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1（2025徐州鼓楼期中）到$△ ABC$的三条边距离相等的点是$△ ABC$的（
A.三边垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点
D.三边中线的交点
B
）A.三边垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点
D.三边中线的交点
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先明确题目核心要求：找到到三角形三条边距离相等的点，我们可以逐一回忆三角形各特殊线段交点的性质，和题干要求做匹配：首先回忆角平分线的性质是角平分线上的点到角两边距离相等，再对应其他选项的交点性质，逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析各选项对应的交点性质：
A. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，其性质是到三角形三个顶点的距离相等，不符合“到三条边距离相等”的要求，故A错误；
B. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，三角形三条角平分线的交点同时在三个内角的角平分线上，因此该点到三角形三条边的距离都相等，符合要求，故B正确；
C. 三条高的交点是三角形的垂心，不具备到三边距离相等的性质，故C错误；
D. 三条中线的交点是三角形的重心，其性质是重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不符合要求，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 三角形特殊交点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊交点的性质，解题的关键是牢记角平分线的性质，同时注意区分“到三边距离相等”和“到三个顶点距离相等”对应的不同交点，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题目核心要求：找到到三角形三条边距离相等的点，我们可以逐一回忆三角形各特殊线段交点的性质，和题干要求做匹配：首先回忆角平分线的性质是角平分线上的点到角两边距离相等，再对应其他选项的交点性质，逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析各选项对应的交点性质：
A. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，其性质是到三角形三个顶点的距离相等，不符合“到三条边距离相等”的要求，故A错误；
B. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，三角形三条角平分线的交点同时在三个内角的角平分线上，因此该点到三角形三条边的距离都相等，符合要求，故B正确；
C. 三条高的交点是三角形的垂心，不具备到三边距离相等的性质，故C错误；
D. 三条中线的交点是三角形的重心，其性质是重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不符合要求，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 三角形特殊交点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊交点的性质，解题的关键是牢记角平分线的性质，同时注意区分“到三边距离相等”和“到三个顶点距离相等”对应的不同交点，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2（2025扬州期中）如图，OP平分$∠ MON$，$PA⊥ ON$于点A，Q是射线OM上的一个动点。若$PA=4$，则PQ的最小值为（
A.1
B.2
C.3
D.4
（第2题）
（第3题）
D
）A.1
B.2
C.3
D.4
（第2题）（第3题）答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分两步思考：第一步先确定PQ取最小值的位置，根据“点到直线的所有连线中，垂线段最短”，可知当PQ垂直于OM时，PQ的长度最小；第二步结合角平分线的性质推导PQ的长度，已知OP是∠MON的角平分线，PA垂直于ON，那么角平分线上的点P到角两边OM、ON的距离相等，也就是此时PQ的长度等于PA的长度，代入数值即可得到结果。
【解析】
解：根据垂线段最短的性质，当PQ⊥OM时，PQ的长度最小。
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PQ=PA。
又
∵PA=4，
∴PQ的最小值为4。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是先确定PQ取最小值的位置，再结合角平分线的性质求解，熟练掌握相关基础性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以分两步思考：第一步先确定PQ取最小值的位置，根据“点到直线的所有连线中，垂线段最短”，可知当PQ垂直于OM时，PQ的长度最小；第二步结合角平分线的性质推导PQ的长度，已知OP是∠MON的角平分线，PA垂直于ON，那么角平分线上的点P到角两边OM、ON的距离相等，也就是此时PQ的长度等于PA的长度，代入数值即可得到结果。
【解析】
解：根据垂线段最短的性质，当PQ⊥OM时，PQ的长度最小。
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PQ=PA。
又
∵PA=4，
∴PQ的最小值为4。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是先确定PQ取最小值的位置，再结合角平分线的性质求解，熟练掌握相关基础性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
如图，在$△ ABC$中，AD平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$.若$AC=2$，$DE=1$，则$S_{△ ACD}=$
1
.答案
3. 1
解析
【分析】
要求△ACD的面积，已知底AC的长度为2，只需要求出AC边上的高即可。已知AD平分∠BAC，DE是点D到AB的距离，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需过点D作AC的垂线段，该垂线段的长度就等于DE的长度，即可得到△ACD中AC边上的高，再代入三角形面积公式就能算出结果。
【解析】
过点D作DF⊥AC，垂足为F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得DF = DE = 1。
三角形ACD的面积公式为$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×底×高$，将底AC=2，高DF=1代入得：
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF=\frac{1}{2}×2×1=1$
【答案】
1
