登录
7 易错题 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$OB=OC$，点A到BC的距离是6，点O到BC的距离是4，则AO的长为（
A.2
B.10
C.2或10
D.无法测量
C
）A.2
B.10
C.2或10
D.无法测量
答案
7. C
解析
【分析】
首先根据已知条件AB=AC、OB=OC，结合线段垂直平分线的判定定理，可得点A和点O都在BC的垂直平分线上，因此A、O和BC边上的垂足三点共线。接下来要注意点O的位置存在两种情况：一是点O在△ABC内部，二是点O在△ABC外部，分两种情况分别计算AO的长度即可得到答案。
【解析】
解：
∵ AB=AC，
∴ 点A在BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∵ OB=OC，
∴ 点O也在BC的垂直平分线上，
∴ A、O两点都在BC的垂直平分线上，即AO所在直线是BC的垂直平分线，设该垂直平分线与BC交于点D，则AD⊥BC，OD⊥BC。
由题意可知：点A到BC的距离AD=6，点O到BC的距离OD=4，分两种情况讨论：
① 当点O在△ABC内部时，AO = AD - OD = 6 - 4 = 2；
② 当点O在△ABC外部时，AO = AD + OD = 6 + 4 = 10。
综上，AO的长为2或10，故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的判定；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是要考虑到点O位置的两种可能性，切勿只想到O在三角形内部的情况而漏解。
【难度系数】
0.6
首先根据已知条件AB=AC、OB=OC，结合线段垂直平分线的判定定理，可得点A和点O都在BC的垂直平分线上，因此A、O和BC边上的垂足三点共线。接下来要注意点O的位置存在两种情况：一是点O在△ABC内部，二是点O在△ABC外部，分两种情况分别计算AO的长度即可得到答案。
【解析】
解：
∵ AB=AC，
∴ 点A在BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∵ OB=OC，
∴ 点O也在BC的垂直平分线上，
∴ A、O两点都在BC的垂直平分线上，即AO所在直线是BC的垂直平分线，设该垂直平分线与BC交于点D，则AD⊥BC，OD⊥BC。
由题意可知：点A到BC的距离AD=6，点O到BC的距离OD=4，分两种情况讨论：
① 当点O在△ABC内部时，AO = AD - OD = 6 - 4 = 2；
② 当点O在△ABC外部时，AO = AD + OD = 6 + 4 = 10。
综上，AO的长为2或10，故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的判定；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是要考虑到点O位置的两种可能性，切勿只想到O在三角形内部的情况而漏解。
【难度系数】
0.6
8 教材P36练习T1·变式 在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,A,B是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张$5×5$的方格纸中,找出格点C,使$AC=BC$,则满足条件的格点C有 (
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
A
)A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
8. A
解析
【分析】
要找到满足AC=BC的格点C，根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此只需作出线段AB的垂直平分线，找出该线上所有在方格纸范围内的格点，即为符合条件的点C。我们可以通过建立平面直角坐标系确定A、B的坐标，求出AB垂直平分线的表达式，再筛选符合要求的格点即可。
【解析】
设点A的坐标为$(1,1)$，结合方格纸可得点B的坐标为$(3,3)$：
1. 求AB的中点坐标：中点横坐标为$\frac{1+3}{2}=2$，纵坐标为$\frac{1+3}{2}=2$，即中点为$(2,2)$；
2. 线段AB的斜率为$\frac{3-1}{3-1}=1$，因此AB的垂直平分线的斜率为$-1$（互相垂直的两条直线斜率乘积为$-1$）；
3. 可得AB的垂直平分线的表达式为$y-2=-(x-2)$，化简得$y=-x+4$；
4. 方格纸内格点的横、纵坐标均为$0∼4$的整数，代入表达式筛选格点：
当$x=0$时$y=4$，当$x=1$时$y=3$，当$x=2$时$y=2$，当$x=3$时$y=1$，当$x=4$时$y=0$，均为合法格点，共5个。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定、坐标法的应用、一次函数的性质
