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1. 一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数叫作
二次函数
。其中x
是自变量，$a,b,c$分别是函数解析式中的二次项
系数、一次项
系数和常数项
。答案
二次函数 x 二次项 一次项 常数项
解析
【分析】
本题考查二次函数的基础定义，属于纯概念识记类题目，无需复杂推理计算。解题时只需回忆教材中二次函数的相关概念，先明确给定形式的函数名称，再确定对应的自变量，最后对应a、b、c的命名规则逐一填空即可。
【解析】
根据二次函数的标准定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数叫作二次函数。其中x是自变量，a对应最高次项$x^2$的系数，叫二次项系数；b对应$x$项的系数，叫一次项系数；c是不含未知数的常数，叫常数项。据此依次填入对应内容即可。
【答案】
二次函数 x 二次项 一次项 常数项
【知识点】
二次函数的概念，函数自变量，二次函数的项与系数
【点评】
本题是基础概念考查题，主要检验对二次函数核心定义的记忆情况，属于应知应会的送分类题目，日常学习中重视基础概念的识记就能轻松作答。
【难度系数】
0.95
本题考查二次函数的基础定义，属于纯概念识记类题目，无需复杂推理计算。解题时只需回忆教材中二次函数的相关概念，先明确给定形式的函数名称，再确定对应的自变量，最后对应a、b、c的命名规则逐一填空即可。
【解析】
根据二次函数的标准定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数叫作二次函数。其中x是自变量，a对应最高次项$x^2$的系数，叫二次项系数；b对应$x$项的系数，叫一次项系数；c是不含未知数的常数，叫常数项。据此依次填入对应内容即可。
【答案】
二次函数 x 二次项 一次项 常数项
【知识点】
二次函数的概念，函数自变量，二次函数的项与系数
【点评】
本题是基础概念考查题，主要检验对二次函数核心定义的记忆情况，属于应知应会的送分类题目，日常学习中重视基础概念的识记就能轻松作答。
【难度系数】
0.95
2. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的条件是
$a≠0$
，而 $ b,c $ 可以等于0
。答案
$a≠0$ 0
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要从二次函数的定义出发思考：二次函数的核心是最高次项为二次项，若二次项系数$a=0$，$x^2$项就会消失，函数就不再是二次函数，可能变为一次函数或者常数函数，因此$a$必须满足不等于0的条件；而一次项系数$b$和常数项$c$没有次数限制，无论取什么数值（包括0）都不会影响函数的二次属性，所以$b、c$可以等于0。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数）的函数叫做二次函数，其中必须保证二次项系数不为0，即$a\ne0$；此时即使$b=0$（函数变为$y=ax^2+c$）、$c=0$（函数变为$y=ax^2+bx$），甚至$b、c$同时为0（函数变为$y=ax^2$），函数最高次项仍然是二次项，都属于二次函数，因此$b、c$可以等于0。
【答案】
$a≠0$；0
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，重点考查对二次函数定义中隐含限制条件的掌握，牢记二次项系数不为0是解决这类概念题的关键。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们需要从二次函数的定义出发思考：二次函数的核心是最高次项为二次项，若二次项系数$a=0$，$x^2$项就会消失，函数就不再是二次函数，可能变为一次函数或者常数函数，因此$a$必须满足不等于0的条件；而一次项系数$b$和常数项$c$没有次数限制，无论取什么数值（包括0）都不会影响函数的二次属性，所以$b、c$可以等于0。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数）的函数叫做二次函数，其中必须保证二次项系数不为0，即$a\ne0$；此时即使$b=0$（函数变为$y=ax^2+c$）、$c=0$（函数变为$y=ax^2+bx$），甚至$b、c$同时为0（函数变为$y=ax^2$），函数最高次项仍然是二次项，都属于二次函数，因此$b、c$可以等于0。
【答案】
$a≠0$；0
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，重点考查对二次函数定义中隐含限制条件的掌握，牢记二次项系数不为0是解决这类概念题的关键。
【难度系数】
0.9
1. 下列函数:①$y=3x^2+\frac{2}{x}+1$;②$y=\frac{1}{6}x^2+5$;③$y=(x-3)^2 - x^2$;④$y=1+x-\sqrt{2}x^2$,属于二次函数的有 （
A.①②④
B.②③
C.②④
D.③④
C
）A.①②④
B.②③
C.②④
D.③④
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②化简后自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。接下来按标准逐个判断给出的函数：首先排除含有分式的非整式函数①；再将剩余函数化简，发现③化简后最高次数为1，属于一次函数，排除；最后验证②和④均满足二次函数的全部判定条件，即可选出正确选项。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，需满足是整式函数、自变量最高次数为2、二次项系数不为0三个条件。
逐个分析如下：
