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7 (2025南京江宁月考)如图,在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列:(0,0),(1,0),(0,1),(2,0),(1,1),(0,2),(3,0),(2,1),(1,2),(0,3),(4,0),(3,1),(2,2),(1,3),…,按这个规律,则(6,7)是第
99
个点. 答案
7. 99
解析
【分析】
首先观察点的排列规律：把横纵坐标之和相等的点归为同一组，可发现横纵坐标和为$n$的组共有$(n+1)$个点，且组内点按照横坐标从$n$递减到0、纵坐标从0递增到$n$的顺序排列。解题时先计算所求点横纵坐标的和，确定它所在的组别；再计算前面所有组的点的总个数；最后确定所求点在本组内的排序，两者相加即可得到该点的序号。
【解析】
1. 总结规律：
横纵坐标和为0的点共1个，和为1的点共2个，和为2的点共3个……以此类推，横纵坐标和为$n$的点共有$(n+1)$个。
2. 确定所求点所在组别：
点$(6,7)$的横纵坐标和为$6+7=13$，属于横纵坐标和为13的组别。
3. 计算前序所有组的总点数：
横纵坐标和为0到12的点为前13组，总个数是首项为1、末项为13的等差数列的和：
$\frac{(1+13)×13}{2}=91$
4. 计算所求点在本组内的排序：
和为13的组内，横坐标从13开始递减，当横坐标为6时，是本组的第$13-6+1=8$个点。
5. 总序号：$91+8=99$
【答案】
99
【知识点】
点的坐标规律、等差数列求和
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题核心是通过观察归纳出点的分组排列规律，再结合数列求和计算序号，能较好地考查观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
首先观察点的排列规律：把横纵坐标之和相等的点归为同一组，可发现横纵坐标和为$n$的组共有$(n+1)$个点，且组内点按照横坐标从$n$递减到0、纵坐标从0递增到$n$的顺序排列。解题时先计算所求点横纵坐标的和，确定它所在的组别；再计算前面所有组的点的总个数；最后确定所求点在本组内的排序，两者相加即可得到该点的序号。
【解析】
1. 总结规律：
横纵坐标和为0的点共1个，和为1的点共2个，和为2的点共3个……以此类推，横纵坐标和为$n$的点共有$(n+1)$个。
2. 确定所求点所在组别：
点$(6,7)$的横纵坐标和为$6+7=13$，属于横纵坐标和为13的组别。
3. 计算前序所有组的总点数：
横纵坐标和为0到12的点为前13组，总个数是首项为1、末项为13的等差数列的和：
$\frac{(1+13)×13}{2}=91$
4. 计算所求点在本组内的排序：
和为13的组内，横坐标从13开始递减，当横坐标为6时，是本组的第$13-6+1=8$个点。
5. 总序号：$91+8=99$
【答案】
99
【知识点】
点的坐标规律、等差数列求和
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题核心是通过观察归纳出点的分组排列规律，再结合数列求和计算序号，能较好地考查观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
8（2025南京期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点自点$A_0(-1,0)$处向上平移1个单位长度至点$A_1(-1,1)$处，然后向右平移2个单位长度至点$A_2(1,1)$处，再向下平移3个单位长度至点$A_3(1,-2)$处，再向左平移4个单位长度至点$A_4(-3,-2)$处，…，按此规律平移下去，若这点平移到点$A_{2025}$处，则点$A_{2025}$的坐标是
(-1 013,1 013)
.答案
8. (-1 013,1 013)
解析
【分析】
解决本题需要先观察已知点的坐标与下标的对应关系，将点按下标除以4的余数分为四类，归纳每类点的坐标规律，再计算2025除以4的余数，匹配对应规律后代入计算即可得到点$A_{2025}$的坐标。
【解析】
先列出已知点的坐标，观察规律：
