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1. 下列各数是不等式$x-1≥0$的解的是 （
A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
D
）A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断选项中的数是不是不等式的解，有两种常见思路：一是先求解不等式得到解集，再判断选项中的数是否在解集范围内；二是将每个选项的数值代入不等式，验证是否满足不等关系。本题两种方法都适用，先解不等式的方法更高效，我们可以先通过移项求出x的取值范围，再逐一比对选项即可。
【解析】
解法1：先解不等式$x-1≥0$，移项可得$x≥1$，即不等式的解集为所有大于等于1的数。
逐一核对选项：
A选项$-2＜1$，不满足条件，不是不等式的解；
B选项$-1＜1$，不满足条件，不是不等式的解；
C选项$0＜1$，不满足条件，不是不等式的解；
D选项$1=1$，满足$x≥1$，是不等式的解。
解法2：代入验证法
将各选项代入不等式左边的$x-1$，判断结果是否满足大于等于0：
A：$-2-1=-3＜0$，不满足$x-1≥0$，排除；
B：$-1-1=-2＜0$，不满足，排除；
C：$0-1=-1＜0$，不满足，排除；
D：$1-1=0≥0$，满足不等式，当选。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式求解、不等式的解的判定
【点评】
本题属于基础题型，考察对一元一次不等式的基础掌握，无论是先求解集再比对还是代入验证都能快速得出答案，熟练掌握移项解一元一次不等式的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要判断选项中的数是不是不等式的解，有两种常见思路：一是先求解不等式得到解集，再判断选项中的数是否在解集范围内；二是将每个选项的数值代入不等式，验证是否满足不等关系。本题两种方法都适用，先解不等式的方法更高效，我们可以先通过移项求出x的取值范围，再逐一比对选项即可。
【解析】
解法1：先解不等式$x-1≥0$，移项可得$x≥1$，即不等式的解集为所有大于等于1的数。
逐一核对选项：
A选项$-2＜1$，不满足条件，不是不等式的解；
B选项$-1＜1$，不满足条件，不是不等式的解；
C选项$0＜1$，不满足条件，不是不等式的解；
D选项$1=1$，满足$x≥1$，是不等式的解。
解法2：代入验证法
将各选项代入不等式左边的$x-1$，判断结果是否满足大于等于0：
A：$-2-1=-3＜0$，不满足$x-1≥0$，排除；
B：$-1-1=-2＜0$，不满足，排除；
C：$0-1=-1＜0$，不满足，排除；
D：$1-1=0≥0$，满足不等式，当选。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式求解、不等式的解的判定
【点评】
本题属于基础题型，考察对一元一次不等式的基础掌握，无论是先求解集再比对还是代入验证都能快速得出答案，熟练掌握移项解一元一次不等式的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.9
2. 下列由左到右的变形中,属于因式分解的是 （
A.$a(x + y) = ax + ay$
B.$10x^2 - 5x = 5x(2x + 1)$
C.$y^2 - 4y + 4 = (y - 2)^2$
D.$t^2 - 16 = (t + 8)(t - 8)$
C
）A.$a(x + y) = ax + ay$
B.$10x^2 - 5x = 5x(2x + 1)$
C.$y^2 - 4y + 4 = (y - 2)^2$
D.$t^2 - 16 = (t + 8)(t - 8)$
答案
2.C
解析
【分析】
解题核心是先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时要满足两个要求：①形式上：左边是多项式，右边是几个整式乘积的形式；②运算上：左右两边必须恒等，变形计算正确。我们只需按照这两个要求逐个分析选项即可得出答案。
【解析】
根据因式分解的定义逐一判断选项：
选项A：左边是整式乘积的形式，右边是多项式相加的形式，属于整式乘法，是因式分解的逆变形，不属于因式分解，不符合要求；
选项B：将右边展开得$5x(2x+1)=10x^2+5x$，和左边$10x^2-5x$不相等，运算错误，不符合要求；
选项C：左边$y^2-4y+4$是多项式，右边$(y-2)^2$是整式乘积的形式，且根据完全平方公式，左右两边恒等，完全符合因式分解的定义，符合要求；
选项D：将右边展开得$(t+8)(t-8)=t^2-64$，和左边$t^2-16$不相等，正确分解应为$t^2-16=(t+4)(t-4)$，运算错误，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法；公式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解的判断，解题时既要注意变形的形式是否符合因式分解的要求，也要验算左右两边是否相等，避免因运算粗心选错答案。
【难度系数】
0.8
