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5. 某商场由于换季需要尽快减少库存，对原价256元的名牌西裤，连续两次降价，降价率为$ x $，这时售价为$ y $元.
(1) 求$ y $与$ x $之间的函数关系式；
(2) 上述函数是什么函数？
(3) 如果两次降价后售价为64元，那么降价率为多少？
(1) 求$ y $与$ x $之间的函数关系式；
(2) 上述函数是什么函数？
(3) 如果两次降价后售价为64元，那么降价率为多少？
答案
(1) $y=256(1-x)^2$
(2) 二次函数
(3) $50\%$
(2) 二次函数
(3) $50\%$
解析
【分析】
(1) 解决连续降价问题的思路为：先计算第一次降价后的价格，再以第一次降价后的价格为基数计算第二次降价后的价格，即可得到y与x的函数关系式；(2) 观察所得函数的最高次数，结合函数定义即可判断函数类型；(3) 将y=64代入(1)得到的函数关系式，解一元二次方程，再结合降价率的实际意义（0＜x＜1）舍去不符合要求的根，即可得到降价率。
【解析】
(1) 第一次降价后，西裤的售价为$256(1-x)$元；第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降价，因此两次降价后的售价为：
$y=256(1-x) · (1-x) = 256(1-x)^2$（$0＜x＜1$）。
(2) 将$y=256(1-x)^2$展开得$y=256x^2 - 512x + 256$，该函数最高次项为二次项，且二次项系数不为0，符合二次函数的定义，因此是二次函数。
(3) 当两次降价后售价为64元时，即$y=64$，代入函数关系式得：
$256(1-x)^2=64$
两边同时除以256，得$(1-x)^2=\frac{1}{4}$
开平方得$1-x=\pm \frac{1}{2}$
解得$x_1=1.5$，$x_2=0.5$
由于降价率$x$需满足$0＜x＜1$，因此舍去$x_1=1.5$，即$x=0.5=50\%$。
【答案】
(1) $y=256(1-x)^2$
(2) 二次函数
(3) $50\%$
【知识点】
降价率问题、二次函数的概念、解一元二次方程
【点评】
本题是结合实际生活的基础应用题，既考察了二次函数的识别，也考察了利用函数关系解决实际销售问题的能力，解题时需注意结合实际意义对所求根进行取舍，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.8
(1) 解决连续降价问题的思路为：先计算第一次降价后的价格，再以第一次降价后的价格为基数计算第二次降价后的价格，即可得到y与x的函数关系式；(2) 观察所得函数的最高次数，结合函数定义即可判断函数类型；(3) 将y=64代入(1)得到的函数关系式，解一元二次方程，再结合降价率的实际意义（0＜x＜1）舍去不符合要求的根，即可得到降价率。
【解析】
(1) 第一次降价后，西裤的售价为$256(1-x)$元；第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降价，因此两次降价后的售价为：
$y=256(1-x) · (1-x) = 256(1-x)^2$（$0＜x＜1$）。
(2) 将$y=256(1-x)^2$展开得$y=256x^2 - 512x + 256$，该函数最高次项为二次项，且二次项系数不为0，符合二次函数的定义，因此是二次函数。
(3) 当两次降价后售价为64元时，即$y=64$，代入函数关系式得：
$256(1-x)^2=64$
两边同时除以256，得$(1-x)^2=\frac{1}{4}$
开平方得$1-x=\pm \frac{1}{2}$
解得$x_1=1.5$，$x_2=0.5$
由于降价率$x$需满足$0＜x＜1$，因此舍去$x_1=1.5$，即$x=0.5=50\%$。
【答案】
(1) $y=256(1-x)^2$
(2) 二次函数
(3) $50\%$
【知识点】
降价率问题、二次函数的概念、解一元二次方程
【点评】
本题是结合实际生活的基础应用题，既考察了二次函数的识别，也考察了利用函数关系解决实际销售问题的能力，解题时需注意结合实际意义对所求根进行取舍，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.8
6. 已知 $ y $ 与 $ x^2 $ 成正比例，并且当 $ x=-1 $ 时，$ y=-3 $。
（1）求函数 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式；
（2）当 $ x=-4 $ 时，求 $ y $ 的值；
（3）当 $ y=-\dfrac{1}{3} $ 时，求 $ x $ 的值。
（1）求函数 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式；