$A_0(-1,0)$，$A_1(-1,1)$，$A_2(1,1)$，$A_3(1,-2)$，$A_4(-3,-2)$，$A_5(-3,3)$，$A_6(3,3)$，$A_7(3,-4)$……
观察可得，当下标为$4k+1$（$k$为非负整数）时，点的坐标规律为$(-(2k+1),2k+1)$：
当$k=0$时，$4×0+1=1$，对应$A_1(-1,1)$，符合规律；
当$k=1$时，$4×1+1=5$，对应$A_5(-3,3)$，符合规律。
计算2025除以4的余数：$2025=4×506+1$，即$k=506$，代入规律：
$2k+1=2×506+1=1013$，因此$A_{2025}$的坐标为$(-1013,1013)$。
【答案】
$(-1013,1013)$
【知识点】
坐标规律探究，坐标平移性质
【点评】
本题是平面直角坐标系中的规律探究题，核心解题方法是分类归纳下标与坐标的对应关系，重点考查学生的观察总结能力和逻辑推理能力，熟练掌握坐标平移的规则是解题基础。
【难度系数】
0.6
解决本题需要先观察已知点的坐标与下标的对应关系，将点按下标除以4的余数分为四类，归纳每类点的坐标规律，再计算2025除以4的余数，匹配对应规律后代入计算即可得到点$A_{2025}$的坐标。
【解析】
先列出已知点的坐标，观察规律：
$A_0(-1,0)$，$A_1(-1,1)$，$A_2(1,1)$，$A_3(1,-2)$，$A_4(-3,-2)$，$A_5(-3,3)$，$A_6(3,3)$，$A_7(3,-4)$……
观察可得，当下标为$4k+1$（$k$为非负整数）时，点的坐标规律为$(-(2k+1),2k+1)$：
当$k=0$时，$4×0+1=1$，对应$A_1(-1,1)$，符合规律；
当$k=1$时，$4×1+1=5$，对应$A_5(-3,3)$，符合规律。
计算2025除以4的余数：$2025=4×506+1$，即$k=506$，代入规律：
$2k+1=2×506+1=1013$，因此$A_{2025}$的坐标为$(-1013,1013)$。
【答案】
$(-1013,1013)$
【知识点】
坐标规律探究，坐标平移性质
【点评】
本题是平面直角坐标系中的规律探究题，核心解题方法是分类归纳下标与坐标的对应关系，重点考查学生的观察总结能力和逻辑推理能力，熟练掌握坐标平移的规则是解题基础。
【难度系数】
0.6
9 (2025南京江宁一模)如图,有一系列正方形,则点$O_{2024}$的坐标为
O
y
2
$O_1$
$O_2$
$O_3$
$O_4$
2
x
…
$A_1$
$A_2$
$A_3$
$A_4$
$A_5$
$A_6$
$B_1$
$B_2$
$B_3$
$B_4$
$B_5$
$B_6$
O
x
y
$(2^{1013}-2,2^{1012})$
.O
y
2
$O_1$
$O_2$
$O_3$
$O_4$
2
x
…
$A_1$
$A_2$
$A_3$
$A_4$
$A_5$
$A_6$
$B_1$
$B_2$
$B_3$
$B_4$
$B_5$
$B_6$
O
x
y
答案
9. $(2^{1013}-2,2^{1012})$
解析
【分析】
本题是平面直角坐标系下的点坐标规律探究题，解题时先从简单的特殊点入手，计算出前几个偶数序号的$O_n$的坐标，再对比坐标与序号的关系，归纳出偶数项坐标的通用规律，最后将$n=2024$代入规律计算即可得到结果。
【解析】
观察图形，先列出前几个偶数序号对应的$O$点坐标：
$O_2$的坐标为$(2,2)=(2^{2}-2,2^{1})$
$O_4$的坐标为$(6,4)=(2^{3}-2,2^{2})$
$O_6$的坐标为$(14,8)=(2^{4}-2,2^{3})$
……
归纳可得规律：当$n$为偶数时，设$n=2m$（$m$为正整数），则$O_{2m}$的坐标为$(2^{m+1}-2,2^m)$
当$n=2024$时，$2m=2024$，解得$m=1012$
代入规律得：
横坐标：$2^{1012+1}-2=2^{1013}-2$
纵坐标：$2^{1012}$
即$O_{2024}$的坐标为$(2^{1013}-2,2^{1012})$
【答案】
$(2^{1013}-2,2^{1012})$
【知识点】
点的坐标规律探究；有理数的乘方
【点评】
本题是典型的坐标规律类题型，核心考查观察归纳能力，解题的关键是找准坐标和序号之间的对应关系，熟练掌握乘方的运算也是正确计算的基础。
