1（2025宿迁宿豫月考）如图，$AC=AD$，$BC=BD$，则下列结论中一定正确的是（）

A.$CD$平分$∠ ACB$
B.$CD$垂直平分$AB$
C.$AB$垂直平分$CD$
D.$AB$与$CD$互相垂直平分
（第1题）

1. C

【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。已知AC=AD，说明点A到C、D的距离相等，因此点A在CD的垂直平分线上；同理BC=BD说明点B也在CD的垂直平分线上，结合“两点确定一条直线”，可得AB就是CD的垂直平分线，再逐一分析各选项即可得到正确结论。
【解析】
解：
① 根据线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
∵ $AC=AD$，
∴ 点A在CD的垂直平分线上；
∵ $BC=BD$，
∴ 点B在CD的垂直平分线上。
② 又
∵ 两点确定一条直线，因此直线AB是CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD。
对各选项判断如下：
A. 题目无相关条件证明CD平分$∠ACB$，该结论不一定成立，错误；
B. 没有条件证明点C、D在AB的垂直平分线上，因此CD垂直平分AB不成立，错误；
C. 由上述推导可知AB垂直平分CD，该结论正确；
D. 无法证明CD平分AB，因此AB与CD互相垂直平分不成立，错误。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的判定、两点确定一条直线
【点评】
本题是线段垂直平分线判定的基础应用题，解题核心是熟练掌握线段垂直平分线的判定定理，结合直线的基本事实即可快速推导，注意不要混淆两条线段的位置关系，避免误选B或D。
【难度系数】
0.8

2（2025镇江丹阳期中）如图，在$△ ABC$中，已知点$D$在$BC$上，$AD+CD=BC$，则点$D$在（）

A.$AB$的垂直平分线上
B.$AC$的垂直平分线上
C.$BC$的中点处
D.$∠ BAC$的平分线上

2. A

【分析】
解题时首先结合点D在BC上的位置特征，利用线段和的定义写出BC与BD、CD的关系，再和题目给出的AD+CD=BC的条件对比，消去公共项CD得到AD=BD，最后根据线段垂直平分线的判定定理，即可判断点D的位置。
【解析】
∵ 点D在BC上，
∴ $BC = BD + CD$（线段和的定义），
又
∵ $AD + CD = BC$，
∴ $BD + CD = AD + CD$，
等式两边同时减去CD，可得 $BD = AD$，
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，
可知点D到A、B两点的距离相等，因此点D在AB的垂直平分线上。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
线段的和差、线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础类考题，解题核心是通过线段和差关系推出两条线段相等，再结合线段垂直平分线的判定定理直接得出结论，解题时注意不要混淆各线段对应的垂直平分线。
【难度系数】
0.8

3（2025常州钟楼期中）如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$DE$垂直平分$AB$，$AD=7\ \mathrm{cm}$，$CD=2\ \mathrm{cm}$，则$BC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。

3. 9

【分析】
解题时首先结合已知条件DE垂直平分AB，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。点D在AB的垂直平分线DE上，因此可得BD=AD，再观察图形可知BC由BD和CD两段组成，将已知的AD、CD长度代入计算即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB，点D在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：BD=AD，
∵AD=7cm，
∴BD=7cm，
又
∵CD=2cm，且点D在线段BC上，
∴BC=BD+CD=7+2=9（cm）。
【答案】
9
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段的和差计算
【点评】
本题是基础题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，找到BD与AD的等量关系，再结合线段和差关系计算即可。
【难度系数】
0.8

4（2025连云港灌南月考）如图，AC垂直平分线段BD，若AB=3 cm，CD=5 cm，则四边形ABCD的周长为 cm.

