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1 如图,点A从$A_1(-4,0)$依次跳动到$A_2(-4,1),A_3(-3,1),A_4(-3,0),A_5(-2,0),A_6(-2,3),A_7(-1,3),A_8(-1,0),A_9(-1,-3),A_{10}(0,-3),A_{11}(0,0),···$,按此规律,则点$A_{2026}$的坐标为 (
A.$(806,3)$
B.$(805,0)$
C.$(806,1)$
D.$(805,3)$
A
)A.$(806,3)$
B.$(805,0)$
C.$(806,1)$
D.$(805,3)$
答案
1. A
解析
【分析】
解决这道题的核心是先观察已知点的坐标变化，总结出跳动的周期规律。首先梳理给出的前11个点的坐标，发现从A₁₁(原点)开始，每10个点为一个循环周期，每个周期内点的y值变化规律固定，且每个周期x轴正方向移动4个单位。接下来先计算2026减去前11个点的数量，得到剩余点数后除以周期长度10，得到完整周期数和余数，最后根据余数对应周期内的位置，分别计算x、y坐标即可。
【解析】
1. 总结规律：观察点的跳动序列，从$A_1(-4,0)$到$A_{11}(0,0)$共11个点，完成x从-4到0的初始阶段；后续每10个点为一个循环周期，每个周期x向右移动4个单位，周期内10个点的y值依次为：1,1,0,0,3,3,0,-3,-3,0，对应x总增量为4。
2. 计算周期位置：总序号为2026，减去初始的11个点：$2026-11=2015$，即剩余2015个点属于周期内的点。
3. 求周期数和余数：$2015÷10=201······5$，即包含201个完整周期，还余5个点。
4. 计算x坐标：每个完整周期x增加4，201个周期共增加$201×4=804$；余下的5个点对应周期内第5个点，该点x增量为2，加上$A_{11}$的x=0，总x坐标为$0+804+2=806$。
5. 计算y坐标：周期内第5个点对应的y值为3，因此$A_{2026}$的坐标为$(806,3)$。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系，坐标规律探究
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律探究，需要学生通过观察已知点的坐标变化总结周期规律，再结合整数除法的余数判断点在周期内的位置，对归纳推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解决这道题的核心是先观察已知点的坐标变化，总结出跳动的周期规律。首先梳理给出的前11个点的坐标，发现从A₁₁(原点)开始，每10个点为一个循环周期，每个周期内点的y值变化规律固定，且每个周期x轴正方向移动4个单位。接下来先计算2026减去前11个点的数量，得到剩余点数后除以周期长度10，得到完整周期数和余数，最后根据余数对应周期内的位置，分别计算x、y坐标即可。
【解析】
1. 总结规律：观察点的跳动序列，从$A_1(-4,0)$到$A_{11}(0,0)$共11个点，完成x从-4到0的初始阶段；后续每10个点为一个循环周期，每个周期x向右移动4个单位，周期内10个点的y值依次为：1,1,0,0,3,3,0,-3,-3,0，对应x总增量为4。
2. 计算周期位置：总序号为2026，减去初始的11个点：$2026-11=2015$，即剩余2015个点属于周期内的点。
3. 求周期数和余数：$2015÷10=201······5$，即包含201个完整周期，还余5个点。
4. 计算x坐标：每个完整周期x增加4，201个周期共增加$201×4=804$；余下的5个点对应周期内第5个点，该点x增量为2，加上$A_{11}$的x=0，总x坐标为$0+804+2=806$。
5. 计算y坐标：周期内第5个点对应的y值为3，因此$A_{2026}$的坐标为$(806,3)$。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系，坐标规律探究
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律探究，需要学生通过观察已知点的坐标变化总结周期规律，再结合整数除法的余数判断点在周期内的位置，对归纳推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
2（2025南京建邺期中）如图，在平面直角坐标系中，点$A_1$的坐标为$(1,0)$，线段$A_1A_2=1$，$A_2A_1⊥ OA_1$垂足为$A_1$；线段$A_2A_3=1$，$A_3A_2⊥ A_1A_2$垂足为$A_2$；线段$A_3A_4=1$，$A_4A_3⊥ A_2A_3$，垂足为$A_3$，…，按此规律，点$A_{2025}$的坐标为