【点评】
本题解题的核心是将“AC=BC”的几何条件转化为“点C在AB的垂直平分线上”，避免逐个验证所有格点的繁琐，同时要注意数格点时不要漏算或多算超出方格范围的点。
【难度系数】
0.7
要找到满足AC=BC的格点C，根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此只需作出线段AB的垂直平分线，找出该线上所有在方格纸范围内的格点，即为符合条件的点C。我们可以通过建立平面直角坐标系确定A、B的坐标，求出AB垂直平分线的表达式，再筛选符合要求的格点即可。
【解析】
设点A的坐标为$(1,1)$，结合方格纸可得点B的坐标为$(3,3)$：
1. 求AB的中点坐标：中点横坐标为$\frac{1+3}{2}=2$，纵坐标为$\frac{1+3}{2}=2$，即中点为$(2,2)$；
2. 线段AB的斜率为$\frac{3-1}{3-1}=1$，因此AB的垂直平分线的斜率为$-1$（互相垂直的两条直线斜率乘积为$-1$）；
3. 可得AB的垂直平分线的表达式为$y-2=-(x-2)$，化简得$y=-x+4$；
4. 方格纸内格点的横、纵坐标均为$0∼4$的整数，代入表达式筛选格点：
当$x=0$时$y=4$，当$x=1$时$y=3$，当$x=2$时$y=2$，当$x=3$时$y=1$，当$x=4$时$y=0$，均为合法格点，共5个。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定、坐标法的应用、一次函数的性质
【点评】
本题解题的核心是将“AC=BC”的几何条件转化为“点C在AB的垂直平分线上”，避免逐个验证所有格点的繁琐，同时要注意数格点时不要漏算或多算超出方格范围的点。
【难度系数】
0.7
9 如图，已知AD垂直平分BC，点C在AE的垂直平分线上，则AB+BD与DE的关系是
AB+BD=DE
.答案
9. AB+BD=DE
解析
【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。第一步，根据AD垂直平分BC，可得到两组相等的线段：AB=AC、BD=DC；第二步，根据点C在AE的垂直平分线上，可得AC=CE；第三步，通过等量代换把AB+BD转化为DE对应的线段和，即可判断二者的关系。
【解析】
解：
∵AD垂直平分BC，
∴AB=AC，BD=DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴AB=CE（等量代换）。
∴AB+BD=CE+DC，
又
∵CE+DC=DE，
∴AB+BD=DE。
【答案】
AB+BD=DE
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等量代换
【点评】
本题考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是借助垂直平分线的性质得到相等线段，再通过等量代换推导所求线段的关系，熟练掌握相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。第一步，根据AD垂直平分BC，可得到两组相等的线段：AB=AC、BD=DC；第二步，根据点C在AE的垂直平分线上，可得AC=CE；第三步，通过等量代换把AB+BD转化为DE对应的线段和，即可判断二者的关系。
【解析】
解：
∵AD垂直平分BC，
∴AB=AC，BD=DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴AB=CE（等量代换）。
∴AB+BD=CE+DC，
又
∵CE+DC=DE，
∴AB+BD=DE。
【答案】
AB+BD=DE
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等量代换
【点评】
本题考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是借助垂直平分线的性质得到相等线段，再通过等量代换推导所求线段的关系，熟练掌握相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
10 如图,在$△ ABC$中,AD垂直平分BC,在$△ ACF$中,CE垂直平分AF,若$CF=6$,$CD=5$,则$△ ABC$的周长为
22
.答案
10. 22
解析
【分析】
解题时先利用线段垂直平分线的性质推导相等线段：首先由CE垂直平分AF，可得AC=CF，求出AC的长度；再由AD垂直平分BC，可得AB=AC、BC=2CD，分别求出AB和BC的长度，最后将△ABC三边长度相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵CE垂直平分AF，
∴根据线段垂直平分线的性质，得$AC=CF$，
∵$CF=6$，
∴$AC=6$。
又
∵AD垂直平分BC，
∴$AB=AC$，$BC=2CD$，
