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10 [2024 南通]在平面直角坐标系中,已知$A(3,0),B(0,3)$.直线$y=kx+b$($k,b$为常数,且$k＞0$)经过点$(1,0)$,并把$△ AOB$分成两部分,其中靠近原点部分的面积为$\frac{15}{4}$,求$k$的值.
答案
如图,设直线$y=kx+b$与直线AB交于点D,与x轴交于点C.$\because A(3,0),B(0,3),\therefore OA=OB=3$,易得直线AB对应的函数表达式为$y=-x+3$.$\because C(1,0),\therefore AC=2$.$\because$ 靠近原点部分的面积为$\frac{15}{4}$,即$S_{四边形OCDB}=S_{△ OAB}-S_{△ ACD}=\frac{15}{4}$,$\therefore \frac{1}{2}×3×3-\frac{1}{2}×2× y_D=\frac{15}{4}$,解得$y_D=\frac{3}{4}$.把$y_D=\frac{3}{4}$代入$y=-x+3$,得$x_D=\frac{9}{4}$.$\therefore D(\frac{9}{4},\frac{3}{4})$.由C,D两点的坐标可求直线CD对应的函数表达式为$y=\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}$.$\therefore k$的值为$\frac{3}{5}$
（第10题）
（第10题）
解析
【分析】
首先先分析△AOB的基本情况：A(3,0)、B(0,3)，可知△AOB是直角边为3的等腰直角三角形，先计算出它的总面积为$\frac{9}{2}$。已知靠近原点的部分面积为$\frac{15}{4}$，小于总面积，说明直线$y=kx+b$与线段AB相交，靠近原点的部分是四边形OCDB（C为直线与x轴的交点(1,0)，D为直线与AB的交点），由此可得剩余△ACD的面积为总面积减去四边形面积。△ACD的底AC长为$3-1=2$，高就是交点D的纵坐标，据此可算出D的纵坐标，再代入直线AB的解析式求出D的横坐标，最后将C、D两点坐标代入$y=kx+b$即可求出k的值。
【解析】
解：设直线$y=kx+b$与直线AB交于点D，与x轴交于点C。
∵$A(3,0),B(0,3)$，
∴$OA=OB=3$。
设直线AB的解析式为$y=mx+n$，代入A、B坐标得$\begin{cases} 0=3m+n \\ 3=n \end{cases}$，解得$\begin{cases} m=-1 \\ n=3 \end{cases}$，即直线AB的解析式为$y=-x+3$。
∵直线$y=kx+b$过点$(1,0)$，
∴C点坐标为$(1,0)$，则$AC=OA-OC=3-1=2$。
由题意得靠近原点部分的面积$S_{四边形OCDB}=\frac{15}{4}$，
又
∵$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$，
∴$S_{△ACD}=S_{△AOB}-S_{四边形OCDB}=\frac{9}{2}-\frac{15}{4}=\frac{3}{4}$。
设D点纵坐标为$y_D$，△ACD以AC为底时，高为$y_D$，则：
$\frac{1}{2}×AC×y_D=\frac{3}{4}$，代入$AC=2$得$\frac{1}{2}×2×y_D=\frac{3}{4}$，解得$y_D=\frac{3}{4}$。
把$y_D=\frac{3}{4}$代入$y=-x+3$，得$\frac{3}{4}=-x+3$，解得$x=\frac{9}{4}$，即$D(\frac{9}{4},\frac{3}{4})$。
将$C(1,0)$、$D(\frac{9}{4},\frac{3}{4})$代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} 0=k+b \\ \frac{3}{4}=\frac{9}{4}k+b \end{cases}$
两式相减得$\frac{3}{4}=\frac{5}{4}k$，解得$k=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
一次函数交点问题，三角形面积计算，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于一次函数与几何的综合题，解题关键是通过面积差求出两直线交点的坐标，再结合待定系数法求解参数，解题时需先结合图形判断分割后图形的形状，避免误判面积对应关系。
【难度系数】
0.6
首先先分析△AOB的基本情况：A(3,0)、B(0,3)，可知△AOB是直角边为3的等腰直角三角形，先计算出它的总面积为$\frac{9}{2}$。已知靠近原点的部分面积为$\frac{15}{4}$，小于总面积，说明直线$y=kx+b$与线段AB相交，靠近原点的部分是四边形OCDB（C为直线与x轴的交点(1,0)，D为直线与AB的交点），由此可得剩余△ACD的面积为总面积减去四边形面积。△ACD的底AC长为$3-1=2$，高就是交点D的纵坐标，据此可算出D的纵坐标，再代入直线AB的解析式求出D的横坐标，最后将C、D两点坐标代入$y=kx+b$即可求出k的值。