解题核心是先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时要满足两个要求：①形式上：左边是多项式，右边是几个整式乘积的形式；②运算上：左右两边必须恒等，变形计算正确。我们只需按照这两个要求逐个分析选项即可得出答案。
【解析】
根据因式分解的定义逐一判断选项：
选项A：左边是整式乘积的形式，右边是多项式相加的形式，属于整式乘法，是因式分解的逆变形，不属于因式分解，不符合要求；
选项B：将右边展开得$5x(2x+1)=10x^2+5x$，和左边$10x^2-5x$不相等，运算错误，不符合要求；
选项C：左边$y^2-4y+4$是多项式，右边$(y-2)^2$是整式乘积的形式，且根据完全平方公式，左右两边恒等，完全符合因式分解的定义，符合要求；
选项D：将右边展开得$(t+8)(t-8)=t^2-64$，和左边$t^2-16$不相等，正确分解应为$t^2-16=(t+4)(t-4)$，运算错误，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法；公式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解的判断，解题时既要注意变形的形式是否符合因式分解的要求，也要验算左右两边是否相等，避免因运算粗心选错答案。
【难度系数】
0.8
3.若关于x的函数$y=(m-1)x^{|m|}-5$是一次函数，则m的值为（
A.$\pm1$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
B
）A.$\pm1$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
答案
3.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一次函数的核心判定条件：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数为一次函数，需要同时满足两个要求：一是自变量$x$的最高次数为1，二是$x$的系数不能为0。我们只要根据这两个条件分别列出关于$m$的式子，求解后筛选出同时满足两个条件的$m$值即可。
【解析】
解：$\because$ 函数$y=(m-1)x^{|m|}-5$是一次函数
$\therefore$ 需同时满足以下两个条件：
1. 自变量$x$的次数为1，即$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 一次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
综合两个条件可得，$m$只能取$-1$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的定义，绝对值的性质，不等式求解
【点评】
本题是一次函数定义的基础考查题，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的限制条件，误选A选项，解题时要注意把所有限制条件考虑完整，再筛选出符合要求的解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确一次函数的核心判定条件：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数为一次函数，需要同时满足两个要求：一是自变量$x$的最高次数为1，二是$x$的系数不能为0。我们只要根据这两个条件分别列出关于$m$的式子，求解后筛选出同时满足两个条件的$m$值即可。
【解析】
解：$\because$ 函数$y=(m-1)x^{|m|}-5$是一次函数
$\therefore$ 需同时满足以下两个条件：
1. 自变量$x$的次数为1，即$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 一次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
综合两个条件可得，$m$只能取$-1$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的定义，绝对值的性质，不等式求解
【点评】
本题是一次函数定义的基础考查题，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的限制条件，误选A选项，解题时要注意把所有限制条件考虑完整，再筛选出符合要求的解。
【难度系数】
0.6
4.若分式$\frac{x^2 -1}{x^2 -x}$的值为0，则x的值为 （
A.0
B.1
C.$-1$
D.$\pm1$
C
）A.0
B.1
C.$-1$
D.$\pm1$
答案
4.C
解析
【分析】
要确定使分式值为0的x的值，需牢记分式值为0的两个必备条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义），二者缺一不可。解题时先求解分子等于0时x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是正确结果。
【解析】
解：若分式的值为0，需同时满足两个条件：
1. 分子等于0：$x^2 -1 = 0$