∵$CD=5$，
∴$BC=2×5=10$，$AB=AC=6$，
∴$△ ABC$的周长为$AB+BC+AC=6+10+6=22$。
【答案】
22
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是基础题，核心是应用线段垂直平分线的性质得到相等的线段，进而求出三角形各边的长度，代入周长公式计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先利用线段垂直平分线的性质推导相等线段：首先由CE垂直平分AF，可得AC=CF，求出AC的长度；再由AD垂直平分BC，可得AB=AC、BC=2CD，分别求出AB和BC的长度，最后将△ABC三边长度相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵CE垂直平分AF，
∴根据线段垂直平分线的性质，得$AC=CF$，
∵$CF=6$，
∴$AC=6$。
又
∵AD垂直平分BC，
∴$AB=AC$，$BC=2CD$，
∵$CD=5$，
∴$BC=2×5=10$，$AB=AC=6$，
∴$△ ABC$的周长为$AB+BC+AC=6+10+6=22$。
【答案】
22
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是基础题，核心是应用线段垂直平分线的性质得到相等的线段，进而求出三角形各边的长度，代入周长公式计算即可。
【难度系数】
0.8
11 易错题（2025扬州期中）在$△ ABC$中，$BC=10$，$AB$的垂直平分线与$AC$的垂直平分线分别交边$BC$于点$D$，$E$，且$DE=3$，则$AD+AE=$
7或13
。答案
11. 7或13
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得$AD=BD$，$AE=CE$，因此所求$AD+AE$可转化为求$BD+CE$的长度。由于两条垂直平分线与$BC$的交点$D$、$E$的位置顺序不确定，需要分两种情况讨论：一种是点$D$在点$E$左侧，另一种是点$D$在点$E$右侧，结合线段的和差关系分别计算即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的性质，可得：
$AD = BD$，$AE = CE$，因此$AD + AE = BD + CE$。
分两种情况讨论：
① 当点$D$位于点$E$左侧时，线段$BC$的长度可表示为$BD + DE + CE = 10$，
代入$DE=3$，得$BD + CE = 10 - 3 = 7$，即$AD + AE = 7$；
② 当点$D$位于点$E$右侧时，$BD + CE = BC + DE = 10 + 3 = 13$，即$AD + AE = 13$。
综上，$AD+AE$的值为7或13。
【答案】
7或13
【知识点】
线段垂直平分线的性质，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，易错点是容易忽略$D$、$E$的位置存在两种情况导致漏解。解题的核心是熟练运用线段垂直平分线的性质将所求线段进行转化，再结合图形分情况计算线段和即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得$AD=BD$，$AE=CE$，因此所求$AD+AE$可转化为求$BD+CE$的长度。由于两条垂直平分线与$BC$的交点$D$、$E$的位置顺序不确定，需要分两种情况讨论：一种是点$D$在点$E$左侧，另一种是点$D$在点$E$右侧，结合线段的和差关系分别计算即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的性质，可得：
$AD = BD$，$AE = CE$，因此$AD + AE = BD + CE$。
分两种情况讨论：
① 当点$D$位于点$E$左侧时，线段$BC$的长度可表示为$BD + DE + CE = 10$，
代入$DE=3$，得$BD + CE = 10 - 3 = 7$，即$AD + AE = 7$；
② 当点$D$位于点$E$右侧时，$BD + CE = BC + DE = 10 + 3 = 13$，即$AD + AE = 13$。
综上，$AD+AE$的值为7或13。
【答案】
7或13
【知识点】
线段垂直平分线的性质，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，易错点是容易忽略$D$、$E$的位置存在两种情况导致漏解。解题的核心是熟练运用线段垂直平分线的性质将所求线段进行转化，再结合图形分情况计算线段和即可。
【难度系数】
0.6
12 如图，AB=CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E. 求证：∠ABE=∠CDE. 
答案
12. 证明:如图,连接AE,CE.
因为AC,BD的垂直平分线相交于点E,
所以AE=CE,BE=DE.
