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1.(2025·宿迁泗阳期中)用配方法解方程$x^2+8x+7=0$，则配方正确的是（
A.$(x+4)^2=9$
B.$(x-4)^2=9$
C.$(x-8)^2=16$
D.$(x+8)^2=57$
A
）A.$(x+4)^2=9$
B.$(x-4)^2=9$
C.$(x-8)^2=16$
D.$(x+8)^2=57$
答案
1.A
解析
【分析】
要解决用配方法解方程的配方问题，首先回忆配方法的基本步骤：对于二次项系数为1的一元二次方程，第一步先把常数项移到等号右侧；第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，再整理得到配方后的式子，最后和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
解：首先对原方程进行移项，将常数项7移到等号右边，得：
$x^2 + 8x = -7$
接下来进行配方，一次项系数为8，它的一半是4，平方为$4^2=16$，在等号两边同时加上16：
$x^2 + 8x + 16 = -7 + 16$
左边利用完全平方公式可以写成$(x+4)^2$，右边计算得9，即：
$(x+4)^2 = 9$
对比选项可知A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，解题关键是熟练掌握配方法的操作步骤，特别注意配方时所加常数是一次项系数一半的平方，同时要注意完全平方式的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
要解决用配方法解方程的配方问题，首先回忆配方法的基本步骤：对于二次项系数为1的一元二次方程，第一步先把常数项移到等号右侧；第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，再整理得到配方后的式子，最后和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
解：首先对原方程进行移项，将常数项7移到等号右边，得：
$x^2 + 8x = -7$
接下来进行配方，一次项系数为8，它的一半是4，平方为$4^2=16$，在等号两边同时加上16：
$x^2 + 8x + 16 = -7 + 16$
左边利用完全平方公式可以写成$(x+4)^2$，右边计算得9，即：
$(x+4)^2 = 9$
对比选项可知A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，解题关键是熟练掌握配方法的操作步骤，特别注意配方时所加常数是一次项系数一半的平方，同时要注意完全平方式的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
2.用配方法解方程$x^2 -6x +1=0$时，将方程化为$(x-3)^2=a$的形式，则$a$的值是（
A.8
B.9
C.10
D.12
A
）A.8
B.9
C.10
D.12
答案
2.A
解析
【分析】
本题考查配方法在一元二次方程变形中的应用，解题思路为：先将原方程的常数项移到等号右侧，再根据完全平方公式的结构特征，在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧化为完全平方式，此时等号右侧的常数即为所求的a的值。
【解析】
解：使用配方法对原方程进行变形：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 6x = -1$；
2. 配方：一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，在等号两边同时加9，得$x^2 - 6x + 9 = -1 + 9$；
3. 写成完全平方形式：左侧可化为$(x-3)^2$，右侧计算得$8$，即$(x-3)^2=8$。
对比$(x-3)^2=a$的形式，可得$a=8$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的核心，需注意配方时要在方程左右两边同时加上相同的数，避免只改变单侧导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法在一元二次方程变形中的应用，解题思路为：先将原方程的常数项移到等号右侧，再根据完全平方公式的结构特征，在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧化为完全平方式，此时等号右侧的常数即为所求的a的值。
【解析】
解：使用配方法对原方程进行变形：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 6x = -1$；
2. 配方：一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，在等号两边同时加9，得$x^2 - 6x + 9 = -1 + 9$；
3. 写成完全平方形式：左侧可化为$(x-3)^2$，右侧计算得$8$，即$(x-3)^2=8$。
对比$(x-3)^2=a$的形式，可得$a=8$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的核心，需注意配方时要在方程左右两边同时加上相同的数，避免只改变单侧导致计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 在横线上填上适当的数,使下列等式成立:
(1)$x^2 +4x + \_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$;
(2)$x^2 - \dfrac{4}{3}x + \_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$.
(1)$x^2 +4x + \_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$;
(2)$x^2 - \dfrac{4}{3}x + \_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$.