因式分解得：$(x+1)(x-1)=0$
解得：$x=1$ 或 $x=-1$
2. 分母不等于0：$x^2 -x ≠ 0$
因式分解得：$x(x-1) ≠ 0$
即$x≠ 0$且$x≠ 1$
结合两个条件，舍去$x=1$，因此$x=-1$。
【答案】C
【知识点】分式值为0的条件；分式有意义的条件；解一元二次方程
【点评】本题是分式相关的典型基础题，易错点是解题时忽略分母不为0的限制，仅通过分子为0得出x=±1的错误结论，解题时要牢记分式相关问题首先要保证分式有意义。
【难度系数】
0.7
要确定使分式值为0的x的值，需牢记分式值为0的两个必备条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义），二者缺一不可。解题时先求解分子等于0时x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是正确结果。
【解析】
解：若分式的值为0，需同时满足两个条件：
1. 分子等于0：$x^2 -1 = 0$
因式分解得：$(x+1)(x-1)=0$
解得：$x=1$ 或 $x=-1$
2. 分母不等于0：$x^2 -x ≠ 0$
因式分解得：$x(x-1) ≠ 0$
即$x≠ 0$且$x≠ 1$
结合两个条件，舍去$x=1$，因此$x=-1$。
【答案】C
【知识点】分式值为0的条件；分式有意义的条件；解一元二次方程
【点评】本题是分式相关的典型基础题，易错点是解题时忽略分母不为0的限制，仅通过分子为0得出x=±1的错误结论，解题时要牢记分式相关问题首先要保证分式有意义。
【难度系数】
0.7
5. 化简$\frac{m-1}{m} ÷ \frac{m-1}{m^2}$的结果是（
A.$m-1$
B.$m$
C.$\frac{1}{m}$
D.$\frac{1}{m-1}$
B
）A.$m-1$
B.$m$
C.$\frac{1}{m}$
D.$\frac{1}{m-1}$
答案
5.B
解析
【分析】
要化简分式的除法运算，首先回忆分式除法的运算法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，将除法转化为乘法运算后，再对分子、分母中的公因式进行约分，即可得到最简结果。
【解析】
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，可得：
$\frac{m-1}{m} ÷ \frac{m-1}{m^2} = \frac{m-1}{m} × \frac{m^2}{m-1}$
其中$m≠0$且$m≠1$，保证原式有意义，观察分子分母的公因式为$m$和$m-1$，约去公因式后可得：
$\frac{\cancel{m-1}}{\cancel{m}} × \frac{m^{\cancel{2}}}{\cancel{m-1}} = m$
因此化简结果为$m$。
【答案】B
【知识点】分式的除法法则、分式的约分
【点评】本题是分式运算的基础题型，解题的核心是正确将分式除法转化为乘法，再准确找出公因式进行约分，运算时注意要保证原分式有意义，即分母不为0。
【难度系数】0.9
要化简分式的除法运算，首先回忆分式除法的运算法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，将除法转化为乘法运算后，再对分子、分母中的公因式进行约分，即可得到最简结果。
【解析】
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，可得：
$\frac{m-1}{m} ÷ \frac{m-1}{m^2} = \frac{m-1}{m} × \frac{m^2}{m-1}$
其中$m≠0$且$m≠1$，保证原式有意义，观察分子分母的公因式为$m$和$m-1$，约去公因式后可得：
$\frac{\cancel{m-1}}{\cancel{m}} × \frac{m^{\cancel{2}}}{\cancel{m-1}} = m$
因此化简结果为$m$。
【答案】B
【知识点】分式的除法法则、分式的约分
【点评】本题是分式运算的基础题型，解题的核心是正确将分式除法转化为乘法，再准确找出公因式进行约分，运算时注意要保证原分式有意义，即分母不为0。
【难度系数】0.9
6. 直线$y=2(x-1)$向下平移3个单位长度后得到的直线的解析式是（
A.$y=2x-8$
B.$y=3x-3$
C.$y=2x-5$
D.$y=2x-2$
C
）A.$y=2x-8$
B.$y=3x-3$
C.$y=2x-5$
D.$y=2x-2$
答案
6.C
解析
【分析】
本题考查一次函数的图象平移，解题思路如下：首先回忆一次函数图象的平移规律：上下平移时，斜率k不变，对函数整体进行“上加下减”（向上平移加，向下平移减）；左右平移时对自变量x进行“左加右减”。本题是向下平移3个单位，因此只需在原函数解析式的基础上整体减去3，再化简得到新的解析式，匹配选项即可。
【解析】
原直线的解析式为$y=2(x-1)$，根据一次函数平移“上加下减”的规则，向下平移3个单位后，新的解析式为：
$\begin{aligned}y&=2(x-1)-3\\&=2x-2-3\\&=2x-5\end{aligned}$
因此得到的直线解析式为$y=2x-5$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象平移规律；整式化简