在△ABE和△CDE中,$\begin{cases} AB=CD,\\ AE=CE,\\ BE=DE, \end{cases}$
所以△ABE≌△CDE(SSS),所以∠ABE=∠CDE.
解析
【分析】
要证明∠ABE=∠CDE，可通过证明两角所在的三角形全等求解。首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。题中已知E是AC、BD垂直平分线的交点，因此考虑连接AE、CE，利用垂直平分线性质得到相等的线段，再结合已知AB=CD，即可通过SSS判定三角形全等，进而得到对应角相等。
【解析】
证明：如图，连接AE，CE。
∵AC、BD的垂直平分线相交于点E，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AE=CE，BE=DE。
在△ABE和△CDE中，
$\begin{cases} AB=CD（已知）,\\ AE=CE（已证）,\\ BE=DE（已证）, \end{cases}$
∴△ABE≌△CDE（SSS），
∴根据全等三角形的对应角相等，可得∠ABE=∠CDE。
【答案】
证明:如图,连接AE,CE.
因为AC,BD的垂直平分线相交于点E,
所以AE=CE,BE=DE.
在△ABE和△CDE中,$\begin{cases} AB=CD,\\ AE=CE,\\ BE=DE, \end{cases}$
所以△ABE≌△CDE(SSS),所以∠ABE=∠CDE.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查线段垂直平分线性质和全等三角形的应用，通过连接辅助线构造全等三角形是解题的突破口，解题时要熟练掌握线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定定理，属于基础类的几何证明题。
【难度系数】
0.8
要证明∠ABE=∠CDE，可通过证明两角所在的三角形全等求解。首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。题中已知E是AC、BD垂直平分线的交点，因此考虑连接AE、CE，利用垂直平分线性质得到相等的线段，再结合已知AB=CD，即可通过SSS判定三角形全等，进而得到对应角相等。
【解析】
证明：如图，连接AE，CE。
∵AC、BD的垂直平分线相交于点E，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AE=CE，BE=DE。
在△ABE和△CDE中，
$\begin{cases} AB=CD（已知）,\\ AE=CE（已证）,\\ BE=DE（已证）, \end{cases}$
∴△ABE≌△CDE（SSS），
∴根据全等三角形的对应角相等，可得∠ABE=∠CDE。
【答案】
证明:如图,连接AE,CE.
因为AC,BD的垂直平分线相交于点E,
所以AE=CE,BE=DE.
在△ABE和△CDE中,$\begin{cases} AB=CD,\\ AE=CE,\\ BE=DE, \end{cases}$
所以△ABE≌△CDE(SSS),所以∠ABE=∠CDE.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查线段垂直平分线性质和全等三角形的应用，通过连接辅助线构造全等三角形是解题的突破口，解题时要熟练掌握线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定定理，属于基础类的几何证明题。
【难度系数】
0.8
13 如图，在$△ ABC$中，D为BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，$DE⊥ GF$交AB于点E，连接EG，EF.
（1）求证：$BG=CF$；
（2）请你猜想$BE+CF$与$EF$的大小关系，并说明理由.
（1）求证：$BG=CF$；
（2）请你猜想$BE+CF$与$EF$的大小关系，并说明理由.
答案
13. (1) 证明:因为$BG// AC$,所以$∠C=∠GBD$.
因为D是BC的中点,所以$BD=DC$.
在$△CFD$和$△BGD$中,$\begin{cases} ∠C=∠GBD,\\ CD=BD,\\ ∠CDF=∠BDG, \end{cases}$
所以$△CFD≌△BGD$(ASA),所以$BG=CF$.
(2) 解:$BE+CF＞EF$.理由如下:
因为$△CFD≌△BGD$,所以$CF=BG$,$FD=GD$.
又因为$ED⊥GF$,所以$EG=EF$.
在$△BGE$中,$BE+BG＞EG$,所以$BE+CF＞EF$.
因为D是BC的中点,所以$BD=DC$.
在$△CFD$和$△BGD$中,$\begin{cases} ∠C=∠GBD,\\ CD=BD,\\ ∠CDF=∠BDG, \end{cases}$
所以$△CFD≌△BGD$(ASA),所以$BG=CF$.
