12. 解下列方程：
(1)$(2x-1)^2 -49=0$；
(2)$2(x-3)^2=72$；
(3)$x^2=(2x-1)^2$；
(4)$y-2y^2=(y-3)(y+4)$；
(5)$(x+1)(x-1)=1$；
(6)$x^2 -6x +9=(5-2x)^2$。

(1)$x_1=4,x_2=-3$
(2)$x_1=9,x_2=-3$
(3)$x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$
(4)$y_1=2,y_2=-2$
(5)$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
(6)$x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$

【分析】
这组是一元二次方程的求解题目，解题时先观察方程的结构特征选择最简便的解法：1. 若方程可变形为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，优先用直接开平方法，开平方后转化为两个一元一次方程求解；2. 若方程左右两边都是完全平方式，可移项后用平方差公式因式分解求解；3. 形式较复杂的先去括号、移项、合并同类项化简，再选择合适的方法求解，计算时注意符号避免出错。
【解析】
(1) 移项得：$(2x-1)^2=49$
开平方得：$2x-1=\pm7$
当$2x-1=7$时，解得$x=4$；当$2x-1=-7$时，解得$x=-3$
∴$x_1=4,x_2=-3$
(2) 两边同除以2得：$(x-3)^2=36$
开平方得：$x-3=\pm6$
当$x-3=6$时，解得$x=9$；当$x-3=-6$时，解得$x=-3$
∴$x_1=9,x_2=-3$
(3) 移项得：$x^2-(2x-1)^2=0$
由平方差公式因式分解得：$[x+(2x-1)][x-(2x-1)]=0$
化简得：$(3x-1)(-x+1)=0$
令$3x-1=0$，解得$x=\frac{1}{3}$；令$-x+1=0$，解得$x=1$
∴$x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$
(4) 展开两边得：$y-2y^2=y^2+y-12$
移项、合并同类项得：$-3y^2+12=0$
化简得：$y^2=4$
开平方得：$y=\pm2$
∴$y_1=2,y_2=-2$
(5) 展开左边得：$x^2-1=1$
移项化简得：$x^2=2$
开平方得：$x=\pm\sqrt{2}$
∴$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
(6) 左边写成完全平方式得：$(x-3)^2=(5-2x)^2$
移项得：$(x-3)^2-(5-2x)^2=0$
由平方差公式因式分解得：$[(x-3)+(5-2x)][(x-3)-(5-2x)]=0$
化简得：$(-x+2)(3x-8)=0$
令$-x+2=0$，解得$x=2$；令$3x-8=0$，解得$x=\frac{8}{3}$
∴$x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=-3$
(2)$x_1=9,x_2=-3$
(3)$x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$
(4)$y_1=2,y_2=-2$
(5)$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
(6)$x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$
【知识点】
一元二次方程解法，直接开平方法，因式分解法
【点评】
本组题目是一元二次方程解法的基础巩固题，核心考查根据方程特征灵活选择简便解法的能力，解题时优先观察是否可直接开平方或因式分解，能减少计算量，同时要注意运算过程中的符号问题，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.75

13. 新情境 阅读理解:我们把$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$称作二阶行列式,规定它的运算法则为$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$.如$\begin{vmatrix}2&3\\4&5\end{vmatrix}=2×5-3×4=-2$.如果$\begin{vmatrix}x+1&x-1\\1-x&x+1\end{vmatrix}=6$,求$x$的值.

解:根据题意可得$\begin{vmatrix}x+1&x-1\\1-x&x+1\end{vmatrix}=(x+1)^2-(x-1)·(1-x)=6$,整理,得$2x^2=4$,
解得$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$.

【分析】
本题属于新定义运算题型，解题思路分为三步：第一步，准确理解二阶行列式的运算法则“ad-bc”，找到对应行列式中a、b、c、d的代数式；第二步，根据法则列出关于x的方程，通过整式乘法运算化简方程为一元二次方程的标准形式；第三步，用直接开平方法求解一元二次方程即可得到x的值。
【解析】
根据二阶行列式的运算法则，可得：
$\begin{vmatrix}x+1&x-1\\1-x&x+1\end{vmatrix}=(x+1)^2-(x-1)(1-x)=6$
展开并整理方程：
$(x^2+2x+1) + (x-1)^2 =6$
$x^2+2x+1 +x^2-2x+1 =6$
合并同类项得：$2x^2+2=6$
移项化简得：$2x^2=4$，即$x^2=2$
开平方得：$x=\pm\sqrt{2}$
【答案】
$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算、整式的乘法、解一元二次方程
【点评】
本题以二阶行列式为新情境考查运算能力，解题核心是正确套用新运算规则列出方程，再结合整式运算和一元二次方程的解法求解，只要准确理解新定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

14.若关于$x$的一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根为$x_1 = m+1, x_2 = 2m-4$.求下列各式的值:(1)$m$;(2)$\frac{b}{a}$.

