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9.「2026河北秦皇岛昌黎期中，★☆」如图，△ABC≌△ADE，连接BD，若∠CAE=90°，AB=2，则图中阴影部分的面积为
2
。答案
9.答案 2
解析
∵ △ABC≌△ADE,AB = 2,
∴ $S_{△ABC}=S_{△ADE}$,AD = AB = 2,∠BAC = ∠DAE,
∴ $S_{阴影部分}=S_{△BAD}$,∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC,
∴ ∠BAD = ∠CAE = 90°,
∴ $S_{△BAD}=\frac{1}{2}AB·AD=\frac{1}{2}×2×2=2$,
∴ $S_{阴影部分}=2$.
解析
∵ △ABC≌△ADE,AB = 2,
∴ $S_{△ABC}=S_{△ADE}$,AD = AB = 2,∠BAC = ∠DAE,
∴ $S_{阴影部分}=S_{△BAD}$,∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC,
∴ ∠BAD = ∠CAE = 90°,
∴ $S_{△BAD}=\frac{1}{2}AB·AD=\frac{1}{2}×2×2=2$,
∴ $S_{阴影部分}=2$.
10.「2026江苏苏州昆山月考，★☆」三个全等三角形按如图所示的方式摆放，若∠1=85°，则∠2+∠3=
95
°。答案
10.答案 95
解析 如图,
三个全等三角形中∠4+∠5+∠6 = 180°,围成的小三角形的外角和是 360°,即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 = 360°,∴ ∠1+∠2+∠3 = 360°-180° = 180°,
∴ ∠2+∠3 = 180°-∠1 = 180°-85° = 95°.
11. 如图所示, 在 $△ ABC$ 中, $△ ACD ≌ △ ECD$, $△ CEF ≌ △ BEF$, $∠ ACB=90°$.
(1)求证:$CD ⊥ AB$.
(2)求$∠ B$ 的度数.
(3)求证:$EF // AC$.
(1)求证:$CD ⊥ AB$.
(2)求$∠ B$ 的度数.
(3)求证:$EF // AC$.
答案
11.解析 (1)证明:
∵ △ACD≌△ECD,
∴ ∠ADC = ∠EDC.
∵ ∠ADC+∠EDC = 180°,
∴ ∠ADC = ∠EDC = 90°,
∴ CD⊥AB.
(2)设∠B = x°,
∵ △ACD≌△ECD,△CEF≌△BEF,
∴ ∠A = ∠CED,∠B = ∠BCE = x°,
∵ ∠A = ∠CED = ∠B+∠BCE = 2x°,∠A+∠B+∠ACB = 180°,∠ACB = 90°,
∴ 2x°+x°+90° = 180°,解得 x = 30,故∠B = 30°.
(3)证明:
∵ △CEF≌△BEF,
∴ ∠EFC = ∠EFB,
又
∵ ∠EFB+∠EFC = 180°,
∴ ∠EFB = 90°,
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠ACB = ∠EFB,
∴ EF//AC.
∵ △ACD≌△ECD,
∴ ∠ADC = ∠EDC.
∵ ∠ADC+∠EDC = 180°,
∴ ∠ADC = ∠EDC = 90°,
∴ CD⊥AB.
(2)设∠B = x°,
∵ △ACD≌△ECD,△CEF≌△BEF,
∴ ∠A = ∠CED,∠B = ∠BCE = x°,
∵ ∠A = ∠CED = ∠B+∠BCE = 2x°,∠A+∠B+∠ACB = 180°,∠ACB = 90°,
∴ 2x°+x°+90° = 180°,解得 x = 30,故∠B = 30°.
(3)证明:
∵ △CEF≌△BEF,
∴ ∠EFC = ∠EFB,
又
∵ ∠EFB+∠EFC = 180°,
∴ ∠EFB = 90°,
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠ACB = ∠EFB,
∴ EF//AC.
12. 核心 如图①, 在$Rt△ ABC$中, $∠ C=90°$, $BC=9\ \mathrm{cm}$, $AC=12\ \mathrm{cm}$, $AB=15\ \mathrm{cm}$, 现有一动点$P$, 从点$A$出发, 沿着三角形的边$AC\rightarrow CB\rightarrow BA$运动, 回到点$A$时停止, 速度为$3\ \mathrm{cm/s}$, 设运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)如图①, 当$t=$
(2)如图②, 在$△ DEF$中, $∠ E=90°$, $DE=4\ \mathrm{cm}$, $DF=5\ \mathrm{cm}$, $∠ D=∠ A$. 若在$△ ABC$的边上, 另外有一个动点$Q$, 与点$P$同时从点$A$出发, 沿着边$AB\rightarrow BC\rightarrow CA$运动, 回到点$A$时停止. 在两点运动过程中的某一时刻, 恰好使$△ APQ≌△ DEF$, 求点$Q$的运动速度.
(1)如图①, 当$t=$
$\frac{11}{2}$或$\frac{19}{2}$
时, $△ APC$的面积等于$△ ABC$面积的一半.(2)如图②, 在$△ DEF$中, $∠ E=90°$, $DE=4\ \mathrm{cm}$, $DF=5\ \mathrm{cm}$, $∠ D=∠ A$. 若在$△ ABC$的边上, 另外有一个动点$Q$, 与点$P$同时从点$A$出发, 沿着边$AB\rightarrow BC\rightarrow CA$运动, 回到点$A$时停止. 在两点运动过程中的某一时刻, 恰好使$△ APQ≌△ DEF$, 求点$Q$的运动速度.
答案
12.解析 (1)①如图1,
当点P在BC上时,若△APC的面积等于△ABC面积的一半,则$\frac{1}{2}AC·CP=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AC·CB$,∴ $CP=\frac{1}{2}BC=\frac{9}{2}$ cm,此时,点P移动的路程为$AC+CP=12+\frac{9}{2}=\frac{33}{2}$(cm),
∴ $3t=\frac{33}{2}$,
∴ $t=\frac{33}{2}÷3=\frac{11}{2}$.
②如图2,
当点P在BA上时,过点C作CD⊥AB于点D.若△APC的面积等于△ABC面积的一半,则$\frac{1}{2}AP·CD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB·CD$,∴ $AP=\frac{1}{2}AB=\frac{15}{2}$ cm,即点P为BA的中点,此时,点P移动的路程为$AC+CB+BP=12+9+\frac{15}{2}=\frac{57}{2}$(cm),
∴ $3t=\frac{57}{2}$,
∴ $t=\frac{57}{2}÷3=\frac{19}{2}$.
故答案为$\frac{11}{2}$或$\frac{19}{2}$.
(2)
∵ △APQ≌△DEF,
∴ 对应顶点为A与D,P与E,Q与F.
①当点P在AC上时,如图3,
此时AP = DE = 4 cm,AQ = DF = 5 cm,即点P移动的路程为AP = 4 cm,点Q移动的路程为AQ = 5 cm,
∴ 点Q移动的速度为$5÷(4÷3)=\frac{15}{4}$(cm/s).
②当点P在AB上时,如图4.
此时AP = DE = 4 cm,AQ = DF = 5 cm,∴ 点P移动的路程为AC+CB+BP = 32 cm,点Q移动的路程为AB+BC+CQ = 15+9+12-5 = 31(cm),
∴ 点Q移动的速度为$31÷(32÷3)=\frac{93}{32}$(cm/s).
综上,点Q的运动速度为$\frac{15}{4}$ cm/s 或$\frac{93}{32}$ cm/s.
