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5. 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) $y=(2-x)(3+2x)$；
(2) $y=2x(x+1)$；
(3) $y=-\dfrac{1}{2}-\sqrt{2}x^2$；
(4) $y=(a^2+1)x^2-5x+3$。
(1) $y=(2-x)(3+2x)$；
(2) $y=2x(x+1)$；
(3) $y=-\dfrac{1}{2}-\sqrt{2}x^2$；
(4) $y=(a^2+1)x^2-5x+3$。
答案
(1) $y=-2x^2+x+6$ 二次项系数为$-2$,一次项系数为1,常数项为6
(2) $y=2x^2+2x$ 二次项系数为2,一次项系数为2,常数项为0
(3) 二次项系数为$-\sqrt{2}$,一次项系数为0,常数项为$-\dfrac{1}{2}$
(4) 二次项系数为$a^2+1$,一次项系数为$-5$,常数项为3
(2) $y=2x^2+2x$ 二次项系数为2,一次项系数为2,常数项为0
(3) 二次项系数为$-\sqrt{2}$,一次项系数为0,常数项为$-\dfrac{1}{2}$
(4) 二次项系数为$a^2+1$,一次项系数为$-5$,常数项为3
解析
【分析】
要确定二次函数的各项系数，首先需明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先将每个函数解析式通过整式乘法展开、整理为一般形式，再对应找出各项系数即可，注意若解析式中缺少某一项，该项的系数为0，同时要注意各项系数的符号不要写错。
【解析】
(1) 展开整理$y=(2-x)(3+2x)$：
$\begin{aligned}y&=2×3 + 2×2x - 3x - 2x^2\\&=6 + 4x - 3x - 2x^2\\&=-2x^2 + x + 6\end{aligned}$
可得二次项系数为$-2$，一次项系数为$1$，常数项为$6$。
(2) 展开整理$y=2x(x+1)$：
$y=2x^2 + 2x$
该式无常数项，可得二次项系数为$2$，一次项系数为$2$，常数项为$0$。
(3) 该式已经为一般形式$y=-\sqrt{2}x^2 + 0x - \frac{1}{2}$，无一次项，可得二次项系数为$-\sqrt{2}$，一次项系数为$0$，常数项为$-\frac{1}{2}$。
(4) 该式已经为一般形式，且$a^2+1＞0$符合二次项系数不为0的要求，可得二次项系数为$a^2+1$，一次项系数为$-5$，常数项为$3$。
【答案】
(1) $y=-2x^2+x+6$ 二次项系数为$-2$,一次项系数为1,常数项为6
(2) $y=2x^2+2x$ 二次项系数为2,一次项系数为2,常数项为0
(3) 二次项系数为$-\sqrt{2}$,一次项系数为0,常数项为$-\dfrac{1}{2}$
(4) 二次项系数为$a^2+1$,一次项系数为$-5$,常数项为3
【知识点】
二次函数的概念，整式的乘法运算，多项式的项与系数
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数各项系数的识别，解题的关键是先将函数解析式化为一般形式，需特别注意缺少某项时对应系数为0，以及各项系数的符号不要遗漏。
【难度系数】
0.85
要确定二次函数的各项系数，首先需明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先将每个函数解析式通过整式乘法展开、整理为一般形式，再对应找出各项系数即可，注意若解析式中缺少某一项，该项的系数为0，同时要注意各项系数的符号不要写错。
【解析】
(1) 展开整理$y=(2-x)(3+2x)$：
$\begin{aligned}y&=2×3 + 2×2x - 3x - 2x^2\\&=6 + 4x - 3x - 2x^2\\&=-2x^2 + x + 6\end{aligned}$
可得二次项系数为$-2$，一次项系数为$1$，常数项为$6$。
(2) 展开整理$y=2x(x+1)$：
$y=2x^2 + 2x$
该式无常数项，可得二次项系数为$2$，一次项系数为$2$，常数项为$0$。
(3) 该式已经为一般形式$y=-\sqrt{2}x^2 + 0x - \frac{1}{2}$，无一次项，可得二次项系数为$-\sqrt{2}$，一次项系数为$0$，常数项为$-\frac{1}{2}$。
(4) 该式已经为一般形式，且$a^2+1＞0$符合二次项系数不为0的要求，可得二次项系数为$a^2+1$，一次项系数为$-5$，常数项为$3$。
【答案】
(1) $y=-2x^2+x+6$ 二次项系数为$-2$,一次项系数为1,常数项为6
(2) $y=2x^2+2x$ 二次项系数为2,一次项系数为2,常数项为0
(3) 二次项系数为$-\sqrt{2}$,一次项系数为0,常数项为$-\dfrac{1}{2}$
(4) 二次项系数为$a^2+1$,一次项系数为$-5$,常数项为3
【知识点】
二次函数的概念，整式的乘法运算，多项式的项与系数
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数各项系数的识别，解题的关键是先将函数解析式化为一般形式，需特别注意缺少某项时对应系数为0，以及各项系数的符号不要遗漏。
【难度系数】
0.85
6. 已知$y=-2x^2 + kx(x-3)(k≠2)$。
（1）求证：y是x的二次函数；
（2）当$k=-2$时，写出y与x的函数关系式。
（1）求证：y是x的二次函数；
（2）当$k=-2$时，写出y与x的函数关系式。
答案
(1) 证明:根据题意,得$y=(k-2)x^2-3kx$.$\because k≠2,\therefore k-2≠0$,故此函数为二次函数.