答案
3.(1)4 2 (2)$\dfrac{4}{9}$ $\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
本题考查配方法构造完全平方式，解题核心是牢记完全平方公式的结构特征：对于形如$x^2+bx$的二次二项式，配成完全平方式需要添加的常数项是一次项系数$b$一半的平方，即$(\frac{b}{2})^2$，配方后得到$(x+\frac{b}{2})^2$，解题时需注意一次项系数的符号要和完全平方式内的符号对应，先找到每道小题的一次项系数，计算其一半的数值，再求平方即可得到需要填写的常数项。
【解析】
根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$分步求解：
(1) 式子中二次项为$x^2$，一次项系数为4，一次项系数的一半为$4÷2=2$，需要添加的常数项为$2^2=4$，因此$x^2+4x+4=(x+2)^2$；
(2) 式子中二次项为$x^2$，一次项系数为$-\frac{4}{3}$，一次项系数的一半为$-\frac{4}{3}÷2=-\frac{2}{3}$，需要添加的常数项为$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，因此$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=(x-\frac{2}{3})^2$。
【答案】
(1)4，2；(2)$\dfrac{4}{9}$，$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，重点考查对完全平方公式结构的理解与运用，熟练掌握“常数项是一次项系数一半的平方”这一规律即可快速解题，是后续用配方法求解一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法构造完全平方式，解题核心是牢记完全平方公式的结构特征：对于形如$x^2+bx$的二次二项式，配成完全平方式需要添加的常数项是一次项系数$b$一半的平方，即$(\frac{b}{2})^2$，配方后得到$(x+\frac{b}{2})^2$，解题时需注意一次项系数的符号要和完全平方式内的符号对应，先找到每道小题的一次项系数，计算其一半的数值，再求平方即可得到需要填写的常数项。
【解析】
根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$分步求解：
(1) 式子中二次项为$x^2$，一次项系数为4，一次项系数的一半为$4÷2=2$，需要添加的常数项为$2^2=4$，因此$x^2+4x+4=(x+2)^2$；
(2) 式子中二次项为$x^2$，一次项系数为$-\frac{4}{3}$，一次项系数的一半为$-\frac{4}{3}÷2=-\frac{2}{3}$，需要添加的常数项为$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，因此$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=(x-\frac{2}{3})^2$。
【答案】
(1)4，2；(2)$\dfrac{4}{9}$，$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，重点考查对完全平方公式结构的理解与运用，熟练掌握“常数项是一次项系数一半的平方”这一规律即可快速解题，是后续用配方法求解一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.8
4.已知一元二次方程$x^2 + 3x + a^2 + 1 = 0$有一个根为$x=-1$，则$a$的值为
$\pm1$
.答案
4.$\pm1$
解析
【分析】
解题首先要回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知x=-1是方程的根，我们只需要把x=-1代入原方程，就能得到一个只含有未知数a的方程，再解这个方程即可求出a的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵x=-1是一元二次方程$x^2 + 3x + a^2 + 1 = 0$的根，
∴将x=-1代入方程，得：
$(-1)^2 + 3×(-1) + a^2 + 1 = 0$
计算左边可得：$1 - 3 + a^2 + 1 = a^2 - 1$
即$a^2 - 1 = 0$
移项得$a^2 = 1$
开平方得$a = \pm1$
【答案】
$\pm1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用方程根的含义将求参数的问题转化为解方程的问题，解题时需注意代入计算的准确性，不要漏掉a的负数值。
【难度系数】
0.8
解题首先要回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知x=-1是方程的根，我们只需要把x=-1代入原方程，就能得到一个只含有未知数a的方程，再解这个方程即可求出a的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵x=-1是一元二次方程$x^2 + 3x + a^2 + 1 = 0$的根，
∴将x=-1代入方程，得：
$(-1)^2 + 3×(-1) + a^2 + 1 = 0$
计算左边可得：$1 - 3 + a^2 + 1 = a^2 - 1$