①$y=3x^2+\frac{2}{x}+1$：表达式中含分式$\frac{2}{x}$，不是整式函数，不属于二次函数；
②$y=\frac{1}{6}x^2+5$：满足二次函数的全部定义要求，属于二次函数；
③先化简：$y=(x-3)^2-x^2=x^2-6x+9-x^2=-6x+9$，化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不属于二次函数；
④$y=1+x-\sqrt{2}x^2$：满足二次函数的全部定义要求，属于二次函数。
综上，属于二次函数的是②④，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；整式的化简
【点评】
本题考查二次函数的判定，解题关键是熟练掌握二次函数的定义，注意需要先将函数表达式化简后再判断最高次数，避免直接观察未化简的式子造成误判，同时要注意二次函数必须是整式函数。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②化简后自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。接下来按标准逐个判断给出的函数：首先排除含有分式的非整式函数①；再将剩余函数化简，发现③化简后最高次数为1，属于一次函数，排除；最后验证②和④均满足二次函数的全部判定条件，即可选出正确选项。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，需满足是整式函数、自变量最高次数为2、二次项系数不为0三个条件。
逐个分析如下：
①$y=3x^2+\frac{2}{x}+1$：表达式中含分式$\frac{2}{x}$，不是整式函数，不属于二次函数；
②$y=\frac{1}{6}x^2+5$：满足二次函数的全部定义要求，属于二次函数；
③先化简：$y=(x-3)^2-x^2=x^2-6x+9-x^2=-6x+9$，化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不属于二次函数；
④$y=1+x-\sqrt{2}x^2$：满足二次函数的全部定义要求，属于二次函数。
综上，属于二次函数的是②④，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；整式的化简
【点评】
本题考查二次函数的判定，解题关键是熟练掌握二次函数的定义，注意需要先将函数表达式化简后再判断最高次数，避免直接观察未化简的式子造成误判，同时要注意二次函数必须是整式函数。
【难度系数】
0.8
2. 函数$y=(a-b)x^2+ax+b$是二次函数的条件为 （
A.$a,b$是常数，且$a≠0$
B.$a,b$是常数，且$a≠b$
C.$a,b$是常数，且$b≠0$
D.常数$a,b$不同时为0
B
）A.$a,b$是常数，且$a≠0$
B.$a,b$是常数，且$a≠b$
C.$a,b$是常数，且$b≠0$
D.常数$a,b$不同时为0
答案
B
解析
【分析】
要判断给定函数是否为二次函数，首先回忆二次函数的核心判定条件：一是函数为整式形式，二是最高次项为二次，即二次项系数不能为0。本题中函数已经是整式形式，因此只需找到二次项系数，令其不为0即可推导得出条件，再匹配对应选项。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=Ax^2+Bx+C$（$A、B、C$为常数，且$A≠0$）的函数叫做二次函数，要求二次项系数不为0。
题干中函数$y=(a-b)x^2+ax+b$的二次项系数为$a-b$，因此需满足：
$a-b≠0$，即$a≠ b$，且$a、b$为常数，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是基础概念类题型，解题的关键是抓住二次函数“二次项系数不为0”的核心要求，不要被一次项、常数项的系数干扰，避免错选其他选项。
【难度系数】
0.8
要判断给定函数是否为二次函数，首先回忆二次函数的核心判定条件：一是函数为整式形式，二是最高次项为二次，即二次项系数不能为0。本题中函数已经是整式形式，因此只需找到二次项系数，令其不为0即可推导得出条件，再匹配对应选项。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=Ax^2+Bx+C$（$A、B、C$为常数，且$A≠0$）的函数叫做二次函数，要求二次项系数不为0。
题干中函数$y=(a-b)x^2+ax+b$的二次项系数为$a-b$，因此需满足：
$a-b≠0$，即$a≠ b$，且$a、b$为常数，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是基础概念类题型，解题的关键是抓住二次函数“二次项系数不为0”的核心要求，不要被一次项、常数项的系数干扰，避免错选其他选项。
【难度系数】
0.8
3. 下列函数关系中，满足二次函数关系的是 （
A.圆的周长与圆的半径之间的关系
B.在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量的关系
C.圆柱的高一定时，圆柱的体积与底面半径的关系
D.距离一定时，汽车行驶的速度与时间之间的关系
C
）A.圆的周长与圆的半径之间的关系
B.在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量的关系
C.圆柱的高一定时，圆柱的体积与底面半径的关系
D.距离一定时，汽车行驶的速度与时间之间的关系
答案
C
解析
【分析】
要判断是否为二次函数，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数）的函数叫做二次函数。解题时先分别列出每个选项中两个变量的函数关系式，再对照各类函数的定义逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 设圆的周长为$C$，半径为$r$，则$C=2π r$，属于正比例函数（一次函数的特殊形式），不是二次函数；