【点评】
本题属于基础类题型，核心是熟练掌握一次函数的平移规则，要注意区分上下平移是对函数整体进行加减，左右平移是仅对自变量x进行加减，避免混淆规则导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数的图象平移，解题思路如下：首先回忆一次函数图象的平移规律：上下平移时，斜率k不变，对函数整体进行“上加下减”（向上平移加，向下平移减）；左右平移时对自变量x进行“左加右减”。本题是向下平移3个单位，因此只需在原函数解析式的基础上整体减去3，再化简得到新的解析式，匹配选项即可。
【解析】
原直线的解析式为$y=2(x-1)$，根据一次函数平移“上加下减”的规则，向下平移3个单位后，新的解析式为：
$\begin{aligned}y&=2(x-1)-3\\&=2x-2-3\\&=2x-5\end{aligned}$
因此得到的直线解析式为$y=2x-5$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象平移规律；整式化简
【点评】
本题属于基础类题型，核心是熟练掌握一次函数的平移规则，要注意区分上下平移是对函数整体进行加减，左右平移是仅对自变量x进行加减，避免混淆规则导致计算错误。
【难度系数】
0.8
7.某数学兴趣小组为了解本班学生一周课外阅读的时间，随机调查了5名学生，学生序号分别为1,2,3,4,5，并将所得数据整理如表：
表中有一个数字因被污染而模糊不清，但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差和中位数分别为（
A.2,6
B.1.5,4
C.2,4
D.6,6
表中有一个数字因被污染而模糊不清，但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差和中位数分别为（
A
）A.2,6
B.1.5,4
C.2,4
D.6,6
答案
7.A
解析
【分析】
要解决本题，首先需要利用已知的平均数求出被污染的未知数据，再将所有数据排序后确定中位数，最后根据方差公式计算方差，匹配选项即可。第一步：根据“平均数=数据总和÷数据个数”，列方程求出未知数据；第二步：将5个数据从小到大排列，处于最中间位置的数就是中位数；第三步：代入方差公式计算方差，对应选项得出答案。
【解析】
设被污染的数字为$ x $。
已知这组数据的平均数为6，数据共5个，根据平均数公式可得：
$\frac{7 + 5 + 4 + x + 8}{5} = 6$
先计算已知数据的和：$7+5+4+8=24$，代入得：
$\frac{24 + x}{5} = 6$
两边同乘5：$24 + x = 30$，解得$x=6$。
此时这组数据为：7、5、4、6、8，将数据从小到大排序为：4、5、6、7、8。
① 求中位数：共5个数据，中位数是排序后第3个数据，即6。
② 求方差：根据方差公式$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$（其中$\overline{x}$是平均数，$n$是数据个数），代入数据：
$S^2=\frac{1}{5}[(7-6)^2+(5-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2]$
$=\frac{1}{5}[1+1+4+0+4]$
$=\frac{10}{5}=2$
所以这组数据的方差是2，中位数是6，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均数计算，中位数计算，方差计算
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查三个常见统计量的计算方法，解题的突破口是先通过平均数求出缺失数据，只要掌握各统计量的定义和计算公式就能顺利求解，是统计部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要利用已知的平均数求出被污染的未知数据，再将所有数据排序后确定中位数，最后根据方差公式计算方差，匹配选项即可。第一步：根据“平均数=数据总和÷数据个数”，列方程求出未知数据；第二步：将5个数据从小到大排列，处于最中间位置的数就是中位数；第三步：代入方差公式计算方差，对应选项得出答案。
【解析】
设被污染的数字为$ x $。
已知这组数据的平均数为6，数据共5个，根据平均数公式可得：
$\frac{7 + 5 + 4 + x + 8}{5} = 6$
先计算已知数据的和：$7+5+4+8=24$，代入得：
$\frac{24 + x}{5} = 6$
两边同乘5：$24 + x = 30$，解得$x=6$。
此时这组数据为：7、5、4、6、8，将数据从小到大排序为：4、5、6、7、8。
① 求中位数：共5个数据，中位数是排序后第3个数据，即6。
② 求方差：根据方差公式$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$（其中$\overline{x}$是平均数，$n$是数据个数），代入数据：
$S^2=\frac{1}{5}[(7-6)^2+(5-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2]$