即$a^2 - 1 = 0$
移项得$a^2 = 1$
开平方得$a = \pm1$
【答案】
$\pm1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用方程根的含义将求参数的问题转化为解方程的问题，解题时需注意代入计算的准确性，不要漏掉a的负数值。
【难度系数】
0.8
5. 用配方法解下列方程：
(1)(2025·宿迁宿豫期末)$x^2 -4x +2=0$；
(2)$x(x-2)=1$；
(3)$x^2 -2x -3=0$；
(4)$x^2 +9=10x$；
(5)$x^2=4x +1$；
(6)$(x+3)(x-1)=12$。
(1)(2025·宿迁宿豫期末)$x^2 -4x +2=0$；
(2)$x(x-2)=1$；
(3)$x^2 -2x -3=0$；
(4)$x^2 +9=10x$；
(5)$x^2=4x +1$；
(6)$(x+3)(x-1)=12$。
答案
5.(1)$x_1=2+\sqrt{2},x_2=2-\sqrt{2}$
(2)$x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
(3)$x_1=3,x_2=-1$
(4)$x_1=1,x_2=9$
(5)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$
(6)$x_1=3,x_2=-5$
(2)$x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
(3)$x_1=3,x_2=-1$
(4)$x_1=1,x_2=9$
(5)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$
(6)$x_1=3,x_2=-5$
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的通用思路：第一步先将方程整理为二次项系数为1的形式（本题所有方程二次项系数均为1，可直接处理）；第二步将常数项移到等号右侧；第三步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧配成完全平方式；第四步对右侧常数直接开平方，即可求出方程的根，每道小题均按该步骤操作即可。
【解析】
(1) $x^2 -4x +2=0$
移项，得 $x^2 -4x = -2$
配方，两边加$(\frac{-4}{2})^2=4$，得 $x^2 -4x +4 = -2 +4$
即 $(x-2)^2=2$
开平方，得 $x-2 = \pm\sqrt{2}$
解得 $x_1=2+\sqrt{2},x_2=2-\sqrt{2}$
(2) $x(x-2)=1$
整理方程，得 $x^2 -2x =1$
配方，两边加$(\frac{-2}{2})^2=1$，得 $x^2 -2x +1 =1+1$
即 $(x-1)^2=2$
开平方，得 $x-1=\pm\sqrt{2}$
解得 $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
(3) $x^2 -2x -3=0$
移项，得 $x^2 -2x =3$
配方，两边加$(\frac{-2}{2})^2=1$，得 $x^2 -2x +1 =3+1$
即 $(x-1)^2=4$
开平方，得 $x-1=\pm2$
解得 $x_1=3,x_2=-1$
(4) $x^2 +9=10x$
移项整理，得 $x^2 -10x = -9$
配方，两边加$(\frac{-10}{2})^2=25$，得 $x^2 -10x +25 = -9+25$
即 $(x-5)^2=16$
开平方，得 $x-5=\pm4$
解得 $x_1=1,x_2=9$
(5) $x^2=4x +1$
移项，得 $x^2 -4x =1$
配方，两边加$(\frac{-4}{2})^2=4$，得 $x^2 -4x +4 =1+4$
即 $(x-2)^2=5$
开平方，得 $x-2=\pm\sqrt{5}$
解得 $x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$
(6) $(x+3)(x-1)=12$
展开并整理方程，得 $x^2 +2x -3 =12$，即$x^2 +2x =15$
配方，两边加$(\frac{2}{2})^2=1$，得 $x^2 +2x +1 =15+1$
即 $(x+1)^2=16$
开平方，得 $x+1=\pm4$
解得 $x_1=3,x_2=-5$
【答案】
(1)$x_1=2+\sqrt{2},x_2=2-\sqrt{2}$
(2)$x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
(3)$x_1=3,x_2=-1$
(4)$x_1=1,x_2=9$
(5)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$
(6)$x_1=3,x_2=-5$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，一元二次方程求解