【解析】
解：设直线$y=kx+b$与直线AB交于点D，与x轴交于点C。
∵$A(3,0),B(0,3)$，
∴$OA=OB=3$。
设直线AB的解析式为$y=mx+n$，代入A、B坐标得$\begin{cases} 0=3m+n \\ 3=n \end{cases}$，解得$\begin{cases} m=-1 \\ n=3 \end{cases}$，即直线AB的解析式为$y=-x+3$。
∵直线$y=kx+b$过点$(1,0)$，
∴C点坐标为$(1,0)$，则$AC=OA-OC=3-1=2$。
由题意得靠近原点部分的面积$S_{四边形OCDB}=\frac{15}{4}$，
又
∵$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$，
∴$S_{△ACD}=S_{△AOB}-S_{四边形OCDB}=\frac{9}{2}-\frac{15}{4}=\frac{3}{4}$。
设D点纵坐标为$y_D$，△ACD以AC为底时，高为$y_D$，则：
$\frac{1}{2}×AC×y_D=\frac{3}{4}$，代入$AC=2$得$\frac{1}{2}×2×y_D=\frac{3}{4}$，解得$y_D=\frac{3}{4}$。
把$y_D=\frac{3}{4}$代入$y=-x+3$，得$\frac{3}{4}=-x+3$，解得$x=\frac{9}{4}$，即$D(\frac{9}{4},\frac{3}{4})$。
将$C(1,0)$、$D(\frac{9}{4},\frac{3}{4})$代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} 0=k+b \\ \frac{3}{4}=\frac{9}{4}k+b \end{cases}$
两式相减得$\frac{3}{4}=\frac{5}{4}k$，解得$k=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
一次函数交点问题，三角形面积计算，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于一次函数与几何的综合题，解题关键是通过面积差求出两直线交点的坐标，再结合待定系数法求解参数，解题时需先结合图形判断分割后图形的形状，避免误判面积对应关系。
【难度系数】
0.6
11 [2025广东]在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量$y(\mathrm{W·h})$与骑行里程$x(\mathrm{km})$之间的关系如图所示. 当电池剩余能量小于$100\ \mathrm{W·h}$时，摩托车将自动报警. 根据图象，下列结论正确的是（
A.电池能量最多可充$400\ \mathrm{W·h}$
B.该电动摩托车每行驶$10\ \mathrm{km}$消耗能量$300\ \mathrm{W·h}$
C.一次性充满电后，该电动摩托车最多行驶$25\ \mathrm{km}$
D.该电动摩托车充满电后，行驶$18\ \mathrm{km}$将自动报警
C
）A.电池能量最多可充$400\ \mathrm{W·h}$
B.该电动摩托车每行驶$10\ \mathrm{km}$消耗能量$300\ \mathrm{W·h}$
C.一次性充满电后，该电动摩托车最多行驶$25\ \mathrm{km}$
D.该电动摩托车充满电后，行驶$18\ \mathrm{km}$将自动报警
答案
C
解析
【分析】
首先明确图像横纵坐标的含义：横坐标x表示骑行里程，纵坐标y表示电池剩余能量。观察图像可得两个关键点：未骑行时(x=0)电池满电能量为500W·h，行驶25km时(y=0)电量耗尽。我们可以先用待定系数法求出y与x的一次函数解析式，再结合每个选项的描述逐一判断正误，也可直接结合图像信息分析选项。
【解析】
设电池剩余能量y与骑行里程x的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
由图像可知，函数过点$(0,500)$和$(25,0)$：
将$(0,500)$代入解析式得$b=500$；
将$(25,0)$和$b=500$代入得$0=25k+500$，解得$k=-20$，因此函数解析式为$y=-20x+500$（$0≤ x≤25$）。
逐一分析选项：
A. 当$x=0$时，$y=500$，说明电池最多可充500W·h，A错误；
B. 每行驶10km消耗的能量为$10×20=200\ \mathrm{W·h}$，B错误；
C. 当$y=0$时，$x=25$，说明充满电后最多行驶25km，C正确；