(2) 当$k=-2$时,$y=-4x^2+6x$.
(2) 当$k=-2$时,$y=-4x^2+6x$.
解析
【分析】
（1）要证明y是x的二次函数，需先将给定的函数表达式展开、合并同类项，再根据二次函数的定义（形如$y=ax^2+bx+c$，其中$a、b、c$为常数且$a≠0$的函数是二次函数），验证二次项系数不为0即可，题目已给出$k≠2$，对应化简后的二次项系数即可完成证明。
（2）求$k=-2$时的函数关系式，只需将$k=-2$代入第（1）问化简后的函数表达式，计算合并同类项即可得到结果。
【解析】
（1）证明：对给定函数式展开合并同类项：
$\begin{aligned}y&=-2x^2 + kx(x-3)\\&=-2x^2 + kx^2 - 3kx\\&=(k-2)x^2 - 3kx\end{aligned}$
$\because k≠2$，$\therefore k-2≠0$，满足二次函数二次项系数不为0的要求，且函数最高次项为2次，因此y是x的二次函数。
（2）解：当$k=-2$时，代入化简后的函数式$y=(k-2)x^2 - 3kx$得：
$\begin{aligned}y&=(-2-2)x^2 - 3×(-2)x\\&=-4x^2 + 6x\end{aligned}$
【答案】
（1）证明成立，y是x的二次函数；（2）$y=-4x^2+6x$
【知识点】
二次函数的定义、整式化简、代入求值
【点评】
本题是二次函数概念的基础应用题，重点考查二次函数的判定条件，解题时需注意先化简函数式再判断二次项系数，代入求值时注意符号运算，是对基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.9
（1）要证明y是x的二次函数，需先将给定的函数表达式展开、合并同类项，再根据二次函数的定义（形如$y=ax^2+bx+c$，其中$a、b、c$为常数且$a≠0$的函数是二次函数），验证二次项系数不为0即可，题目已给出$k≠2$，对应化简后的二次项系数即可完成证明。
（2）求$k=-2$时的函数关系式，只需将$k=-2$代入第（1）问化简后的函数表达式，计算合并同类项即可得到结果。
【解析】
（1）证明：对给定函数式展开合并同类项：
$\begin{aligned}y&=-2x^2 + kx(x-3)\\&=-2x^2 + kx^2 - 3kx\\&=(k-2)x^2 - 3kx\end{aligned}$
$\because k≠2$，$\therefore k-2≠0$，满足二次函数二次项系数不为0的要求，且函数最高次项为2次，因此y是x的二次函数。
（2）解：当$k=-2$时，代入化简后的函数式$y=(k-2)x^2 - 3kx$得：
$\begin{aligned}y&=(-2-2)x^2 - 3×(-2)x\\&=-4x^2 + 6x\end{aligned}$
【答案】
（1）证明成立，y是x的二次函数；（2）$y=-4x^2+6x$
【知识点】
二次函数的定义、整式化简、代入求值
【点评】
本题是二次函数概念的基础应用题，重点考查二次函数的判定条件，解题时需注意先化简函数式再判断二次项系数，代入求值时注意符号运算，是对基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.9
1. 当$m=$
$-2$
时，$y=(m-2)x^{m^2 -2}$是二次函数。答案
$-2$
解析
【分析】
要判断给定函数为二次函数，需紧扣二次函数的定义，满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2；二是二次项的系数不能为0（否则函数会退化为常数函数，不再是二次函数）。解题时先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的解，即可得到正确的m值。
【解析】
根据二次函数的定义，可列条件如下：
1. 自变量x的次数满足：$m^2 - 2 = 2$
解方程得：$m^2=4$，即$m=2$或$m=-2$
2. 二次项系数不为0：$m-2≠0$，即$m≠2$
结合两个条件，舍去$m=2$，因此$m=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含限制，直接将解方程得到的$m=2$也作为答案，学习概念时要注意牢记定义中的所有约束条件。
【难度系数】
0.7
要判断给定函数为二次函数，需紧扣二次函数的定义，满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2；二是二次项的系数不能为0（否则函数会退化为常数函数，不再是二次函数）。解题时先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的解，即可得到正确的m值。
【解析】
根据二次函数的定义，可列条件如下：
1. 自变量x的次数满足：$m^2 - 2 = 2$
解方程得：$m^2=4$，即$m=2$或$m=-2$
2. 二次项系数不为0：$m-2≠0$，即$m≠2$