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的常规训练题，核心是牢记配方法的操作步骤，尤其注意配方时等号两边要同时加一次项系数一半的平方，不要漏加右侧常数项的部分，熟练掌握后可以快速准确求解一元二次方程，也为后续相关知识学习打下基础。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程的通用思路：第一步先将方程整理为二次项系数为1的形式（本题所有方程二次项系数均为1，可直接处理）；第二步将常数项移到等号右侧；第三步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧配成完全平方式；第四步对右侧常数直接开平方，即可求出方程的根，每道小题均按该步骤操作即可。
【解析】
(1) $x^2 -4x +2=0$
移项，得 $x^2 -4x = -2$
配方，两边加$(\frac{-4}{2})^2=4$，得 $x^2 -4x +4 = -2 +4$
即 $(x-2)^2=2$
开平方，得 $x-2 = \pm\sqrt{2}$
解得 $x_1=2+\sqrt{2},x_2=2-\sqrt{2}$
(2) $x(x-2)=1$
整理方程，得 $x^2 -2x =1$
配方，两边加$(\frac{-2}{2})^2=1$，得 $x^2 -2x +1 =1+1$
即 $(x-1)^2=2$
开平方，得 $x-1=\pm\sqrt{2}$
解得 $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
(3) $x^2 -2x -3=0$
移项，得 $x^2 -2x =3$
配方，两边加$(\frac{-2}{2})^2=1$，得 $x^2 -2x +1 =3+1$
即 $(x-1)^2=4$
开平方，得 $x-1=\pm2$
解得 $x_1=3,x_2=-1$
(4) $x^2 +9=10x$
移项整理，得 $x^2 -10x = -9$
配方，两边加$(\frac{-10}{2})^2=25$，得 $x^2 -10x +25 = -9+25$
即 $(x-5)^2=16$
开平方，得 $x-5=\pm4$
解得 $x_1=1,x_2=9$
(5) $x^2=4x +1$
移项，得 $x^2 -4x =1$
配方，两边加$(\frac{-4}{2})^2=4$，得 $x^2 -4x +4 =1+4$
即 $(x-2)^2=5$
开平方，得 $x-2=\pm\sqrt{5}$
解得 $x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$
(6) $(x+3)(x-1)=12$
展开并整理方程，得 $x^2 +2x -3 =12$，即$x^2 +2x =15$
配方，两边加$(\frac{2}{2})^2=1$，得 $x^2 +2x +1 =15+1$
即 $(x+1)^2=16$
开平方，得 $x+1=\pm4$
解得 $x_1=3,x_2=-5$
【答案】
(1)$x_1=2+\sqrt{2},x_2=2-\sqrt{2}$
(2)$x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
(3)$x_1=3,x_2=-1$
(4)$x_1=1,x_2=9$
(5)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$
(6)$x_1=3,x_2=-5$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，一元二次方程求解
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的常规训练题，核心是牢记配方法的操作步骤，尤其注意配方时等号两边要同时加一次项系数一半的平方，不要漏加右侧常数项的部分，熟练掌握后可以快速准确求解一元二次方程，也为后续相关知识学习打下基础。
【难度系数】
0.8
6.(2025·苏州吴江区期中)用配方法解一元二次方程$x^2 - 2x - 2026 = 0$，将它转化为$(x+a)^2 = b$的形式，则$a^b$的值为（
A.$-2026$
B.$2027$
C.$-1$
D.$1$
C
）A.$-2026$
B.$2027$
C.$-1$
D.$1$
答案
6.C
解析
【分析】
要解决本题，需先掌握配方法将一元二次方程转化为$(x+a)^2=b$形式的步骤：首先把常数项移到方程右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，得到目标形式后确定$a$、$b$的值，最后代入计算$a^b$即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x - 2026 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = 2026$
2. 配方，给等号两边同时加上一次项系数$-2$的一半的平方，即$(\frac{-2}{2})^2=1$：
$x^2 - 2x + 1 = 2026 + 1$
3. 将左侧写成完全平方形式，右侧合并常数项：
$(x - 1)^2 = 2027$
对比$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a=-1$，$b=2027$。
计算$a^b=(-1)^{2027}=-1$，因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；有理数的乘方
【点评】