B. 设在弹性限度内，弹簧长度为$y$，所挂物体质量为$x$，弹簧原长为$b$，劲度系数为$k$，则$y=kx+b$，属于一次函数，不是二次函数；
C. 设圆柱的高为定值$h$，体积为$V$，底面半径为$r$，由圆柱体积公式得$V=π r^2 h$，其中$π h$是不为0的常数，符合二次函数的形式，属于二次函数；
D. 设距离为定值$s$，行驶速度为$v$，时间为$t$，则$v=\frac{s}{t}$，属于反比例函数，不是二次函数。
综上，只有C选项符合二次函数关系。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的概念
2. 一次函数的概念
3. 反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是结合实际情境推导函数解析式，再对应函数定义判断类型，熟练掌握各类函数的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断是否为二次函数，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数）的函数叫做二次函数。解题时先分别列出每个选项中两个变量的函数关系式，再对照各类函数的定义逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 设圆的周长为$C$，半径为$r$，则$C=2π r$，属于正比例函数（一次函数的特殊形式），不是二次函数；
B. 设在弹性限度内，弹簧长度为$y$，所挂物体质量为$x$，弹簧原长为$b$，劲度系数为$k$，则$y=kx+b$，属于一次函数，不是二次函数；
C. 设圆柱的高为定值$h$，体积为$V$，底面半径为$r$，由圆柱体积公式得$V=π r^2 h$，其中$π h$是不为0的常数，符合二次函数的形式，属于二次函数；
D. 设距离为定值$s$，行驶速度为$v$，时间为$t$，则$v=\frac{s}{t}$，属于反比例函数，不是二次函数。
综上，只有C选项符合二次函数关系。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的概念
2. 一次函数的概念
3. 反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是结合实际情境推导函数解析式，再对应函数定义判断类型，熟练掌握各类函数的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 某超市1月份的营业额为200万元，2,3月份营业额的月平均增长率为x，求该超市第一季度营业额y(单位：万元)与x之间的函数关系式.
答案
$y=200+200(1+x)+200(1+x)^2$
解析
【分析】
要推导第一季度营业额y与增长率x的函数关系式，首先明确第一季度包含1、2、3三个月，总营业额为三个月营业额之和。已知1月营业额为200万元，根据平均增长率的计算规律：后一期的量=前一期的量×(1+增长率)，可依次求出2月、3月的营业额，最后将三个月营业额相加即可得到所求函数关系式。
【解析】
解：已知1月份营业额为200万元，2、3月份月平均增长率为x。
1. 求2月份营业额：2月营业额是在1月基础上增长x，因此2月营业额为$200(1+x)$万元；
2. 求3月份营业额：3月营业额是在2月基础上再增长x，因此3月营业额为$200(1+x) × (1+x) = 200(1+x)^2$万元；
3. 求第一季度总营业额：第一季度营业额为三个月营业额之和，因此$y = 200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2$。
【答案】
$y=200+200(1+x)+200(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率计算、根据实际问题列函数关系式、二次函数的概念
【点评】
本题属于平均增长率的基础应用题型，解题关键是理清不同时间段营业额的数量关系，易错点是容易漏加1月份的营业额，仅计算后两个月的营业额总和，掌握平均增长率的运算规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要推导第一季度营业额y与增长率x的函数关系式，首先明确第一季度包含1、2、3三个月，总营业额为三个月营业额之和。已知1月营业额为200万元，根据平均增长率的计算规律：后一期的量=前一期的量×(1+增长率)，可依次求出2月、3月的营业额，最后将三个月营业额相加即可得到所求函数关系式。
【解析】
解：已知1月份营业额为200万元，2、3月份月平均增长率为x。
1. 求2月份营业额：2月营业额是在1月基础上增长x，因此2月营业额为$200(1+x)$万元；
2. 求3月份营业额：3月营业额是在2月基础上再增长x，因此3月营业额为$200(1+x) × (1+x) = 200(1+x)^2$万元；
3. 求第一季度总营业额：第一季度营业额为三个月营业额之和，因此$y = 200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2$。
【答案】
$y=200+200(1+x)+200(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率计算、根据实际问题列函数关系式、二次函数的概念
【点评】
本题属于平均增长率的基础应用题型，解题关键是理清不同时间段营业额的数量关系，易错点是容易漏加1月份的营业额，仅计算后两个月的营业额总和，掌握平均增长率的运算规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