(1 013,1 012)
。答案
2. (1 013,1 012)
解析
【分析】
解题时首先按照题目给出的线段垂直、长度为1的规则，先写出前几个点的坐标，再观察坐标和点的下标之间的规律，重点区分下标为奇数和偶数的两类点的坐标特征，最后将2025代入对应规律计算即可得到结果。
【解析】
根据题意依次写出前几个点的坐标：
$A_1(1,0)$，
$A_1A_2⊥ x$轴且长度为1，故$A_2(1,1)$，
$A_2A_3$水平向右且长度为1，故$A_3(2,1)$，
$A_3A_4$垂直向上且长度为1，故$A_4(2,2)$，
$A_4A_5$水平向右且长度为1，故$A_5(3,2)$，
……
观察可得规律：当点的下标$n$为奇数时，设$n=2k-1$（$k$为正整数），则点$A_{2k-1}$的坐标为$(k,k-1)$。
令$2k-1=2025$，解得$k=\frac{2025+1}{2}=1013$，
则横坐标为$1013$，纵坐标为$1013-1=1012$。
【答案】
$(1013,1012)$
【知识点】
1. 点的坐标规律探究
2. 平面直角坐标系性质
【点评】
本题是典型的坐标规律探究题，解题的核心是通过枚举少量点的坐标归纳通用规律，避免逐一推导点坐标的繁琐，侧重考查学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先按照题目给出的线段垂直、长度为1的规则，先写出前几个点的坐标，再观察坐标和点的下标之间的规律，重点区分下标为奇数和偶数的两类点的坐标特征，最后将2025代入对应规律计算即可得到结果。
【解析】
根据题意依次写出前几个点的坐标：
$A_1(1,0)$，
$A_1A_2⊥ x$轴且长度为1，故$A_2(1,1)$，
$A_2A_3$水平向右且长度为1，故$A_3(2,1)$，
$A_3A_4$垂直向上且长度为1，故$A_4(2,2)$，
$A_4A_5$水平向右且长度为1，故$A_5(3,2)$，
……
观察可得规律：当点的下标$n$为奇数时，设$n=2k-1$（$k$为正整数），则点$A_{2k-1}$的坐标为$(k,k-1)$。
令$2k-1=2025$，解得$k=\frac{2025+1}{2}=1013$，
则横坐标为$1013$，纵坐标为$1013-1=1012$。
【答案】
$(1013,1012)$
【知识点】
1. 点的坐标规律探究
2. 平面直角坐标系性质
【点评】
本题是典型的坐标规律探究题，解题的核心是通过枚举少量点的坐标归纳通用规律，避免逐一推导点坐标的繁琐，侧重考查学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.65
3（2025南通海门期中）如图，一个动点在第一象限及x轴，y轴上运动，在第1秒，它从原点运动到(1,0)，然后接着按图中箭头所示方向运动，即(0,0)→(1,0)→(1,1)→(0,1)→…，且每秒移动一个单位长度，那么第2046秒时动点所在位置的坐标是
(45,21)
。答案
3. (45,21)
解析
【分析】
首先观察动点的运动路径，总结核心规律：①动点运动到坐标(n,n)时，所用总时间为n(n+1)秒；②若n为偶数，到达(n,n)后动点会向下运动n个单位到(n,0)，若n为奇数，到达(n,n)后动点会向左运动n个单位到(0,n)。接下来先找到最接近2046秒的(n,n)对应的时间，确定基准点坐标和后续运动方向，再计算剩余时间对应的坐标偏移量，即可得到第2046秒的位置坐标。
【解析】
1. 验证规律：观察运动过程可知：
运动到(1,1)用时1×2=2秒，n=1为奇数，之后向左运动1个单位到(0,1)；
运动到(2,2)用时2×3=6秒，n=2为偶数，之后向下运动2个单位到(2,0)；
运动到(3,3)用时3×4=12秒，规律成立，即动点到达(n,n)的总用时为n(n+1)秒。
2. 确定基准点：计算得44×45=1980秒，45×46=2070秒，满足1980＜2046＜2070，因此1980秒时动点在(44,44)处。
3. 分析后续运动：n=44为偶数，到达(44,44)后向下运动，运动44个单位到(44,0)，用时44秒，到达(44,0)的时间为1980+44=2024秒。
4. 计算目标坐标：2024秒后动点向右运动1秒到(45,0)，对应时间2025秒；剩余时间为2046-2025=21秒，之后动点向上运动，每过1秒y坐标加1，因此21秒后y坐标为21，x坐标保持45不变，即坐标为(45,21)。
【答案】
(45,21)
【知识点】
1. 点的坐标规律
2. 数字规律探究
【点评】