本题重点考查配方法的实际应用，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意完全平方式中常数项的确定，以及负数乘方的符号判断。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先掌握配方法将一元二次方程转化为$(x+a)^2=b$形式的步骤：首先把常数项移到方程右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，得到目标形式后确定$a$、$b$的值，最后代入计算$a^b$即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x - 2026 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = 2026$
2. 配方，给等号两边同时加上一次项系数$-2$的一半的平方，即$(\frac{-2}{2})^2=1$：
$x^2 - 2x + 1 = 2026 + 1$
3. 将左侧写成完全平方形式，右侧合并常数项：
$(x - 1)^2 = 2027$
对比$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a=-1$，$b=2027$。
计算$a^b=(-1)^{2027}=-1$，因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；有理数的乘方
【点评】
本题重点考查配方法的实际应用，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意完全平方式中常数项的确定，以及负数乘方的符号判断。
【难度系数】
0.7
7.若$A=x^2+2x-6y$，$B=-y^2+4x-10$，则$A,B$的大小关系为 （
A.$A＞B$
B.$A＜B$
C.$A≥ B$
D.$A≤ B$
C
）A.$A＞B$
B.$A＜B$
C.$A≥ B$
D.$A≤ B$
答案
7.C
解析
【分析】
比较两个代数式的大小常用作差法，先计算A与B的差，再通过配方法将差整理为完全平方式相加的形式，结合平方的非负性判断差的正负，即可得出A、B的大小关系。
【解析】
要比较A和B的大小，计算$A-B$：
$\begin{aligned}A-B&=(x^2+2x-6y)-(-y^2+4x-10)\\&=x^2+2x-6y+y^2-4x+10\\&=x^2-2x+y^2-6y+10\end{aligned}$
对所得式子配方：
$x^2-2x=(x-1)^2-1$，$y^2-6y=(y-3)^2-9$，代入得：
$\begin{aligned}A-B&=(x-1)^2-1+(y-3)^2-9+10\\&=(x-1)^2+(y-3)^2\end{aligned}$
根据平方的非负性可知，$(x-1)^2≥0$，$(y-3)^2≥0$，因此$A-B≥0$，即$A≥ B$。
【答案】
C
【知识点】
作差法比较大小，配方法，平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的基础题型，核心方法是作差法，结合配方法将差转化为非负数的和即可判断大小，熟练掌握配方法的运用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
比较两个代数式的大小常用作差法，先计算A与B的差，再通过配方法将差整理为完全平方式相加的形式，结合平方的非负性判断差的正负，即可得出A、B的大小关系。
【解析】
要比较A和B的大小，计算$A-B$：
$\begin{aligned}A-B&=(x^2+2x-6y)-(-y^2+4x-10)\\&=x^2+2x-6y+y^2-4x+10\\&=x^2-2x+y^2-6y+10\end{aligned}$
对所得式子配方：
$x^2-2x=(x-1)^2-1$，$y^2-6y=(y-3)^2-9$，代入得：
$\begin{aligned}A-B&=(x-1)^2-1+(y-3)^2-9+10\\&=(x-1)^2+(y-3)^2\end{aligned}$
根据平方的非负性可知，$(x-1)^2≥0$，$(y-3)^2≥0$，因此$A-B≥0$，即$A≥ B$。
【答案】
C
【知识点】
作差法比较大小，配方法，平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的基础题型，核心方法是作差法，结合配方法将差转化为非负数的和即可判断大小，熟练掌握配方法的运用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8. 关于$x$的方程$x^2 - px + q = 0$通过配方得$(x-1)^2 = \frac{4}{3}$，则$\frac{p}{q} =$
$-6$
。答案
8. $-6$
解析
【分析】
解题思路如下：首先要将配方得到的方程展开，整理为一元二次方程的一般形式，再将其与题目给出的原方程对比，根据对应项系数相等的原则求出p和q的值，最后代入计算$\frac{p}{q}$即可。解题的关键是掌握配方法的逆运算，以及多项式恒等时对应项系数相等的规则。
【解析】
第一步，展开配方后的方程：
$(x-1)^2=\frac{4}{3}$
根据完全平方公式展开左边得：$x^2 - 2x + 1 = \frac{4}{3}$
第二步，移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 2x + 1 - \frac{4}{3} = 0$
计算常数项得$1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$，因此整理后的方程为：$x^2 - 2x - \frac{1}{3}=0$