4. 16

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知点A、点C都在BD的垂直平分线AC上，因此可推出AD=AB，BC=CD，结合已知的AB、CD长度，就能得到四条边的长度，相加即可求出四边形的周长。
【解析】
解：
∵AC垂直平分线段BD
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AD=AB=3cm，BC=CD=5cm
∴四边形ABCD的周长 = AB + BC + CD + AD = 3 + 5 + 5 + 3 = 16（cm）
【答案】
16
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.四边形周长计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段垂直平分线性质的直接应用，只要熟练掌握相关性质，就能快速求出未知边长，进而计算出周长。
【难度系数】
0.9

5 如图,已知在$△ ABC$中,$P$为边$BC$上一点.
(1) 请用尺规作图的方法在边$AC$上求作一点$E$,使$EA=EP$;(保留作图痕迹,不写作法)
(2) 已知$AP=6$,$△ APC$的周长为$24$,求$△ PCE$的周长.

5. 解:(1) 如图,点E即为所求.
(2) 因为AP=6,△APC的周长为24,
所以AC+CP=24-6=18,
因为EC+EP=AC,
所以△PCE的周长=PC+CE+PE=PC+AC=18.

【分析】
(1) 要得到满足EA=EP的点E，根据“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点E在线段AP的垂直平分线上，因此只需作出线段AP的垂直平分线，它与AC的交点即为所求的点E。
(2) 计算△PCE的周长时，首先根据△APC的周长和已知的AP长度，先求出AC+PC的和；再结合线段垂直平分线的性质得到EP=EA，将△PCE周长中的PE等量替换为EA，就可以把△PCE的周长转化为PC+AC的和，代入之前的计算结果即可得出答案。
【解析】
(1) 作线段AP的垂直平分线，与AC的交点即为所求点E，保留作图痕迹即可。
(2) 已知△APC的周长为24，AP=6，根据三角形周长定义可得：
$AC+CP+AP=24$
将$AP=6$代入，得$AC+CP=24-6=18$。
由作图可知点E在AP的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得$EP=EA$。
△PCE的周长为$PC+CE+PE$，将$PE$替换为$EA$，可得：
$PC+CE+PE=PC+CE+EA=PC+(CE+EA)=PC+AC$
结合$AC+CP=18$，可知△PCE的周长为18。
【答案】
(1) 如图，点E即为所求。
(2) △PCE的周长为18。
【知识点】
线段垂直平分线的作图；线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题结合尺规作图和几何计算进行考查，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转换，将未知周长转化为已知的线段和，是线段垂直平分线相关的典型基础题型。
【难度系数】
0.75

6（2025宿迁宿豫月考）如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE。求证：OE垂直平分BD。

6. 证明:在△ABO和△CDO中,
$\begin{cases} ∠A=∠C,\\ AO=CO,\\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$
所以△AOB≌△COD(ASA),
所以OB=OD.因为BE=DE,所以OE垂直平分BD.

【分析】
要证明OE垂直平分BD，可依据线段垂直平分线的判定思路：若两个点均到线段BD两端的距离相等，则两点确定的直线OE就是BD的垂直平分线。首先已知BE=DE，说明点E已经在BD的垂直平分线上，接下来只需证明OB=OD，就能说明点O也在BD的垂直平分线上。要证OB=OD，观察图中△ABO和△CDO，已知OA=OC、∠A=∠C，再结合对顶角相等的隐含条件，即可通过ASA判定两个三角形全等，从而得到OB=OD，即可完成证明。
【解析】
证明：在△ABO和△CDO中，
$\begin{cases} ∠A=∠C,\\ AO=CO,\\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$
所以△AOB≌△COD(ASA)，
所以OB=OD，即点O在BD的垂直平分线上。
又因为BE=DE，即点E也在BD的垂直平分线上，
根据两点确定一条直线，可得OE垂直平分BD。
【答案】
证明:在△ABO和△CDO中,
$\begin{cases} ∠A=∠C,\\ AO=CO,\\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$
所以△AOB≌△COD(ASA),
所以OB=OD.因为BE=DE,所以OE垂直平分BD.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是先通过全等三角形得到线段相等，再结合线段垂直平分线的判定定理推导结论，需熟练掌握全等三角形的判定方法和线段垂直平分线的判定逻辑。
【难度系数】
0.8