课前预习
基础知识
一元二次方程根的判别式
(1)一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式的概念：我们把代数式叫作一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式，通常用表示，即；
(2)一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的情况一般有以下结论：
当$\Delta＞0$时，有实数根；
当$\Delta=0$时，有实数根；
当$\Delta＜0$时，实数根。
反之，上述结论也成立。
(3)使用根的判别式时，一定要先把一元二次方程化成的形式，以便正确找出$a,b,c$。
困惑疑问：

(1) $b^2-4ac$，$\Delta$，$\Delta=b^2-4ac$
(2) 两个不相等的，两个相等的，没有
(3) $ax^2+bx+c=0$

【分析】
这道题考查一元二次方程根的判别式的基础概念，我们只需回忆教材对应的定义内容逐一填空即可。首先回忆判别式的定义：它是由一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项构成的特殊代数式；接着回忆判别式取值和方程实根个数的对应关系；最后明确使用判别式的前提是要把方程整理为标准形式，才能准确提取系数a、b、c。
【解析】
(1) 按照根的判别式的定义，我们把代数式$b^2-4ac$叫作一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式，通常用希腊字母$\Delta$表示，即$\Delta=b^2-4ac$；
(2) 结合判别式和实根的对应规律：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根；
(3) 为了准确找出系数a、b、c，使用根的判别式前，需要先把一元二次方程化成一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$。
【答案】
(1) $b^2-4ac$，$\Delta$，$\Delta=b^2-4ac$
(2) 两个不相等的，两个相等的，没有
(3) $ax^2+bx+c=0$
【知识点】
根的判别式定义，判别式与根的关系，一元二次方程一般式
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查根的判别式相关的基础概念，熟练掌握这些内容是后续运用判别式解决一元二次方程各类问题的基础。
【难度系数】
0.9

思考 不解方程想要知道一元二次方程根的情况，应该怎么办？

先将方程转化为一般形式,找出$a,b,c$,求$b^2-4ac$的值并判断它的正负。

【分析】
要不解方程判断一元二次方程的根的情况，首先回忆已学的相关结论：一元二次方程根的情况与判别式的取值直接相关。要使用判别式，首先要保证方程是标准的一般形式，才能准确提取二次项系数a、一次项系数b、常数项c，之后计算判别式的值，通过判别式的正负就能判断根的情况。
【解析】
①首先将待判断的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）；
②从整理后的一般形式中，准确找出对应的值：二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$（注意要带上各项的符号）；
③计算根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的具体值；
④根据$\Delta$的正负即可判断根的情况：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程没有实数根。
【答案】
先将方程转化为一般形式,找出$a,b,c$,求$b^2-4ac$的值并判断它的正负。
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础用法，是判断方程根的情况的核心方法，需熟练掌握判别式的使用前提和判断规则，为后续解一元二次方程、解决根的相关问题打好基础。
【难度系数】
0.8

1. 一元二次方程$2x^2 +5x +6=0$的根的情况是()。

A.无实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.不能判定

1.A

【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式Δ=b²-4ac求解。解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0（a≠0），从题干给出的方程中找出对应的a（二次项系数）、b（一次项系数）、c（常数项）；第二步，将a、b、c的值代入判别式公式计算Δ的结果；第三步，根据Δ的取值判断根的情况：Δ＞0对应两个不相等的实数根，Δ=0对应两个相等的实数根，Δ＜0对应无实数根，最终匹配选项得到答案。
【解析】
解：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），对应方程$2x^2 +5x +6=0$，可得：
$a=2$，$b=5$，$c=6$
代入根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$得：
$\Delta = 5^2 - 4×2×6 = 25 - 48 = -23$
$\because \Delta = -23 ＜ 0$
$\therefore$ 该一元二次方程无实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是准确提取方程中各项的系数，正确计算判别式的数值。
【难度系数】
0.9

2.方程$(x+3)(x-1)=x-4$的根的情况是()。

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.不能判定

2.C

【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式Δ=b²-4ac，解题步骤为：首先将原方程通过去括号、移项、合并同类项整理为一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0），再确定a、b、c的取值，代入判别式计算Δ的值，最后根据Δ的符号判断根的情况：Δ＞0时有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时无实数根。
【解析】
第一步：整理原方程为一般形式
先展开方程左边：$(x+3)(x-1)=x^2+2x-3$
原方程可化为：$x^2+2x-3=x-4$
移项、合并同类项得：$x^2+x+1=0$
第二步：计算根的判别式
该方程中$a=1$，$b=1$，$c=1$
代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$得：
$\Delta=1^2-4×1×1=1-4=-3$
第三步：判断根的情况
因为$\Delta=-3＜0$，所以该方程无实数根。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题的核心是先将方程正确整理为标准一般形式，计算判别式时要注意系数的符号，避免移项、计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.7