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线性质的应用，解题的关键是通过作辅助线得到AC边上的高，再结合三角形面积公式求解，熟练掌握角平分线的性质是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
要求△ACD的面积，已知底AC的长度为2，只需要求出AC边上的高即可。已知AD平分∠BAC，DE是点D到AB的距离，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需过点D作AC的垂线段，该垂线段的长度就等于DE的长度，即可得到△ACD中AC边上的高，再代入三角形面积公式就能算出结果。
【解析】
过点D作DF⊥AC，垂足为F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得DF = DE = 1。
三角形ACD的面积公式为$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×底×高$，将底AC=2，高DF=1代入得：
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF=\frac{1}{2}×2×1=1$
【答案】
1
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线性质的应用，解题的关键是通过作辅助线得到AC边上的高，再结合三角形面积公式求解，熟练掌握角平分线的性质是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
4 新趋势 情境素材（2025连云港海州月考）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线OA重合，另一把直尺的下边缘与射线OB重合，连接OP并延长。若$∠ BOP=25°$，则$∠ AOP$的度数为
25°
。答案
4. $25°$
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。观察图形可知，两把相同的长方形直尺宽度相等，因此接触点P到OA、OB的距离就是直尺的宽度，两者相等，由此可判断OP是∠AOB的角平分线，进而得出∠AOP和∠BOP相等，代入已知角度即可求解。
【解析】
∵两把直尺为相同的长方形直尺，
∴点P到射线OA、OB的距离等于直尺的宽度，二者相等，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上，可得OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
又
∵∠BOP=25°，
∴∠AOP=25°。
【答案】
$25°$
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题结合直尺摆放的生活化情境考查角平分线的判定，解题的核心是将直尺宽度转化为点到角两边的距离，侧重对基础定理的理解与应用。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。观察图形可知，两把相同的长方形直尺宽度相等，因此接触点P到OA、OB的距离就是直尺的宽度，两者相等，由此可判断OP是∠AOB的角平分线，进而得出∠AOP和∠BOP相等，代入已知角度即可求解。
【解析】
∵两把直尺为相同的长方形直尺，
∴点P到射线OA、OB的距离等于直尺的宽度，二者相等，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上，可得OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
又
∵∠BOP=25°，
∴∠AOP=25°。
【答案】
$25°$
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题结合直尺摆放的生活化情境考查角平分线的判定，解题的核心是将直尺宽度转化为点到角两边的距离，侧重对基础定理的理解与应用。
【难度系数】
0.8
5 新素养 应用意识（2025无锡宜兴月考）两个城镇A,B与两条公路ME,MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路.现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等，到两条公路ME,MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C.（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
答案
5. 解:如图,点 C 即为所求.
解析
【分析】
要找到符合条件的点C，需结合两个距离要求对应的几何轨迹分析：首先，到城镇A、B距离相等的点，在线段AB的垂直平分线上；其次，到两条公路ME、MF距离相等且在∠FME内部的点，在∠FME的角平分线上。两个轨迹的交点即为同时满足所有条件的点C。
【解析】
第一步，用尺规作线段AB的垂直平分线；第二步，用尺规作∠FME的角平分线；两条线的交点就是所求的点C，保留作图过程中的所有痕迹即可。
【答案】
如图，点C即为所求。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是尺规作图的实际应用问题，核心是将题目中的距离条件转化为对应的几何轨迹，通过两条轨迹的交点确定目标点，作图时需注意保留规范的作图痕迹。
【难度系数】
0.7
要找到符合条件的点C，需结合两个距离要求对应的几何轨迹分析：首先，到城镇A、B距离相等的点，在线段AB的垂直平分线上；其次，到两条公路ME、MF距离相等且在∠FME内部的点，在∠FME的角平分线上。两个轨迹的交点即为同时满足所有条件的点C。
【解析】
第一步，用尺规作线段AB的垂直平分线；第二步，用尺规作∠FME的角平分线；两条线的交点就是所求的点C，保留作图过程中的所有痕迹即可。
【答案】
如图，点C即为所求。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是尺规作图的实际应用问题，核心是将题目中的距离条件转化为对应的几何轨迹，通过两条轨迹的交点确定目标点，作图时需注意保留规范的作图痕迹。
【难度系数】
0.7
6（2025徐州邳州期中）如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部且CA=CB，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD=BE。
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）若AO=14，BO=6，求AD的长。
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）若AO=14，BO=6，求AD的长。
答案
6. （1）证明:因为 $CD⊥OM,CE⊥ON$,
所以$∠ ADC=∠ BEC=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 和 $\mathrm{Rt}△ BEC$ 中, $\begin{cases} CA=CB,\\ AD=BE, \end{cases}$
所以 $\mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ BEC(\mathrm{HL})$,所以 $CD=CE$,
因为 $CD⊥OM,CE⊥ON$,所以 $OC$ 平分$∠ MON$.