【难度系数】
0.6
本题是平面直角坐标系下的点坐标规律探究题，解题时先从简单的特殊点入手，计算出前几个偶数序号的$O_n$的坐标，再对比坐标与序号的关系，归纳出偶数项坐标的通用规律，最后将$n=2024$代入规律计算即可得到结果。
【解析】
观察图形，先列出前几个偶数序号对应的$O$点坐标：
$O_2$的坐标为$(2,2)=(2^{2}-2,2^{1})$
$O_4$的坐标为$(6,4)=(2^{3}-2,2^{2})$
$O_6$的坐标为$(14,8)=(2^{4}-2,2^{3})$
……
归纳可得规律：当$n$为偶数时，设$n=2m$（$m$为正整数），则$O_{2m}$的坐标为$(2^{m+1}-2,2^m)$
当$n=2024$时，$2m=2024$，解得$m=1012$
代入规律得：
横坐标：$2^{1012+1}-2=2^{1013}-2$
纵坐标：$2^{1012}$
即$O_{2024}$的坐标为$(2^{1013}-2,2^{1012})$
【答案】
$(2^{1013}-2,2^{1012})$
【知识点】
点的坐标规律探究；有理数的乘方
【点评】
本题是典型的坐标规律类题型，核心考查观察归纳能力，解题的关键是找准坐标和序号之间的对应关系，熟练掌握乘方的运算也是正确计算的基础。
【难度系数】
0.6
10 新趋势 情境素材（2025启东期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好的利用。如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成$120°$角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为$x$轴，建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为$A(5,5)$，在一段时间内，叶片每秒绕原点$O$顺时针转动$90°$，则第2025秒时，点$A$的对应点$A_{2025}$的坐标为
(5,-5)
。答案
10. (5,-5)
解析
【分析】
解题时先确定叶片旋转的周期：叶片每秒顺时针旋转90°，旋转一周360°共需要4秒，即每4秒点A回到初始位置。接下来计算2025秒里包含多少个完整周期、剩余几秒，剩余几秒就相当于点A从初始位置顺时针旋转几个90°，最后结合点绕原点顺时针旋转90°的坐标变化规律，即可算出对应点的坐标。
【解析】
1. 求旋转周期：叶片每秒绕原点顺时针转90°，旋转一周（360°）需要的时间为$360°÷90°=4$秒，即旋转周期为4秒。
2. 计算2025秒对应的旋转次数：$2025÷4=506······1$，说明2025秒包含506个完整周期，额外多旋转1次90°，即点A最终的位置等价于初始位置顺时针旋转90°后的位置。
3. 求旋转后坐标：点$(x,y)$绕原点顺时针旋转90°后的对应点坐标为$(y,-x)$，将初始点$A(5,5)$代入，得到对应点坐标为$(5,-5)$。
【答案】
$(5,-5)$
【知识点】
点的旋转坐标变化，周期规律探究
【点评】
本题结合风力发电的实际情境，考查平面直角坐标系中点的旋转规律和周期问题，需要学生先找到旋转周期，再结合旋转的坐标变换规律求解，体现了数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先确定叶片旋转的周期：叶片每秒顺时针旋转90°，旋转一周360°共需要4秒，即每4秒点A回到初始位置。接下来计算2025秒里包含多少个完整周期、剩余几秒，剩余几秒就相当于点A从初始位置顺时针旋转几个90°，最后结合点绕原点顺时针旋转90°的坐标变化规律，即可算出对应点的坐标。
【解析】
1. 求旋转周期：叶片每秒绕原点顺时针转90°，旋转一周（360°）需要的时间为$360°÷90°=4$秒，即旋转周期为4秒。
2. 计算2025秒对应的旋转次数：$2025÷4=506······1$，说明2025秒包含506个完整周期，额外多旋转1次90°，即点A最终的位置等价于初始位置顺时针旋转90°后的位置。
3. 求旋转后坐标：点$(x,y)$绕原点顺时针旋转90°后的对应点坐标为$(y,-x)$，将初始点$A(5,5)$代入，得到对应点坐标为$(5,-5)$。
【答案】
$(5,-5)$