（2）当 $ x=-4 $ 时，求 $ y $ 的值；
（3）当 $ y=-\dfrac{1}{3} $ 时，求 $ x $ 的值。
答案
(1) $y=-3x^2$
(2) $-48$
(3) $\pm\dfrac{1}{3}$
(2) $-48$
(3) $\pm\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
（1）已知$y$与$x^2$成正比例，根据正比例关系的定义，可设函数表达式为$y=kx^2$（$k≠0$，$k$为常数），再将$x=-1$、$y=-3$代入表达式，即可求出$k$的值，进而得到$y$与$x$的函数关系式；
（2）将$x=-4$直接代入第（1）问求出的函数关系式，计算即可得到对应的$y$值；
（3）将$y=-\dfrac{1}{3}$代入函数关系式，得到关于$x$的一元二次方程，解方程即可求出$x$的值，注意平方等于正数的数有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
（1）$\because y$与$x^2$成正比例
$\therefore$设$y=kx^2$（$k≠0$，$k$为常数）
将$x=-1$，$y=-3$代入解析式得：
$-3=k·(-1)^2$
解得$k=-3$
$\therefore y$与$x$的函数关系式为$y=-3x^2$
（2）将$x=-4$代入$y=-3x^2$得：
$y=-3×(-4)^2=-3×16=-48$
（3）将$y=-\dfrac{1}{3}$代入$y=-3x^2$得：
$-\dfrac{1}{3}=-3x^2$
两边同时除以$-3$得：$x^2=\dfrac{1}{9}$
开平方得：$x=\pm\dfrac{1}{3}$
【答案】
(1) $y=-3x^2$
(2) $-48$
(3) $\pm\dfrac{1}{3}$
【知识点】
正比例关系，待定系数法，一元二次方程求解
【点评】
本题属于函数基础题型，重点考查对正比例关系的理解，以及用待定系数法求函数解析式的方法，解题时注意求解未知数的平方等于正数时，解有正负两个，避免漏解。
【难度系数】
0.85
（1）已知$y$与$x^2$成正比例，根据正比例关系的定义，可设函数表达式为$y=kx^2$（$k≠0$，$k$为常数），再将$x=-1$、$y=-3$代入表达式，即可求出$k$的值，进而得到$y$与$x$的函数关系式；
（2）将$x=-4$直接代入第（1）问求出的函数关系式，计算即可得到对应的$y$值；
（3）将$y=-\dfrac{1}{3}$代入函数关系式，得到关于$x$的一元二次方程，解方程即可求出$x$的值，注意平方等于正数的数有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
（1）$\because y$与$x^2$成正比例
$\therefore$设$y=kx^2$（$k≠0$，$k$为常数）
将$x=-1$，$y=-3$代入解析式得：
$-3=k·(-1)^2$
解得$k=-3$
$\therefore y$与$x$的函数关系式为$y=-3x^2$
（2）将$x=-4$代入$y=-3x^2$得：
$y=-3×(-4)^2=-3×16=-48$
（3）将$y=-\dfrac{1}{3}$代入$y=-3x^2$得：
$-\dfrac{1}{3}=-3x^2$
两边同时除以$-3$得：$x^2=\dfrac{1}{9}$
开平方得：$x=\pm\dfrac{1}{3}$
【答案】
(1) $y=-3x^2$
(2) $-48$
(3) $\pm\dfrac{1}{3}$
【知识点】
正比例关系，待定系数法，一元二次方程求解
【点评】
本题属于函数基础题型，重点考查对正比例关系的理解，以及用待定系数法求函数解析式的方法，解题时注意求解未知数的平方等于正数时，解有正负两个，避免漏解。
【难度系数】
0.85
7. 某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；若销售单价每涨1元，则月销售量下降10千克，针对这种水产品的销售情况，请探索以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售利润为多少元？
（2）设月销售单价为每千克$ x $元，月销售利润为$ y $元，写出$ y $与$ x $之间的函数关系式。
（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售利润为多少元？
（2）设月销售单价为每千克$ x $元，月销售利润为$ y $元，写出$ y $与$ x $之间的函数关系式。
答案
(1) 当销售单价定为每千克55元时,则每月少售出这种水产品$(55-50)×10$千克,即可售出$[500-(55-50)×10]$千克,$\therefore$月销售利润为$[500-(55-50)×10]×(55-40)=6750$(元).