本题是平面直角坐标系下的动点规律题，解题的核心是先归纳出点到达(n,n)的时间规律，再结合n的奇偶性判断运动方向，逐步推导即可得到结果，侧重考查学生的观察归纳能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
首先观察动点的运动路径，总结核心规律：①动点运动到坐标(n,n)时，所用总时间为n(n+1)秒；②若n为偶数，到达(n,n)后动点会向下运动n个单位到(n,0)，若n为奇数，到达(n,n)后动点会向左运动n个单位到(0,n)。接下来先找到最接近2046秒的(n,n)对应的时间，确定基准点坐标和后续运动方向，再计算剩余时间对应的坐标偏移量，即可得到第2046秒的位置坐标。
【解析】
1. 验证规律：观察运动过程可知：
运动到(1,1)用时1×2=2秒，n=1为奇数，之后向左运动1个单位到(0,1)；
运动到(2,2)用时2×3=6秒，n=2为偶数，之后向下运动2个单位到(2,0)；
运动到(3,3)用时3×4=12秒，规律成立，即动点到达(n,n)的总用时为n(n+1)秒。
2. 确定基准点：计算得44×45=1980秒，45×46=2070秒，满足1980＜2046＜2070，因此1980秒时动点在(44,44)处。
3. 分析后续运动：n=44为偶数，到达(44,44)后向下运动，运动44个单位到(44,0)，用时44秒，到达(44,0)的时间为1980+44=2024秒。
4. 计算目标坐标：2024秒后动点向右运动1秒到(45,0)，对应时间2025秒；剩余时间为2046-2025=21秒，之后动点向上运动，每过1秒y坐标加1，因此21秒后y坐标为21，x坐标保持45不变，即坐标为(45,21)。
【答案】
(45,21)
【知识点】
1. 点的坐标规律
2. 数字规律探究
【点评】
本题是平面直角坐标系下的动点规律题，解题的核心是先归纳出点到达(n,n)的时间规律，再结合n的奇偶性判断运动方向，逐步推导即可得到结果，侧重考查学生的观察归纳能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
4 (2025南通期中)如图,一只电子蚂蚁P在平面直角坐标系$xOy$中按箭头所示方向作折线运动,即$P_1(1,2),P_2(3,1),P_3(4,3),P_4(6,2),P_5(7,4),P_6(9,3),···$.按照这样的运动规律,点$P_{100}$的坐标为 (
A.(150,50)
B.(150,49)
C.(149,50)
D.(151,50)
A
)A.(150,50)
B.(150,49)
C.(149,50)
D.(151,50)
答案
4. A
解析
【分析】
观察已知点的坐标特征，将点按下标奇偶性分类分析，由于所求点P₁₀₀的下标为偶数，重点归纳偶数下标点的坐标规律：先列举P₂、P₄、P₆的坐标，对比横坐标、纵坐标和下标的数量关系，总结通用规律后代入n=100计算即可。
【解析】
整理已知偶数下标点的坐标：
当n=2时，P₂的坐标为(3,1)，即(3×1,1)；
当n=4时，P₄的坐标为(6,2)，即(3×2,2)；
当n=6时，P₆的坐标为(9,3)，即(3×3,3)；
由此归纳得规律：若偶数下标n=2k（k为正整数），则点$P_{2k}$的坐标为(3k,k)。
对于P₁₀₀，下标n=100=2k，解得k=50，代入规律得：
横坐标=3×50=150，纵坐标=50，即P₁₀₀的坐标为(150,50)。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系；坐标规律探究
【点评】
本题是坐标规律类的典型题型，解题核心是通过分类讨论下标奇偶性，缩小规律探究的范围，结合已知点归纳通用结论再代入计算，可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
观察已知点的坐标特征，将点按下标奇偶性分类分析，由于所求点P₁₀₀的下标为偶数，重点归纳偶数下标点的坐标规律：先列举P₂、P₄、P₆的坐标，对比横坐标、纵坐标和下标的数量关系，总结通用规律后代入n=100计算即可。
【解析】
整理已知偶数下标点的坐标：
当n=2时，P₂的坐标为(3,1)，即(3×1,1)；
当n=4时，P₄的坐标为(6,2)，即(3×2,2)；
当n=6时，P₆的坐标为(9,3)，即(3×3,3)；
由此归纳得规律：若偶数下标n=2k（k为正整数），则点$P_{2k}$的坐标为(3k,k)。
对于P₁₀₀，下标n=100=2k，解得k=50，代入规律得：
横坐标=3×50=150，纵坐标=50，即P₁₀₀的坐标为(150,50)。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系；坐标规律探究
【点评】