$=\frac{1}{5}[1+1+4+0+4]$
$=\frac{10}{5}=2$
所以这组数据的方差是2，中位数是6，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均数计算，中位数计算，方差计算
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查三个常见统计量的计算方法，解题的突破口是先通过平均数求出缺失数据，只要掌握各统计量的定义和计算公式就能顺利求解，是统计部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
8. 如图，一次函数$y=kx+b$与$y=-2x+1$的图象相交于点$P(a,3)$，则下列说法错误的是（
A.$k＞0$
B.$b＞0$
C.关于$x$的方程$kx+b=3$的解是$x=-1$
D.关于$x$的不等式$kx+b＜-2x+1$的解集是$x＜3$
D
）A.$k＞0$
B.$b＞0$
C.关于$x$的方程$kx+b=3$的解是$x=-1$
D.关于$x$的不等式$kx+b＜-2x+1$的解集是$x＜3$
答案
8.D
解析
【分析】
解题时首先利用交点P在已知直线$y=-2x+1$上，先求出P点的横坐标，得到P点完整坐标，再结合一次函数的图象性质，逐个分析每个选项的正误：
1. 先代入P点纵坐标到$y=-2x+1$，求解$a$的值，确定P点坐标；
2. 根据$y=kx+b$的图象走势判断$k$的符号，根据与y轴交点位置判断$b$的符号；
3. 结合一次函数与方程的关系，判断方程$kx+b=3$的解；
4. 结合图象，根据两个函数的上下位置关系判断不等式的解集，找出错误选项。
【解析】
第一步：求点P的坐标
∵ 点$P(a,3)$在直线$y=-2x+1$上，将$y=3$代入解析式得：
$3 = -2a + 1$
解得$a = -1$，即P点坐标为$(-1,3)$。
第二步：逐个分析选项
A选项：观察一次函数$y=kx+b$的图象，图象从左到右呈上升趋势，因此斜率$k＞0$，A说法正确，不符合题意；
B选项：$y=kx+b$的图象与y轴交于正半轴，因此截距$b＞0$，B说法正确，不符合题意；
C选项：关于x的方程$kx+b=3$的解，就是$y=kx+b$中函数值为3时对应的x的值，由P点坐标可知，此时$x=-1$，C说法正确，不符合题意；
D选项：不等式$kx+b＜-2x+1$的几何意义是：$y=kx+b$的图象位于$y=-2x+1$图象下方时对应的x的取值范围。观察图象，两直线交点横坐标为$x=-1$，当$x＜-1$时，$y=kx+b$的图象在$y=-2x+1$的下方，因此不等式的解集是$x＜-1$，不是$x＜3$，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数与一元一次方程；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数的综合应用题，结合数形结合思想，将一次函数的图象性质、方程的解、不等式的解集三者关联起来考查，解题的关键是先求出交点坐标，再结合图象逐一判断，熟练掌握一次函数的图象特点是解题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用交点P在已知直线$y=-2x+1$上，先求出P点的横坐标，得到P点完整坐标，再结合一次函数的图象性质，逐个分析每个选项的正误：
1. 先代入P点纵坐标到$y=-2x+1$，求解$a$的值，确定P点坐标；
2. 根据$y=kx+b$的图象走势判断$k$的符号，根据与y轴交点位置判断$b$的符号；
3. 结合一次函数与方程的关系，判断方程$kx+b=3$的解；
4. 结合图象，根据两个函数的上下位置关系判断不等式的解集，找出错误选项。
【解析】
第一步：求点P的坐标
∵ 点$P(a,3)$在直线$y=-2x+1$上，将$y=3$代入解析式得：
$3 = -2a + 1$
解得$a = -1$，即P点坐标为$(-1,3)$。
第二步：逐个分析选项
A选项：观察一次函数$y=kx+b$的图象，图象从左到右呈上升趋势，因此斜率$k＞0$，A说法正确，不符合题意；
B选项：$y=kx+b$的图象与y轴交于正半轴，因此截距$b＞0$，B说法正确，不符合题意；
C选项：关于x的方程$kx+b=3$的解，就是$y=kx+b$中函数值为3时对应的x的值，由P点坐标可知，此时$x=-1$，C说法正确，不符合题意；
D选项：不等式$kx+b＜-2x+1$的几何意义是：$y=kx+b$的图象位于$y=-2x+1$图象下方时对应的x的取值范围。观察图象，两直线交点横坐标为$x=-1$，当$x＜-1$时，$y=kx+b$的图象在$y=-2x+1$的下方，因此不等式的解集是$x＜-1$，不是$x＜3$，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数与一元一次方程；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数的综合应用题，结合数形结合思想，将一次函数的图象性质、方程的解、不等式的解集三者关联起来考查，解题的关键是先求出交点坐标，再结合图象逐一判断，熟练掌握一次函数的图象特点是解题的基础。
【难度系数】
0.7