(2) 当销售单价为每千克$x(x≥50)$元时,则每月少售出这种水产品$(x-50)×10$千克,即可售出$[500-(x-50)×10]$千克,$\therefore y=[500-(x-50)×10]×(x-40)$,即$y=-10x^2+1400x-40000(x≥50)$.
(2) 当销售单价为每千克$x(x≥50)$元时,则每月少售出这种水产品$(x-50)×10$千克,即可售出$[500-(x-50)×10]$千克,$\therefore y=[500-(x-50)×10]×(x-40)$,即$y=-10x^2+1400x-40000(x≥50)$.
解析
【分析】
解决本题的核心是牢记“销售总利润=单件利润×销售量”这一基本等量关系。对于第(1)问，先根据单价上涨的金额计算出减少的销售量，得到当前实际销售量，再算出单件利润，两者相乘即可得到月销售利润；对于第(2)问，用含x的代数式分别表示出单件利润和对应销售量，代入等量关系后整理为函数关系式即可，注意标注x的取值范围。
【解析】
(1) 当销售单价定为每千克55元时，每月少售出的水产品重量为$(55-50)×10=50$千克，实际月销售量为$500-50=450$千克，每千克利润为$55-40=15$元，因此月销售利润为：
$450×15=6750$（元）
(2) 当销售单价为每千克$x(x≥50)$元时，每月少售出的水产品重量为$(x-50)×10$千克，实际月销售量为$500-(x-50)×10=1000-10x$千克，每千克利润为$(x-40)$元，因此月销售利润y为：
$y=(1000-10x)(x-40)$
展开整理得：$y=-10x^2+1400x-40000(x≥50)$
【答案】
(1) $\boxed{6750}$元；
(2) $\boxed{y=-10x^2+1400x-40000(x≥50)}$
【知识点】
销售利润计算，列函数关系式，二次函数解析式确定
【点评】
本题是典型的销售类函数应用问题，解题关键是准确梳理销售单价变化与销售量变化的对应关系，结合利润的基本计算公式列式求解，这类题型是函数实际应用的常考类型，熟练掌握基础等量关系即可快速解答。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是牢记“销售总利润=单件利润×销售量”这一基本等量关系。对于第(1)问，先根据单价上涨的金额计算出减少的销售量，得到当前实际销售量，再算出单件利润，两者相乘即可得到月销售利润；对于第(2)问，用含x的代数式分别表示出单件利润和对应销售量，代入等量关系后整理为函数关系式即可，注意标注x的取值范围。
【解析】
(1) 当销售单价定为每千克55元时，每月少售出的水产品重量为$(55-50)×10=50$千克，实际月销售量为$500-50=450$千克，每千克利润为$55-40=15$元，因此月销售利润为：
$450×15=6750$（元）
(2) 当销售单价为每千克$x(x≥50)$元时，每月少售出的水产品重量为$(x-50)×10$千克，实际月销售量为$500-(x-50)×10=1000-10x$千克，每千克利润为$(x-40)$元，因此月销售利润y为：
$y=(1000-10x)(x-40)$
展开整理得：$y=-10x^2+1400x-40000(x≥50)$
【答案】
(1) $\boxed{6750}$元；
(2) $\boxed{y=-10x^2+1400x-40000(x≥50)}$
【知识点】
销售利润计算，列函数关系式，二次函数解析式确定
【点评】
本题是典型的销售类函数应用问题，解题关键是准确梳理销售单价变化与销售量变化的对应关系，结合利润的基本计算公式列式求解，这类题型是函数实际应用的常考类型，熟练掌握基础等量关系即可快速解答。
【难度系数】
0.7