本题是坐标规律类的典型题型，解题核心是通过分类讨论下标奇偶性，缩小规律探究的范围，结合已知点归纳通用结论再代入计算，可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
5（2025徐州月考）在平面直角坐标系中，有若干个相同的直角三角形，按如图规律摆放，已知$∠ A_1=∠ A_3=∠ A_5=\dots=90°$，$OA_1=A_3A_4=A_4A_5=\dots=4$，$A_1A_2=A_2A_3=A_5A_6=\dots=3$，动点$P$从原点$O$出发，第1次运动到点$A_1$，第2次运动到点$A_2$，第3次运动到点$A_3$，…，按这样的运动规律，动点$P$第101次运动到点$A_{101}$的坐标为（
A.$(256 \frac{4}{5}, -\frac{12}{5})$
B.$(253 \frac{1}{5}, \frac{12}{5})$
C.$(252 \frac{1}{2}, \frac{12}{5})$
D.$(252 \frac{1}{2}, 0)$
B
）A.$(256 \frac{4}{5}, -\frac{12}{5})$
B.$(253 \frac{1}{5}, \frac{12}{5})$
C.$(252 \frac{1}{2}, \frac{12}{5})$
D.$(252 \frac{1}{2}, 0)$
答案
5. B
解析
【分析】
这是平面直角坐标系中点的坐标规律探究题，解题思路如下：
1. 先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再通过直角三角形面积法算出直角顶点到x轴的高，得到纵坐标的绝对值；
2. 观察点的位置规律：下标为偶数的点在x轴上，纵坐标为0；下标为奇数的点，若除以4余1则在x轴上方，除以4余3则在x轴下方，纵坐标绝对值固定；
3. 找到横坐标的增量规律：每4个点横坐标固定增加10，结合101除以4的余数，即可算出A₁₀₁的坐标。
【解析】
1. 在Rt△OA₁A₂中，OA₁=4，A₁A₂=3，∠A₁=90°，由勾股定理得斜边OA₂=√(3²+4²)=5。
2. 过A₁作x轴的垂线，垂足为B，△OA₁A₂的面积可表示为$\frac{1}{2}×OA₁×A₁A₂=\frac{1}{2}×OA₂×A₁B$，代入数值得：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×A₁B$，解得A₁B=$\frac{12}{5}$，即A₁的纵坐标为$\frac{12}{5}$；再由勾股定理得OB=√(OA₁²-A₁B²)=√(16-$\frac{144}{25}$)=$\frac{16}{5}$，即A₁的横坐标为$\frac{16}{5}$，故A₁($\frac{16}{5}$,$\frac{12}{5}$)。
3. 同理可推得规律：
①下标为偶数的点在x轴上，纵坐标为0；
②下标为奇数时，下标除以4余1的点纵坐标为$\frac{12}{5}$，除以4余3的点纵坐标为-$\frac{12}{5}$；
③每4个点（下标增加4），横坐标增加10。
4. 计算$101÷4=25······1$，余数为1，故A₁₀₁纵坐标为$\frac{12}{5}$；横坐标为$\frac{16}{5}+25×10=\frac{16}{5}+250=253\frac{1}{5}$，即A₁₀₁坐标为$(253\frac{1}{5},\frac{12}{5})$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，坐标规律探究，直角三角形面积计算
【点评】
本题是典型的坐标规律题，需要先计算前几个点的坐标找到周期性变化特征，解题关键是抓住纵坐标的正负周期和横坐标的固定增量，难度适中，侧重对规律观察能力和几何基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.6
这是平面直角坐标系中点的坐标规律探究题，解题思路如下：
1. 先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再通过直角三角形面积法算出直角顶点到x轴的高，得到纵坐标的绝对值；
2. 观察点的位置规律：下标为偶数的点在x轴上，纵坐标为0；下标为奇数的点，若除以4余1则在x轴上方，除以4余3则在x轴下方，纵坐标绝对值固定；
3. 找到横坐标的增量规律：每4个点横坐标固定增加10，结合101除以4的余数，即可算出A₁₀₁的坐标。
【解析】
1. 在Rt△OA₁A₂中，OA₁=4，A₁A₂=3，∠A₁=90°，由勾股定理得斜边OA₂=√(3²+4²)=5。