结合两个条件，舍去$m=2$，因此$m=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含限制，直接将解方程得到的$m=2$也作为答案，学习概念时要注意牢记定义中的所有约束条件。
【难度系数】
0.7
2. 下列函数中，是二次函数的有 （
① $y=x+\frac{1}{x}$；② $y=3(x-1)^2+2$；③ $y=(x+3)^2-2x^2$；④ $y=\frac{1}{x^2}+x$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）① $y=x+\frac{1}{x}$；② $y=3(x-1)^2+2$；③ $y=(x+3)^2-2x^2$；④ $y=\frac{1}{x^2}+x$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
要判断所给函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的判定标准：1.函数表达式是关于自变量的整式；2.自变量的最高次数为2；3.化简后二次项的系数不为0。接下来我们逐个对4个函数按上述标准验证即可得出结果。
【解析】
首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$，$a$、$b$、$c$为常数）的函数叫做二次函数，需满足整式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0三个条件。
对每个函数逐一判断：
①$y=x+\frac{1}{x}$：右侧含分式$\frac{1}{x}$，不是整式函数，不符合二次函数定义，不是二次函数；
②$y=3(x-1)^2+2$：展开化简得$y=3x^2-6x+5$，符合$y=ax^2+bx+c$（$a=3\ne0$），是二次函数；
③$y=(x+3)^2-2x^2$：展开化简得$y=x^2+6x+9-2x^2=-x^2+6x+9$，二次项系数为$-1\ne0$，符合二次函数定义，是二次函数；
④$y=\frac{1}{x^2}+x$：右侧含分式$\frac{1}{x^2}$，不是整式函数，不符合二次函数定义，不是二次函数。
综上，是二次函数的有②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数的定义 2.整式的概念
【点评】
本题主要考查二次函数的判定，解题的核心是牢记二次函数的三个判定条件，注意判断前要先将函数表达式化简为最简形式，避免因未化简导致判断错误，同时要注意含自变量在分母的分式函数不属于二次函数。
【难度系数】
0.7
要判断所给函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的判定标准：1.函数表达式是关于自变量的整式；2.自变量的最高次数为2；3.化简后二次项的系数不为0。接下来我们逐个对4个函数按上述标准验证即可得出结果。
【解析】
首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$，$a$、$b$、$c$为常数）的函数叫做二次函数，需满足整式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0三个条件。
对每个函数逐一判断：
①$y=x+\frac{1}{x}$：右侧含分式$\frac{1}{x}$，不是整式函数，不符合二次函数定义，不是二次函数；
②$y=3(x-1)^2+2$：展开化简得$y=3x^2-6x+5$，符合$y=ax^2+bx+c$（$a=3\ne0$），是二次函数；
③$y=(x+3)^2-2x^2$：展开化简得$y=x^2+6x+9-2x^2=-x^2+6x+9$，二次项系数为$-1\ne0$，符合二次函数定义，是二次函数；
④$y=\frac{1}{x^2}+x$：右侧含分式$\frac{1}{x^2}$，不是整式函数，不符合二次函数定义，不是二次函数。
综上，是二次函数的有②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数的定义 2.整式的概念
【点评】
本题主要考查二次函数的判定，解题的核心是牢记二次函数的三个判定条件，注意判断前要先将函数表达式化简为最简形式，避免因未化简导致判断错误，同时要注意含自变量在分母的分式函数不属于二次函数。
【难度系数】
0.7
3. 半径为3的圆，如果半径增加2x，则面积S与x之间的函数关系式为 （
A.$S=2π(x+3)^2$
B.$S=9π+x$
C.$S=4π x^2+12x+9$
D.$S=4π x^2+12π x+9π$
D
）A.$S=2π(x+3)^2$
B.$S=9π+x$
C.$S=4π x^2+12x+9$
D.$S=4π x^2+12π x+9π$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先明确圆的面积计算公式为$S=π r^2$，第一步先求出半径增加后的新半径：原半径为3，增加2x后新半径为$3+2x$；第二步将新半径代入面积公式，再利用完全平方公式展开化简，最后匹配选项即可得到正确答案。
【解析】