D. 当剩余能量为100W·h时，令$y=100$，则$100=-20x+500$，解得$x=20$，即行驶超过20km才会自动报警，行驶18km不会报警，D错误。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法；一次函数图像
【点评】
本题结合电动摩托车用电的生活场景考查一次函数的实际应用，解题的核心是准确读取图像中的关键信息，结合一次函数的性质分析判断，要注意题干中“剩余能量小于100W·h报警”的临界条件，避免误判。
【难度系数】
0.8
首先明确图像横纵坐标的含义：横坐标x表示骑行里程，纵坐标y表示电池剩余能量。观察图像可得两个关键点：未骑行时(x=0)电池满电能量为500W·h，行驶25km时(y=0)电量耗尽。我们可以先用待定系数法求出y与x的一次函数解析式，再结合每个选项的描述逐一判断正误，也可直接结合图像信息分析选项。
【解析】
设电池剩余能量y与骑行里程x的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
由图像可知，函数过点$(0,500)$和$(25,0)$：
将$(0,500)$代入解析式得$b=500$；
将$(25,0)$和$b=500$代入得$0=25k+500$，解得$k=-20$，因此函数解析式为$y=-20x+500$（$0≤ x≤25$）。
逐一分析选项：
A. 当$x=0$时，$y=500$，说明电池最多可充500W·h，A错误；
B. 每行驶10km消耗的能量为$10×20=200\ \mathrm{W·h}$，B错误；
C. 当$y=0$时，$x=25$，说明充满电后最多行驶25km，C正确；
D. 当剩余能量为100W·h时，令$y=100$，则$100=-20x+500$，解得$x=20$，即行驶超过20km才会自动报警，行驶18km不会报警，D错误。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法；一次函数图像
【点评】
本题结合电动摩托车用电的生活场景考查一次函数的实际应用，解题的核心是准确读取图像中的关键信息，结合一次函数的性质分析判断，要注意题干中“剩余能量小于100W·h报警”的临界条件，避免误判。
【难度系数】
0.8
12 甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/千克.如果一次购买4千克以上的苹果，那么超过4千克的部分按标价的6折售卖.设购买苹果的质量为x千克，付款金额为y元.
（1）文文购买3千克苹果需付款
（2）求y关于x的函数表达式.
（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/千克，且全部按标价的8折售卖.若文文要购买10千克苹果，则她在哪个超市购买更划算？
（1）文文购买3千克苹果需付款
30
元，购买5千克苹果需付款46
元.（2）求y关于x的函数表达式.
（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/千克，且全部按标价的8折售卖.若文文要购买10千克苹果，则她在哪个超市购买更划算？
答案
(1) 30 46
(2) 根据题意,得当$0≤ x≤ 4$时,$y=10x$;当$x＞4$时,$y=4×10+(x-4)×10×0.6=6x+16$,$\therefore$ 当$0≤ x≤ 4$时,$y=10x$;当$x＞4$时,$y=6x+16$
(3) 文文在甲超市购买10千克苹果需付款$6×10+16=76$(元),文文在乙超市购买10千克苹果需付款$10×10×0.8=80$(元).$\because 76＜80$,$\therefore$ 文文在甲超市购买更划算
(2) 根据题意,得当$0≤ x≤ 4$时,$y=10x$;当$x＞4$时,$y=4×10+(x-4)×10×0.6=6x+16$,$\therefore$ 当$0≤ x≤ 4$时,$y=10x$;当$x＞4$时,$y=6x+16$
(3) 文文在甲超市购买10千克苹果需付款$6×10+16=76$(元),文文在乙超市购买10千克苹果需付款$10×10×0.8=80$(元).$\because 76＜80$,$\therefore$ 文文在甲超市购买更划算
解析
【分析】
（1）先判断购买量是否达到优惠门槛：3千克不足4千克，直接按原价计算即可；5千克超过4千克，其中4千克按原价付款，超出的1千克按标价6折计算，两部分相加得到总付款。
（2）求函数表达式需分情况讨论：当购买量不超过4千克时，总付款=单价×购买量；当购买量超过4千克时，总付款=4千克的原价费用+超出部分的打折费用，分别整理即可得到分段函数。
（3）要判断哪家超市更划算，分别计算购买10千克苹果时在两个超市的付款金额，比较金额大小，金额更小的更划算。
【解析】
（1）购买3千克苹果，未超过4千克，需付款：$3×10=30$（元）；
购买5千克苹果，超过4千克，需付款：$4×10+(5-4)×10×0.6=40+6=46$（元）。
（2）分两种情况计算：
① 当$0≤ x≤4$时，按原价结算：$y=10x$；
② 当$x＞4$时，4千克按原价，超出部分打6折：