2. 过A₁作x轴的垂线，垂足为B，△OA₁A₂的面积可表示为$\frac{1}{2}×OA₁×A₁A₂=\frac{1}{2}×OA₂×A₁B$，代入数值得：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×A₁B$，解得A₁B=$\frac{12}{5}$，即A₁的纵坐标为$\frac{12}{5}$；再由勾股定理得OB=√(OA₁²-A₁B²)=√(16-$\frac{144}{25}$)=$\frac{16}{5}$，即A₁的横坐标为$\frac{16}{5}$，故A₁($\frac{16}{5}$,$\frac{12}{5}$)。
3. 同理可推得规律：
①下标为偶数的点在x轴上，纵坐标为0；
②下标为奇数时，下标除以4余1的点纵坐标为$\frac{12}{5}$，除以4余3的点纵坐标为-$\frac{12}{5}$；
③每4个点（下标增加4），横坐标增加10。
4. 计算$101÷4=25······1$，余数为1，故A₁₀₁纵坐标为$\frac{12}{5}$；横坐标为$\frac{16}{5}+25×10=\frac{16}{5}+250=253\frac{1}{5}$，即A₁₀₁坐标为$(253\frac{1}{5},\frac{12}{5})$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，坐标规律探究，直角三角形面积计算
【点评】
本题是典型的坐标规律题，需要先计算前几个点的坐标找到周期性变化特征，解题关键是抓住纵坐标的正负周期和横坐标的固定增量，难度适中，侧重对规律观察能力和几何基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.6
6（2025南通崇川月考）如图，在平面直角坐标系$xOy$内，动点$P$按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点$(0,1)$运动到点$(1,0)$，第2次运动到点$(2,-2)$，第3次运动到点$(3,0)$，…，按这样的运动规律，动点$P$第2023次运动到的点的坐标是
(2 023,0)
。答案
6. (2 023,0)
解析
【分析】
解决本题先分别观察横、纵坐标的变化规律：①横坐标：每次运动后横坐标增加1，可直接得到第n次运动的横坐标为n；②纵坐标：整理前几次运动的纵坐标，发现每4次运动为一个循环周期，周期内纵坐标依次为0、-2、0、1。接下来只需计算2023除以4的余数，根据余数匹配周期内对应的纵坐标，即可得到最终坐标。
【解析】
解：观察动点P的运动坐标特征：
1. 横坐标规律：第1次运动到点的横坐标为1，第2次为2，第3次为3，以此类推，可得第n次运动到的点的横坐标等于运动次数n，因此第2023次运动的横坐标为2023。
2. 纵坐标规律：第1次纵坐标为0，第2次为-2，第3次为0，第4次为1，第5次为0，第6次为-2……可见纵坐标每4次为一个循环，循环组为[0,-2,0,1]。
计算2023除以4的余数：$2023÷4=505$余3，余数为3，对应循环组中的第3个数值，即纵坐标为0。
综上，第2023次运动到的点的坐标为(2023,0)。
【答案】
(2023,0)
【知识点】
坐标规律探究，周期问题
【点评】
本题属于坐标规律类基础题型，解题核心是拆分横、纵坐标分别找规律，重点考查学生的观察能力和归纳推理能力，掌握周期规律的求解方法是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.7
解决本题先分别观察横、纵坐标的变化规律：①横坐标：每次运动后横坐标增加1，可直接得到第n次运动的横坐标为n；②纵坐标：整理前几次运动的纵坐标，发现每4次运动为一个循环周期，周期内纵坐标依次为0、-2、0、1。接下来只需计算2023除以4的余数，根据余数匹配周期内对应的纵坐标，即可得到最终坐标。
【解析】
解：观察动点P的运动坐标特征：
1. 横坐标规律：第1次运动到点的横坐标为1，第2次为2，第3次为3，以此类推，可得第n次运动到的点的横坐标等于运动次数n，因此第2023次运动的横坐标为2023。
2. 纵坐标规律：第1次纵坐标为0，第2次为-2，第3次为0，第4次为1，第5次为0，第6次为-2……可见纵坐标每4次为一个循环，循环组为[0,-2,0,1]。
计算2023除以4的余数：$2023÷4=505$余3，余数为3，对应循环组中的第3个数值，即纵坐标为0。
综上，第2023次运动到的点的坐标为(2023,0)。
【答案】
(2023,0)
【知识点】
坐标规律探究，周期问题
【点评】
本题属于坐标规律类基础题型，解题核心是拆分横、纵坐标分别找规律，重点考查学生的观察能力和归纳推理能力，掌握周期规律的求解方法是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.7
