$2y=12-y$，解得$y=4$，即$OE=4$
$\therefore OD=OE$
【答案】
(1) 点A的坐标为$(-2,6)$；
(2) $△ ABC$的面积为$12$；
(3) $OD$与$OE$相等，理由见解析。
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 割补法求面积
3. 坐标与图形性质
【点评】
本题综合性较强，将非负性的应用、坐标系中图形面积计算、线段关系判断结合在一起，解题时要熟练掌握割补法求解图形面积的技巧，灵活运用数形结合思想梳理各线段之间的关系，能够有效降低解题难度。
【难度系数】
0.65
(1) 绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到a、b的值，确定点A的坐标。
(2) 求△ABC的面积可采用割补法，过B作x轴的垂线BF，用梯形ACFB的面积减去△BCF的面积即可，先根据坐标算出对应线段的长度，再代入面积公式计算。
(3) 要判断OD和OE是否相等，只需求出D、E两点的坐标，得到OD、OE的长度再比较即可。可以借助已知的△ABC的面积，利用面积的和差关系分别求出D点的横坐标和E点的纵坐标，验证二者是否相等。
【解析】
(1) 解：$\because|a - b + 8|≥0$，$\sqrt{3a + 2b - 6}≥0$，且$|a - b + 8| + \sqrt{3a + 2b - 6} = 0$
$\therefore \begin{cases}a−b+8=0\\3a+2b−6=0\end{cases}$
由第一个方程得$a = b - 8$，代入第二个方程得：
$3(b-8)+2b-6=0$，解得$b=6$
将$b=6$代入$a = b - 8$，得$a=-2$
$\therefore$点A的坐标为$(-2,6)$
(2) 如图1，过点B作$BF⊥x$轴于点F，
由坐标可得：$AC=6$，$BF=2$，$CF=2-(-2)=4$
$S_{梯形ACFB}=\frac{1}{2}×(AC+BF)× CF=\frac{1}{2}×(6+2)×4=16$
$S_{△ BCF}=\frac{1}{2}× CF× BF=\frac{1}{2}×4×2=4$
$\therefore S_{△ ABC}=S_{梯形ACFB}-S_{△ BCF}=16-4=12$
(3) OD与OE相等，理由如下：
如图2，设点D的坐标为$(x,0)(x＞0)$，点E的坐标为$(0,y)(y＞0)$，则$CD=x-(-2)=x+2$
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ACD}-S_{△ BCD}$
$\therefore 12=\frac{1}{2}×(x+2)×6-\frac{1}{2}×(x+2)×2$
化简得$12=2(x+2)$，解得$x=4$，即$OD=4$
又$\because S_{△ EOD}=S_{△ ACD}-S_{梯形ACOE}$
$\therefore \frac{1}{2}×4× y=\frac{1}{2}×6×6-\frac{1}{2}×(y+6)×2$
化简得$2y=12-y$，解得$y=4$，即$OE=4$
$\therefore OD=OE$
【答案】
(1) 点A的坐标为$(-2,6)$；
(2) $△ ABC$的面积为$12$；
(3) $OD$与$OE$相等，理由见解析。
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 割补法求面积
3. 坐标与图形性质
【点评】
本题综合性较强，将非负性的应用、坐标系中图形面积计算、线段关系判断结合在一起，解题时要熟练掌握割补法求解图形面积的技巧，灵活运用数形结合思想梳理各线段之间的关系，能够有效降低解题难度。
【难度系数】
0.65
14（2025宿迁宿城期末）在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为$(2-t,2t)$，将点M到x轴的距离记作$d_1$，到y轴的距离记作$d_2$。
（1）若$t=3$，则$d_1+d_2=$
（2）若$t＜0$，$d_1=d_2$，求点M的坐标；
（3）若点M在第二象限，且$md_1 -5d_2=10$（$m$为常数），求$m$的值。
（1）若$t=3$，则$d_1+d_2=$
7
；（2）若$t＜0$，$d_1=d_2$，求点M的坐标；
（3）若点M在第二象限，且$md_1 -5d_2=10$（$m$为常数），求$m$的值。
答案
14. 解:(1) 7
(2) 由题意,得 $d_1=|2t|$,$d_2=|2−t|$.
因为 $t＜0$,所以 $2−t＞0$,$2t＜0$,
所以 $d_1=|2t|=-2t$,$d_2=|2−t|=2−t$,
因为 $d_1=d_2$,所以 $-2t=2−t$,
解得 $t=-2$,
所以 $2−t=2−(-2)=4$,$2t=2×(-2)=-4$,
所以点 M 的坐标为$(4,-4)$.
(3) 因为点 M 在第二象限,
所以 $2−t＜0$,$2t＞0$,
所以 $d_1=|2t|=2t$,$d_2=|2−t|=t−2$.
因为 $md_1−5d_2=10$,
所以 $m×2t−5×(t−2)=10$,
解得 $m=\frac{5}{2}$.
(2) 由题意,得 $d_1=|2t|$,$d_2=|2−t|$.
因为 $t＜0$,所以 $2−t＞0$,$2t＜0$,
所以 $d_1=|2t|=-2t$,$d_2=|2−t|=2−t$,
因为 $d_1=d_2$,所以 $-2t=2−t$,
解得 $t=-2$,
所以 $2−t=2−(-2)=4$,$2t=2×(-2)=-4$,
所以点 M 的坐标为$(4,-4)$.