【知识点】
点的旋转坐标变化，周期规律探究
【点评】
本题结合风力发电的实际情境，考查平面直角坐标系中点的旋转规律和周期问题，需要学生先找到旋转周期，再结合旋转的坐标变换规律求解，体现了数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
11 如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形$OA_1B_1$的斜边$OA_1=2$,且$OA_1$在$x$轴的正半轴上,点$B_1$落在第一象限内.将$Rt△ OA_1B_1$绕原点$O$逆时针旋转$45°$,得到$Rt△ OA_2B_2$,再将$Rt△ OA_2B_2$绕原点$O$逆时针旋转$45°$,又得到$Rt△ OA_3B_3$,$···$,按此规律继续旋转,得到$Rt△ OA_{2025}B_{2025}$,则点$B_{2025}$的坐标为
(1,1)
.答案
11. (1,1)
解析
【分析】
首先需要确定初始点$B_1$的坐标，再分析旋转规律：每次逆时针旋转$45°$，旋转一周回到原方向需要$360°÷45°=8$次，即点$B$的坐标每8次旋转为一个循环周期，最后计算2025除以8的余数，根据余数确定$B_{2025}$的位置即可得到坐标。解题时先利用等腰直角三角形的性质求初始点坐标，再结合旋转不改变线段长度的特征，通过周期规律推导目标点坐标。
【解析】
1. 求初始点$B_1$的坐标
已知等腰$Rt△ OA_1B_1$的斜边$OA_1=2$，且$OA_1$在$x$轴正半轴上。根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，可得斜边上的高为$1$，$OA_1$的中点坐标为$(1,0)$，因此$B_1$的坐标为$(1,1)$，且$OB_1=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
2. 确定旋转周期
每次将三角形绕原点逆时针旋转$45°$，旋转一周（回到原方向）需要的旋转次数为$360°÷45°=8$，即点$B$的坐标每8个为一个循环周期，$B_1、B_9、B_{17}\dots$的坐标完全相同。
3. 计算2025对应的周期位置
计算$2025÷8=253······1$，即2025除以8余数为1，说明$B_{2025}$的位置与$B_1$的位置重合。
4. 得到坐标
因此点$B_{2025}$的坐标和$B_1$一致，为$(1,1)$。
【答案】
$(1,1)$
【知识点】
旋转的性质、等腰直角三角形的性质、规律型点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系下的规律探究题，解题核心是结合旋转特征找到点坐标的循环周期，需要注意循环起始点的对应关系，避免余数计算错误。
【难度系数】
0.65
首先需要确定初始点$B_1$的坐标，再分析旋转规律：每次逆时针旋转$45°$，旋转一周回到原方向需要$360°÷45°=8$次，即点$B$的坐标每8次旋转为一个循环周期，最后计算2025除以8的余数，根据余数确定$B_{2025}$的位置即可得到坐标。解题时先利用等腰直角三角形的性质求初始点坐标，再结合旋转不改变线段长度的特征，通过周期规律推导目标点坐标。
【解析】
1. 求初始点$B_1$的坐标
已知等腰$Rt△ OA_1B_1$的斜边$OA_1=2$，且$OA_1$在$x$轴正半轴上。根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，可得斜边上的高为$1$，$OA_1$的中点坐标为$(1,0)$，因此$B_1$的坐标为$(1,1)$，且$OB_1=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
2. 确定旋转周期
每次将三角形绕原点逆时针旋转$45°$，旋转一周（回到原方向）需要的旋转次数为$360°÷45°=8$，即点$B$的坐标每8个为一个循环周期，$B_1、B_9、B_{17}\dots$的坐标完全相同。
3. 计算2025对应的周期位置
计算$2025÷8=253······1$，即2025除以8余数为1，说明$B_{2025}$的位置与$B_1$的位置重合。
4. 得到坐标
因此点$B_{2025}$的坐标和$B_1$一致，为$(1,1)$。