$y=4×10+(x-4)×10×0.6=40+6(x-4)=6x+16$。
综上可得$y$关于$x$的函数表达式。
（3）分别计算10千克苹果在两家超市的花费：
甲超市：$x=10＞4$，代入$y=6x+16$得$y=6×10+16=76$（元）；
乙超市：全部打8折，花费为$10×10×0.8=80$（元）。
因为$76＜80$，所以甲超市更划算。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30}$；$\boldsymbol{46}$
(2) $\boldsymbol{\begin{cases}y=10x &(0≤ x≤4) \\ y=6x+16 &(x＞4)\end{cases}}$
(3) $\boldsymbol{甲超市}$
【知识点】
分段函数，一次函数应用，方案优选
【点评】
本题结合生活促销场景考查函数的实际应用，解题核心是根据优惠规则准确划分自变量的取值范围，分情况计算对应函数值，是函数实际应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
（1）先判断购买量是否达到优惠门槛：3千克不足4千克，直接按原价计算即可；5千克超过4千克，其中4千克按原价付款，超出的1千克按标价6折计算，两部分相加得到总付款。
（2）求函数表达式需分情况讨论：当购买量不超过4千克时，总付款=单价×购买量；当购买量超过4千克时，总付款=4千克的原价费用+超出部分的打折费用，分别整理即可得到分段函数。
（3）要判断哪家超市更划算，分别计算购买10千克苹果时在两个超市的付款金额，比较金额大小，金额更小的更划算。
【解析】
（1）购买3千克苹果，未超过4千克，需付款：$3×10=30$（元）；
购买5千克苹果，超过4千克，需付款：$4×10+(5-4)×10×0.6=40+6=46$（元）。
（2）分两种情况计算：
① 当$0≤ x≤4$时，按原价结算：$y=10x$；
② 当$x＞4$时，4千克按原价，超出部分打6折：
$y=4×10+(x-4)×10×0.6=40+6(x-4)=6x+16$。
综上可得$y$关于$x$的函数表达式。
（3）分别计算10千克苹果在两家超市的花费：
甲超市：$x=10＞4$，代入$y=6x+16$得$y=6×10+16=76$（元）；
乙超市：全部打8折，花费为$10×10×0.8=80$（元）。
因为$76＜80$，所以甲超市更划算。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30}$；$\boldsymbol{46}$
(2) $\boldsymbol{\begin{cases}y=10x &(0≤ x≤4) \\ y=6x+16 &(x＞4)\end{cases}}$
(3) $\boldsymbol{甲超市}$
【知识点】
分段函数，一次函数应用，方案优选
【点评】
本题结合生活促销场景考查函数的实际应用，解题核心是根据优惠规则准确划分自变量的取值范围，分情况计算对应函数值，是函数实际应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
13 [2025姑苏区二模]甲、乙两电信公司提供了两种移动通信收费方式，他们各自的费用y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示。若通话时间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公司的方案便宜（
A.10元
B.11元
C.12元
D.13元
C
）A.10元
B.11元
C.12元
D.13元
答案
C 【解析】当$x≥120$时,设$y_甲=kx+b$($k,b$均为常数,且$k≠0$).将$(120,30)$,$(170,50)$代入$y_甲=kx+b$,得$\begin{cases}30=120k+b,\\50=170k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=0.4,\\b=-18,\end{cases}$ $\therefore y_甲=0.4x-18$;当$x≥200$时,设$y_乙=mx+n$($m,n$均为常数,且$m≠0$).将$(200,50)$,$(250,70)$代入$y_乙=mx+n$,得$\begin{cases}50=200m+n,\\70=250m+n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=0.4,\\n=-30,\end{cases}$ $\therefore y_乙=0.4x-30$.当$x＞200$时,$y_乙-y_甲=0.4x-30-(0.4x-18)=-12$,$\therefore$ 若通话时间超过200分钟,则乙公司的方案比甲公司的方案便宜12元.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先分别求出通话时间超过对应范围时，甲、乙两公司费用y关于通话时间x的函数解析式，再计算x＞200时两个函数的差值，即可得到乙公司比甲公司便宜的金额。第一步先处理甲公司的函数：观察图象可知，当x≥120时，甲的收费y是x的一次函数，图象过(120,30)和(170,50)两个点，可用待定系数法求出解析式；第二步处理乙公司的函数：当x≥200时，乙的收费y是x的一次函数，图象过(200,50)和(250,70)两个点，同样用待定系数法求解析式；第三步，将两个解析式作差，因为两个一次函数斜率相同，差值为常数，就是固定的差价。