(3) 因为点 M 在第二象限,
所以 $2−t＜0$,$2t＞0$,
所以 $d_1=|2t|=2t$,$d_2=|2−t|=t−2$.
因为 $md_1−5d_2=10$,
所以 $m×2t−5×(t−2)=10$,
解得 $m=\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
本题分为3小问，逐层考察平面直角坐标系中点的坐标相关知识：
（1）先将t=3代入点M的坐标表达式，求出此时M的横、纵坐标，再根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值、到y轴的距离是横坐标的绝对值，分别算出d₁、d₂后求和即可。
（2）先根据距离定义写出d₁=|2t|、d₂=|2-t|，再结合t＜0的条件判断2t、2-t的正负性，去掉绝对值符号，再根据d₁=d₂列一元一次方程求解t，最后将t代回得到点M的坐标。
（3）先根据第二象限内点的坐标特征：横坐标＜0、纵坐标＞0，判断2-t、2t的正负性，去掉绝对值符号化简d₁、d₂，再代入md₁-5d₂=10整理式子，结合该式对第二象限内所有符合条件的点M都成立，即可求出m的值。
【解析】
（1）当t=3时，点M的横坐标2-t=2-3=-1，纵坐标2t=2×3=6，
则d₁是点M到x轴的距离，即|6|=6；d₂是点M到y轴的距离，即|-1|=1，
所以d₁+d₂=6+1=7。
（2）由点到坐标轴的距离定义得：d₁=|2t|，d₂=|2−t|，
因为t＜0，所以2−t=2+(-t)＞0，2t＜0，
因此去绝对值得：d₁=|2t|=-2t，d₂=|2−t|=2−t，
又因为d₁=d₂，所以列方程：-2t=2−t，
移项解得：t=-2，
将t=-2代入点M坐标：横坐标2−t=2−(-2)=4，纵坐标2t=2×(-2)=-4，
即点M的坐标为(4,-4)。
（3）因为点M在第二象限，所以横坐标小于0，纵坐标大于0，即：2−t＜0，2t＞0，
去绝对值得：d₁=|2t|=2t，d₂=|2−t|=t−2，
将d₁、d₂代入md₁−5d₂=10得：
$m×2t -5×(t-2)=10$，
展开整理得：$2mt -5t +10=10$，即$(2m-5)t=0$，
由于点M在第二象限，t＞2，t≠0，因此要使等式恒成立，需$2m-5=0$，
解得$m=\frac{5}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{7}$；（2）$\boldsymbol{(4,-4)}$；（3）$\boldsymbol{m=\frac{5}{2}}$
【知识点】
点到坐标轴的距离；象限内点的坐标特征；绝对值的化简
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，核心是掌握不同条件下绝对值的化简方法，第三问需要注意等式对所有符合第二象限条件的t均成立，因此含t的项系数需为0，解题时要注意不要忽略坐标的符号特征，避免去绝对值时出错。
【难度系数】
0.7
本题分为3小问，逐层考察平面直角坐标系中点的坐标相关知识：
（1）先将t=3代入点M的坐标表达式，求出此时M的横、纵坐标，再根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值、到y轴的距离是横坐标的绝对值，分别算出d₁、d₂后求和即可。
（2）先根据距离定义写出d₁=|2t|、d₂=|2-t|，再结合t＜0的条件判断2t、2-t的正负性，去掉绝对值符号，再根据d₁=d₂列一元一次方程求解t，最后将t代回得到点M的坐标。
（3）先根据第二象限内点的坐标特征：横坐标＜0、纵坐标＞0，判断2-t、2t的正负性，去掉绝对值符号化简d₁、d₂，再代入md₁-5d₂=10整理式子，结合该式对第二象限内所有符合条件的点M都成立，即可求出m的值。
【解析】
（1）当t=3时，点M的横坐标2-t=2-3=-1，纵坐标2t=2×3=6，
则d₁是点M到x轴的距离，即|6|=6；d₂是点M到y轴的距离，即|-1|=1，
所以d₁+d₂=6+1=7。
（2）由点到坐标轴的距离定义得：d₁=|2t|，d₂=|2−t|，
因为t＜0，所以2−t=2+(-t)＞0，2t＜0，
因此去绝对值得：d₁=|2t|=-2t，d₂=|2−t|=2−t，
又因为d₁=d₂，所以列方程：-2t=2−t，
移项解得：t=-2，
将t=-2代入点M坐标：横坐标2−t=2−(-2)=4，纵坐标2t=2×(-2)=-4，
即点M的坐标为(4,-4)。
（3）因为点M在第二象限，所以横坐标小于0，纵坐标大于0，即：2−t＜0，2t＞0，
去绝对值得：d₁=|2t|=2t，d₂=|2−t|=t−2，
将d₁、d₂代入md₁−5d₂=10得：
$m×2t -5×(t-2)=10$，
展开整理得：$2mt -5t +10=10$，即$(2m-5)t=0$，
由于点M在第二象限，t＞2，t≠0，因此要使等式恒成立，需$2m-5=0$，
解得$m=\frac{5}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{7}$；（2）$\boldsymbol{(4,-4)}$；（3）$\boldsymbol{m=\frac{5}{2}}$
【知识点】
点到坐标轴的距离；象限内点的坐标特征；绝对值的化简
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，核心是掌握不同条件下绝对值的化简方法，第三问需要注意等式对所有符合第二象限条件的t均成立，因此含t的项系数需为0，解题时要注意不要忽略坐标的符号特征，避免去绝对值时出错。
【难度系数】
0.7