（2）解:在 $\mathrm{Rt}△ OCD$ 和 $\mathrm{Rt}△ OCE$ 中, $\begin{cases} CD=CE,\\ OC=OC, \end{cases}$
所以 $\mathrm{Rt}△ OCD≌\mathrm{Rt}△ OCE(\mathrm{HL})$,
所以 $OD=OE$,
所以 $AO-AD=OB+BE$,
即 $14-AD=6+AD$,解得 $AD=4$.
所以$∠ ADC=∠ BEC=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 和 $\mathrm{Rt}△ BEC$ 中, $\begin{cases} CA=CB,\\ AD=BE, \end{cases}$
所以 $\mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ BEC(\mathrm{HL})$,所以 $CD=CE$,
因为 $CD⊥OM,CE⊥ON$,所以 $OC$ 平分$∠ MON$.
（2）解:在 $\mathrm{Rt}△ OCD$ 和 $\mathrm{Rt}△ OCE$ 中, $\begin{cases} CD=CE,\\ OC=OC, \end{cases}$
所以 $\mathrm{Rt}△ OCD≌\mathrm{Rt}△ OCE(\mathrm{HL})$,
所以 $OD=OE$,
所以 $AO-AD=OB+BE$,
即 $14-AD=6+AD$,解得 $AD=4$.
解析
【分析】
（1）要证明OC平分∠MON，根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点C到OM、ON的距离CD=CE即可。已知CD⊥OM、CE⊥ON，且给出CA=CB、AD=BE，可通过HL定理证明Rt△ADC和Rt△BEC全等，得到CD=CE，即可完成证明。
（2）求AD的长时，先通过HL定理证明Rt△OCD和Rt△OCE全等，得到OD=OE，再将OD转化为AO-AD、OE转化为BO+BE，结合已知AD=BE，代入AO、BO的长度列方程即可求解。
【解析】
（1）证明：$\because CD⊥ OM,CE⊥ ON$，
$\therefore ∠ ADC=∠ BEC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ BEC$中，
$\begin{cases} CA=CB\\ AD=BE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ BEC(\mathrm{HL})$，
$\therefore CD=CE$，
又$\because CD⊥ OM,CE⊥ ON$，
$\therefore OC$平分$∠ MON$。
（2）解：在$\mathrm{Rt}△ OCD$和$\mathrm{Rt}△ OCE$中，
$\begin{cases} CD=CE\\ OC=OC \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OCD≌\mathrm{Rt}△ OCE(\mathrm{HL})$，
$\therefore OD=OE$，
$\because OD=AO-AD$，$OE=BO+BE$，且$AD=BE$，
$\therefore 14-AD=6+AD$，
解得$AD=4$。
【答案】
（1）OC平分∠MON，证明成立；（2）$AD=4$
【知识点】
角平分线的判定；HL全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线相关知识的典型题型，解题核心是灵活运用HL定理证明直角三角形全等，通过全等得到线段相等关系，第二问结合方程思想求解线段长度，能很好地考察学生对全等判定和角平分线知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
（1）要证明OC平分∠MON，根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点C到OM、ON的距离CD=CE即可。已知CD⊥OM、CE⊥ON，且给出CA=CB、AD=BE，可通过HL定理证明Rt△ADC和Rt△BEC全等，得到CD=CE，即可完成证明。
（2）求AD的长时，先通过HL定理证明Rt△OCD和Rt△OCE全等，得到OD=OE，再将OD转化为AO-AD、OE转化为BO+BE，结合已知AD=BE，代入AO、BO的长度列方程即可求解。
【解析】
（1）证明：$\because CD⊥ OM,CE⊥ ON$，
$\therefore ∠ ADC=∠ BEC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ BEC$中，
$\begin{cases} CA=CB\\ AD=BE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ BEC(\mathrm{HL})$，
$\therefore CD=CE$，
又$\because CD⊥ OM,CE⊥ ON$，
$\therefore OC$平分$∠ MON$。
（2）解：在$\mathrm{Rt}△ OCD$和$\mathrm{Rt}△ OCE$中，
$\begin{cases} CD=CE\\ OC=OC \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OCD≌\mathrm{Rt}△ OCE(\mathrm{HL})$，
$\therefore OD=OE$，
$\because OD=AO-AD$，$OE=BO+BE$，且$AD=BE$，
$\therefore 14-AD=6+AD$，
解得$AD=4$。
【答案】
（1）OC平分∠MON，证明成立；（2）$AD=4$
【知识点】
角平分线的判定；HL全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线相关知识的典型题型，解题核心是灵活运用HL定理证明直角三角形全等，通过全等得到线段相等关系，第二问结合方程思想求解线段长度，能很好地考察学生对全等判定和角平分线知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