第三步，对比原方程求参数：
原方程为$x^2 - px + q = 0$，和整理后的方程对应项系数相等：
一次项系数：$-p=-2$，解得$p=2$
常数项：$q=-\frac{1}{3}$
第四步，代入计算$\frac{p}{q}$：
$\frac{p}{q}=\frac{2}{-\frac{1}{3}}=2×(-3)=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
配方法的应用；多项式系数对应；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查配方法的逆用，解题时要注意完全平方展开的符号正确性，移项计算常数项、对应系数找参数时都要留意符号，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先要将配方得到的方程展开，整理为一元二次方程的一般形式，再将其与题目给出的原方程对比，根据对应项系数相等的原则求出p和q的值，最后代入计算$\frac{p}{q}$即可。解题的关键是掌握配方法的逆运算，以及多项式恒等时对应项系数相等的规则。
【解析】
第一步，展开配方后的方程：
$(x-1)^2=\frac{4}{3}$
根据完全平方公式展开左边得：$x^2 - 2x + 1 = \frac{4}{3}$
第二步，移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 2x + 1 - \frac{4}{3} = 0$
计算常数项得$1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$，因此整理后的方程为：$x^2 - 2x - \frac{1}{3}=0$
第三步，对比原方程求参数：
原方程为$x^2 - px + q = 0$，和整理后的方程对应项系数相等：
一次项系数：$-p=-2$，解得$p=2$
常数项：$q=-\frac{1}{3}$
第四步，代入计算$\frac{p}{q}$：
$\frac{p}{q}=\frac{2}{-\frac{1}{3}}=2×(-3)=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
配方法的应用；多项式系数对应；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查配方法的逆用，解题时要注意完全平方展开的符号正确性，移项计算常数项、对应系数找参数时都要留意符号，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.7
9.(2025·无锡江阴期末)用配方法解方程$x^2 -6x +2=0$，将方程变为$(x - m)^2 =n$的形式，则$mn$的值为
$21$
。答案
9.21
解析
【分析】
解题时需按照配方法的固定步骤逐步变形方程：首先将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧整理为完全平方的形式，再对照$(x - m)^2 =n$的形式确定$m$、$n$的取值，最后计算$mn$的值即可。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$x^2 -6x = -2$
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-6$，一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，因此两边加9得：
$x^2 -6x +9 = -2 +9$
整理左侧为完全平方式，右侧计算得：
$(x-3)^2 =7$
对照$(x - m)^2 =n$的形式，可得$m=3$，$n=7$，因此$mn=3×7=21$。
【答案】
21
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考察配方法的操作步骤，解题时要注意配方时需给等式两边同时加同一个常数，避免只给左侧加而忽略右侧，熟练掌握配方法是后续学习相关代数知识的基础。
【难度系数】
0.8
解题时需按照配方法的固定步骤逐步变形方程：首先将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧整理为完全平方的形式，再对照$(x - m)^2 =n$的形式确定$m$、$n$的取值，最后计算$mn$的值即可。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$x^2 -6x = -2$
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-6$，一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，因此两边加9得：
$x^2 -6x +9 = -2 +9$
整理左侧为完全平方式，右侧计算得：
$(x-3)^2 =7$
对照$(x - m)^2 =n$的形式，可得$m=3$，$n=7$，因此$mn=3×7=21$。
【答案】
21
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考察配方法的操作步骤，解题时要注意配方时需给等式两边同时加同一个常数，避免只给左侧加而忽略右侧，熟练掌握配方法是后续学习相关代数知识的基础。
【难度系数】
0.8