3.若关于$x$的方程$2x^2 + x - a = 0$有两个不相等的实数根，则实数$a$的取值范围是。

3.$a＞-\frac{1}{8}$

【分析】
看到一元二次方程有两个不相等的实数根，首先联想到一元二次方程根的个数与判别式的对应关系：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，当$\Delta=B^2-4AC＞0$时，方程有两个不相等的实数根。接下来我们只需确定题中方程的各项系数，代入判别式得到关于参数$a$的不等式，解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：题中方程为一元二次方程，二次项系数$2≠0$，符合一元二次方程的定义。
将方程$2x^2 + x - a = 0$与一般形式$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$对应，可得：$A=2$，$B=1$，$C=-a$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta＞0$，即：
$\begin{aligned}B^2-4AC&＞0\\1^2 - 4×2×(-a) &＞ 0\\1 + 8a &＞ 0\\8a &＞ -1\\a &＞ -\frac{1}{8}\end{aligned}$
【答案】
$a＞-\frac{1}{8}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需准确识别方程各项的系数，尤其注意常数项的符号，避免代入计算时出错。
【难度系数】
0.8

1. 下列一元二次方程没有实数根的是()。

A.$x^2 + 2x + 1 = 0$
B.$x^2 + x + 2 = 0$
C.$x^2 - 1 = 0$
D.$x^2 - 2x - 1 = 0$

1.B

【分析】
判断一元二次方程是否有实数根，核心依据是根的判别式的符号：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时方程没有实数根。解题时先确定每个选项中方程的$a$、$b$、$c$的值，再分别计算$\Delta$的大小，找出$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
明确判断规则：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，$\Delta＜0$时方程无实数根，逐个计算各选项的$\Delta$：
选项A：方程$x^2+2x+1=0$中，$a=1,b=2,c=1$，$\Delta=2^2-4×1×1=0$，有两个相等的实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2+x+2=0$中，$a=1,b=1,c=2$，$\Delta=1^2-4×1×2=-7＜0$，没有实数根，符合要求；
选项C：方程$x^2-1=0$中，$a=1,b=0,c=-1$，$\Delta=0^2-4×1×(-1)=4＞0$，有两个不相等的实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2-2x-1=0$中，$a=1,b=-2,c=-1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×(-1)=8＞0$，有两个不相等的实数根，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
根的判别式，一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查利用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况，熟练掌握判别式与根的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2.已知关于$x$的方程$x^2+(k+3)x+k+2=0$,则下列说法正确的是()。

A.不存在$k$的值,使得方程有两个相等的实数解
B.至少存在一个$k$值,使得方程没有实数解
C.无论$k$为何值,方程总有实数解
D.无论$k$为何值,方程都有两个不相等的实数解

2.C

【分析】要判断一元二次方程根的情况，需借助根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。解题时先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式化简，再根据化简结果的符号逐一分析选项即可。
【解析】对于一元二次方程$x^2+(k+3)x+k+2=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=k+3$，常数项$c=k+2$。
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (k+3)^2 - 4×1×(k+2)$
展开化简得：
$\Delta = k^2 + 6k + 9 - 4k - 8 = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$
因为任何数的平方都是非负数，所以$(k+1)^2 ≥ 0$，即$\Delta ≥ 0$恒成立。
逐一分析选项：
A选项：当$\Delta=0$即$k=-1$时，方程有两个相等的实数解，故A错误；
B选项：因为$\Delta≥0$恒成立，不存在$k$值使得方程没有实数解，故B错误；
C选项：因为$\Delta≥0$恒成立，所以无论$k$为何值，方程总有实数解，故C正确；
D选项：当$k=-1$时$\Delta=0$，方程有两个相等的实数解，故D错误。
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式；完全平方的非负性
【点评】本题核心是利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是正确化简判别式，结合平方的非负性确定判别式的取值范围，是根的判别式应用的典型基础题。
【难度系数】0.8