(2) 解:$BE+CF＞EF$.理由如下:
因为$△CFD≌△BGD$,所以$CF=BG$,$FD=GD$.
又因为$ED⊥GF$,所以$EG=EF$.
在$△BGE$中,$BE+BG＞EG$,所以$BE+CF＞EF$.
解析
【分析】
（1）要证明两条线段相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。本题已知$BG// AC$可得内错角相等，D是BC中点可得一组对应边相等，再结合对顶角相等，即可证明$△CFD$和$△BGD$全等，从而得到$BG=CF$。
（2）比较线段和与另一条线段的大小关系，优先考虑三角形三边关系。首先由（1）的全等可得$CF=BG$、$FD=GD$，再结合$DE⊥GF$，根据线段垂直平分线的性质可得$EG=EF$，最后将CF替换为BG，EF替换为EG，在$△BEG$中利用三边关系即可得出结论。
【解析】
（1）证明：
∵ $ BG// AC $，
∴ $ ∠C=∠GBD $。
∵ D是BC的中点，
∴ $ BD=DC $。
在$ △CFD $和$ △BGD $中：
$ \begin{cases}∠C=∠GBD \\CD=BD \\∠CDF=∠BDG\end{cases} $
∴ $ △CFD≌△BGD(\mathrm{ASA}) $，
∴ $ BG=CF $。
（2）$ BE+CF＞EF $，理由如下：
∵ $ △CFD≌△BGD $，
∴ $ CF=BG $，$ FD=GD $。
又
∵ $ DE⊥GF $，即ED垂直平分GF，
∴ $ EG=EF $。
在$ △BGE $中，根据三角形三边关系：$ BE+BG＞EG $，
将$ BG=CF $、$ EG=EF $代入得：$ BE+CF＞EF $。
【答案】
（1）$ BG=CF $，证明成立；
（2）$ BE+CF＞EF $
【知识点】
全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过全等三角形实现线段的等量转化，再结合线段垂直平分线的性质将待比较的线段转移到同一个三角形中，最后利用三角形三边关系得到结论，是几何中线段等量转化和大小比较的典型题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明两条线段相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。本题已知$BG// AC$可得内错角相等，D是BC中点可得一组对应边相等，再结合对顶角相等，即可证明$△CFD$和$△BGD$全等，从而得到$BG=CF$。
（2）比较线段和与另一条线段的大小关系，优先考虑三角形三边关系。首先由（1）的全等可得$CF=BG$、$FD=GD$，再结合$DE⊥GF$，根据线段垂直平分线的性质可得$EG=EF$，最后将CF替换为BG，EF替换为EG，在$△BEG$中利用三边关系即可得出结论。
【解析】
（1）证明：
∵ $ BG// AC $，
∴ $ ∠C=∠GBD $。
∵ D是BC的中点，
∴ $ BD=DC $。
在$ △CFD $和$ △BGD $中：
$ \begin{cases}∠C=∠GBD \\CD=BD \\∠CDF=∠BDG\end{cases} $
∴ $ △CFD≌△BGD(\mathrm{ASA}) $，
∴ $ BG=CF $。
（2）$ BE+CF＞EF $，理由如下：
∵ $ △CFD≌△BGD $，
∴ $ CF=BG $，$ FD=GD $。
又
∵ $ DE⊥GF $，即ED垂直平分GF，
∴ $ EG=EF $。
在$ △BGE $中，根据三角形三边关系：$ BE+BG＞EG $，
将$ BG=CF $、$ EG=EF $代入得：$ BE+CF＞EF $。
【答案】
（1）$ BG=CF $，证明成立；
（2）$ BE+CF＞EF $
【知识点】
全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过全等三角形实现线段的等量转化，再结合线段垂直平分线的性质将待比较的线段转移到同一个三角形中，最后利用三角形三边关系得到结论，是几何中线段等量转化和大小比较的典型题型。
【难度系数】
0.7