【答案】
$(1,1)$
【知识点】
旋转的性质、等腰直角三角形的性质、规律型点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系下的规律探究题，解题核心是结合旋转特征找到点坐标的循环周期，需要注意循环起始点的对应关系，避免余数计算错误。
【难度系数】
0.65
12（2026连云港东海期末）对于正整数$x$，规定$y=\begin{cases}3x+1, & x为奇数, \\ \frac{1}{2}x, & x为偶数.\end{cases}$ 在平面直角坐标系中，将点$(m,n)$中的$m,n$分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中$m,n$均为正整数）。例如，点$(8,5)$经过第1次运算得到点$(4,16)$。经过第2次运算得到点$(2,8)$，经过第3次运算得到点$(1,4)$，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点$(2,1)$经过第2026次运算后得到点是 ______ 。
答案
12. (1,4)
解析
【分析】
解决这道题首先要准确理解题目给出的运算规则：正整数为奇数时按$3x+1$运算，为偶数时按$\frac{1}{2}x$运算，点的横、纵坐标同步运算。我们可以先从初始点$(2,1)$出发，依次计算前几次运算后的坐标，找到循环规律，确定循环周期，再用总运算次数除以周期，根据余数即可求出第2026次运算后的坐标。
【解析】
我们先逐步计算点$(2,1)$每次运算后的结果：
初始状态（0次运算）：$(2,1)$
第1次运算：横坐标2是偶数，$2×\frac{1}{2}=1$；纵坐标1是奇数，$3×1+1=4$，得到点$(1,4)$
第2次运算：横坐标1是奇数，$3×1+1=4$；纵坐标4是偶数，$4×\frac{1}{2}=2$，得到点$(4,2)$
第3次运算：横坐标4是偶数，$4×\frac{1}{2}=2$；纵坐标2是偶数，$2×\frac{1}{2}=1$，得到点$(2,1)$
由此可知，每3次运算为一个循环周期，周期内的结果依次为$(1,4)$、$(4,2)$、$(2,1)$。
接下来计算2026除以周期3的余数：
$2026÷3=675······1$，即余数为1
余数为1，说明第2026次运算的结果和第1次运算的结果相同，为$(1,4)$
【答案】
$(1,4)$
【知识点】
新定义运算，坐标规律探究，周期问题
【点评】
本题核心是通过枚举前几次运算结果找到周期规律，再结合余数判断对应结果，需要准确理解新运算规则，计算时细心即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要准确理解题目给出的运算规则：正整数为奇数时按$3x+1$运算，为偶数时按$\frac{1}{2}x$运算，点的横、纵坐标同步运算。我们可以先从初始点$(2,1)$出发，依次计算前几次运算后的坐标，找到循环规律，确定循环周期，再用总运算次数除以周期，根据余数即可求出第2026次运算后的坐标。
【解析】
我们先逐步计算点$(2,1)$每次运算后的结果：
初始状态（0次运算）：$(2,1)$
第1次运算：横坐标2是偶数，$2×\frac{1}{2}=1$；纵坐标1是奇数，$3×1+1=4$，得到点$(1,4)$
第2次运算：横坐标1是奇数，$3×1+1=4$；纵坐标4是偶数，$4×\frac{1}{2}=2$，得到点$(4,2)$
第3次运算：横坐标4是偶数，$4×\frac{1}{2}=2$；纵坐标2是偶数，$2×\frac{1}{2}=1$，得到点$(2,1)$
由此可知，每3次运算为一个循环周期，周期内的结果依次为$(1,4)$、$(4,2)$、$(2,1)$。
接下来计算2026除以周期3的余数：
$2026÷3=675······1$，即余数为1
余数为1，说明第2026次运算的结果和第1次运算的结果相同，为$(1,4)$
【答案】
$(1,4)$
【知识点】
新定义运算，坐标规律探究，周期问题
【点评】
本题核心是通过枚举前几次运算结果找到周期规律，再结合余数判断对应结果，需要准确理解新运算规则，计算时细心即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