【解析】
当$x≥120$时，设甲公司的费用解析式为$y_甲=kx+b$（$k,b$为常数，$k≠0$），
将点$(120,30)$、$(170,50)$代入得：
$\begin{cases}30=120k+b\\50=170k+b\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$b$，得$20=50k$，解得$k=0.4$，
把$k=0.4$代入$30=120k+b$，得$30=120×0.4 + b$，解得$b=-18$，
$\therefore y_甲=0.4x - 18$（$x≥120$）。
当$x≥200$时，设乙公司的费用解析式为$y_乙=mx+n$（$m,n$为常数，$m≠0$），
将点$(200,50)$、$(250,70)$代入得：
$\begin{cases}50=200m+n\\70=250m+n\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$n$，得$20=50m$，解得$m=0.4$，
把$m=0.4$代入$50=200m+n$，得$50=200×0.4 + n$，解得$n=-30$，
$\therefore y_乙=0.4x - 30$（$x≥200$）。
当$x＞200$时，计算两公司费用差：
$y_甲 - y_乙 = (0.4x - 18) - (0.4x - 30) = 12$（元），
即乙公司的方案比甲公司的方案便宜12元。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数的图象应用
【点评】
本题结合生活中的通讯收费场景，考查一次函数的实际应用，解题核心是从函数图象中提取有效坐标信息，正确运用待定系数法求出对应区间的函数解析式，再通过代数运算得到差价，能够很好地考查学生的读图能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要先分别求出通话时间超过对应范围时，甲、乙两公司费用y关于通话时间x的函数解析式，再计算x＞200时两个函数的差值，即可得到乙公司比甲公司便宜的金额。第一步先处理甲公司的函数：观察图象可知，当x≥120时，甲的收费y是x的一次函数，图象过(120,30)和(170,50)两个点，可用待定系数法求出解析式；第二步处理乙公司的函数：当x≥200时，乙的收费y是x的一次函数，图象过(200,50)和(250,70)两个点，同样用待定系数法求解析式；第三步，将两个解析式作差，因为两个一次函数斜率相同，差值为常数，就是固定的差价。
【解析】
当$x≥120$时，设甲公司的费用解析式为$y_甲=kx+b$（$k,b$为常数，$k≠0$），
将点$(120,30)$、$(170,50)$代入得：
$\begin{cases}30=120k+b\\50=170k+b\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$b$，得$20=50k$，解得$k=0.4$，
把$k=0.4$代入$30=120k+b$，得$30=120×0.4 + b$，解得$b=-18$，
$\therefore y_甲=0.4x - 18$（$x≥120$）。
当$x≥200$时，设乙公司的费用解析式为$y_乙=mx+n$（$m,n$为常数，$m≠0$），
将点$(200,50)$、$(250,70)$代入得：
$\begin{cases}50=200m+n\\70=250m+n\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$n$，得$20=50m$，解得$m=0.4$，
把$m=0.4$代入$50=200m+n$，得$50=200×0.4 + n$，解得$n=-30$，
$\therefore y_乙=0.4x - 30$（$x≥200$）。
当$x＞200$时，计算两公司费用差：
$y_甲 - y_乙 = (0.4x - 18) - (0.4x - 30) = 12$（元），
即乙公司的方案比甲公司的方案便宜12元。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数的图象应用
【点评】
本题结合生活中的通讯收费场景，考查一次函数的实际应用，解题核心是从函数图象中提取有效坐标信息，正确运用待定系数法求出对应区间的函数解析式，再通过代数运算得到差价，能够很好地考查学生的读图能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