解:(1)由$ax^2=b(ab＞0)$,得$x^2=\frac{b}{a}$,
解得$x=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}$,
即方程的两个根互为相反数,
$\therefore x_1+x_2=m+1+2m-4=0$,解得$m=1$.
(2)由(1)知$m=1$,
$\therefore$方程的两个根为$x_1=m+1=2,x_2=2m-4=-2$.
$\because x^2=\frac{b}{a},\therefore \frac{b}{a}=(\pm2)^2=4$.

【分析】
解题时先分析给定一元二次方程的根的特征：对于方程$ax^2 = b(ab＞0)$，可通过直接开平方法变形为$x^2=\frac{b}{a}$，由于$\frac{b}{a}＞0$，因此方程的两个根互为相反数。求解第一问时，利用“互为相反数的两数之和为0”的性质，将两个根相加等于0，列一元一次方程即可求出m的值；求解第二问时，将m的值代入根的表达式得到具体的根，再结合$x^2=\frac{b}{a}$，计算根的平方即可得到$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
(1) 对一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$变形，得$x^2=\frac{b}{a}$，
开平方得$x=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}$，即方程的两个根互为相反数，
因此两根之和为0，即$x_1+x_2=(m+1)+(2m-4)=0$，
合并同类项得$3m-3=0$，解得$m=1$。
(2) 将$m=1$代入两根表达式，得：
$x_1=m+1=1+1=2$，$x_2=2m-4=2×1-4=-2$，
结合$x^2=\frac{b}{a}$，可得$\frac{b}{a}=2^2=4$。
【答案】
(1) $m=1$；(2) $\frac{b}{a}=4$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；相反数的性质；平方根的性质
【点评】
本题核心是利用直接开平方法得到一元二次方程根的特征，结合相反数的性质求解参数，解题的关键是掌握直接开平方法对应方程的根互为相反数的特点，整体解题逻辑清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8

15. 对于实数 $ p,q $，我们用符号 $ \max\{p,q\} $ 表示 $ p,q $ 两数中较大的数，如 $ \max\{1,2\}=2 $。
(1) 请直接写出 $ \max\{-\sqrt{2}, -\sqrt{3}\} $ 的值；
(2) 我们知道，当 $ m^2=1 $ 时，$ m=\pm1 $，利用这种方法解决下面问题：若 $ \max\{(x-1)^2, x^2\}=4 $，求 $ x $ 的值。

解:(1)$\because \sqrt{2}＜\sqrt{3},\therefore -\sqrt{2}＞-\sqrt{3}$,
$\therefore \max\{-\sqrt{2},-\sqrt{3}\}=-\sqrt{2}$.
(2)根据题意,得$(x-1)^2≠ x^2$,解得$x≠0.5$.
当$(x-1)^2＜x^2$时,$x＞0.5$,$\therefore x^2=4$,
解得$x=2$或$x=-2$(舍去);
当$(x-1)^2＞x^2$时,$x＜0.5$,$\therefore (x-1)^2=4$,
解得$x=3$(舍去)或$x=-1$,
故$x$的值为2或$-1$.

【分析】
（1）首先明确$\max\{p,q\}$的含义是取$p,q$中较大的数，根据负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，先比较$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的大小，即可推出$-\sqrt{2}$和$-\sqrt{3}$的大小，得到最终结果。
（2）解题时先找到$(x-1)^2$和$x^2$的大小分界点：求解两式相等时$x$的取值，得到$x=0.5$，再分$x＞0.5$、$x＜0.5$两种情况讨论，让较大的代数式等于4，解出一元二次方程的根后，检验根是否符合对应取值范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1) $\because \sqrt{2}＜\sqrt{3}$，$\therefore -\sqrt{2}＞-\sqrt{3}$，
根据$\max\{p,q\}$的定义，可得$\max\{-\sqrt{2},-\sqrt{3}\}=-\sqrt{2}$。
(2) 先求两式相等时$x$的取值：
展开$(x-1)^2=x^2$得$x^2-2x+1=x^2$，化简得$-2x+1=0$，解得$x=0.5$，即$x≠0.5$时两式大小不同。
① 当$x＞0.5$时，$(x-1)^2＜x^2$，此时$x^2=4$，
解得$x=2$或$x=-2$，其中$x=-2$不满足$x＞0.5$，舍去，得$x=2$。
② 当$x＜0.5$时，$(x-1)^2＞x^2$，此时$(x-1)^2=4$，
开方得$x-1=\pm2$，解得$x=3$或$x=-1$，其中$x=3$不满足$x＜0.5$，舍去，得$x=-1$。
综上，$x$的值为2或$-1$。
【答案】
(1) $-\sqrt{2}$；(2) $x$的值为$2$或$-1$
【知识点】
新定义运算、实数大小比较、解一元二次方程
【点评】
本题结合新定义考查分类讨论思想的应用，解题的关键是先确定两个代数式的大小分界点，分情况求解后要验证解是否符合对应取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7