已知原圆半径为3，半径增加2x后，新的半径$r=3+2x$。
根据圆的面积公式$S=π r^2$，将新半径代入得：
$S=π(3+2x)^2$
利用完全平方公式展开$(3+2x)^2=9+12x+4x^2$，因此：
$S=π(4x^2+12x+9)=4π x^2+12π x+9π$
对应选项可知D正确。
【答案】
D
【知识点】
圆的面积公式；完全平方公式；列函数关系式
【点评】
本题结合几何图形面积考查函数关系式的列法，解题关键是准确表示出变化后的半径，展开计算时注意不要漏乘$π$，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确圆的面积计算公式为$S=π r^2$，第一步先求出半径增加后的新半径：原半径为3，增加2x后新半径为$3+2x$；第二步将新半径代入面积公式，再利用完全平方公式展开化简，最后匹配选项即可得到正确答案。
【解析】
已知原圆半径为3，半径增加2x后，新的半径$r=3+2x$。
根据圆的面积公式$S=π r^2$，将新半径代入得：
$S=π(3+2x)^2$
利用完全平方公式展开$(3+2x)^2=9+12x+4x^2$，因此：
$S=π(4x^2+12x+9)=4π x^2+12π x+9π$
对应选项可知D正确。
【答案】
D
【知识点】
圆的面积公式；完全平方公式；列函数关系式
【点评】
本题结合几何图形面积考查函数关系式的列法，解题关键是准确表示出变化后的半径，展开计算时注意不要漏乘$π$，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
4. 已知正方体的棱长为 $ x $ cm，它的表面积为 $ S $ cm²，体积为 $ V $ cm³.
（1）分别写出 $ S $ 与 $ x $，$ V $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
（2）这两个函数中，哪个是关于 $ x $ 的二次函数？
（1）分别写出 $ S $ 与 $ x $，$ V $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
（2）这两个函数中，哪个是关于 $ x $ 的二次函数？
答案
(1) $S=6x^2$ $V=x^3$
(2) $S=6x^2$ 是关于 $x$ 的二次函数
(2) $S=6x^2$ 是关于 $x$ 的二次函数
解析
【分析】
对于第(1)问，先回忆正方体的结构特征：正方体有6个完全相同的正方形面，体积为棱长的三次方，结合棱长为x，分别推导表面积S、体积V与x的关系式即可；对于第(2)问，先明确二次函数的定义：自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0的整式函数，再对比两个函数的自变量次数判断即可。
【解析】
(1) 正方体的每个面都是边长为x的正方形，单个面的面积为$x^2$，共有6个面，因此表面积$S = 6x^2$（$x＞0$）；
正方体的体积为棱长的三次方，因此体积$V = x · x · x = x^3$（$x＞0$）。
(2) 根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a ≠ 0$）的函数为二次函数，自变量的最高次数为2。
$S=6x^2$中x的最高次数为2，符合二次函数的定义；$V=x^3$中x的最高次数为3，不属于二次函数，因此$S=6x^2$是关于x的二次函数。
【答案】
(1) $S=6x^2$，$V=x^3$
(2) $S=6x^2$ 是关于 $x$ 的二次函数
【知识点】
正方体表面积与体积计算、二次函数的概念
【点评】
本题属于基础题，侧重考查基础公式的识记和二次函数定义的理解，只要熟练掌握相关基础内容即可快速解答。
【难度系数】
0.9
对于第(1)问，先回忆正方体的结构特征：正方体有6个完全相同的正方形面，体积为棱长的三次方，结合棱长为x，分别推导表面积S、体积V与x的关系式即可；对于第(2)问，先明确二次函数的定义：自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0的整式函数，再对比两个函数的自变量次数判断即可。
【解析】
(1) 正方体的每个面都是边长为x的正方形，单个面的面积为$x^2$，共有6个面，因此表面积$S = 6x^2$（$x＞0$）；
正方体的体积为棱长的三次方，因此体积$V = x · x · x = x^3$（$x＞0$）。
(2) 根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a ≠ 0$）的函数为二次函数，自变量的最高次数为2。
$S=6x^2$中x的最高次数为2，符合二次函数的定义；$V=x^3$中x的最高次数为3，不属于二次函数，因此$S=6x^2$是关于x的二次函数。
【答案】
(1) $S=6x^2$，$V=x^3$
(2) $S=6x^2$ 是关于 $x$ 的二次函数
【知识点】
正方体表面积与体积计算、二次函数的概念
【点评】
本题属于基础题，侧重考查基础公式的识记和二次函数定义的理解，只要熟练掌握相关基础内容即可快速解答。
【难度系数】
0.9
