1. 下列计算正确的是()

A.$(-6x^2y)÷(-3x)=2x$
B.$25a^3b^2÷5ab=5ab$
C.$(-2x^2y)^2÷(-2x^2y)=1$
D.$(-3mn^2)^3÷(-9m^3n^3)=3n^3$

D

【分析】
这道题考查整式除法相关运算，解题思路是牢记单项式除法法则：先处理乘方运算（若有），再将系数相除作为商的系数，同底数幂分别相除，只在被除式中出现的字母连同它的指数一起作为商的因式，逐一计算每个选项判断正误即可。
【解析】
我们根据运算法则逐个验证选项：
1. 验证选项A：
$(-6x^2y)÷(-3x)=[(-6)÷(-3)]·(x^2÷x)· y=2xy$，与选项给出的$2x$不符，A错误。
2. 验证选项B：
$25a^3b^2÷5ab=(25÷5)·(a^3÷a)·(b^2÷b)=5a^2b$，与选项给出的$5ab$不符，B错误。
3. 验证选项C：
先算乘方：$(-2x^2y)^2=4x^4y^2$，再算除法：$4x^4y^2÷(-2x^2y)=[4÷(-2)]·(x^4÷x^2)·(y^2÷y)=-2x^2y$，与选项给出的1不符，C错误。
4. 验证选项D：
先算乘方：$(-3mn^2)^3=-27m^3n^6$，再算除法：$(-27m^3n^6)÷(-9m^3n^3)=[(-27)÷(-9)]·(m^3÷m^3)·(n^6÷n^3)=3n^3$，与选项结果一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式除以单项式，积的乘方，同底数幂的除法
【点评】
本题是整式运算的基础题，重点考查相关运算法则的掌握情况，解题时要注意运算顺序（先乘方后除法）和符号的处理，避免漏看字母或算错符号失分。
【难度系数】
0.7

2. 计算$6m^3÷(-3m^2)$的结果是()

A.$-3m$
B.$-2m$
C.$2m$
D.$3m$

B

【分析】
观察题目可知这是单项式除以单项式的运算，解题时按照单项式除以单项式的规则分步思考即可：第一步先计算系数的除法，要注意正负号的运算；第二步计算同底数幂的除法，遵循底数不变、指数相减的规则；最后将两部分的计算结果相乘，就能得到最终的运算结果。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则，分步计算：
1. 计算系数的商：$6÷(-3)=-2$
2. 计算同底数幂的商：$m^3÷ m^2=m^{3-2}=m$
将两部分结果相乘可得：$6m^3÷(-3m^2)=-2× m=-2m$
【答案】
B
【知识点】
单项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式除法的基础题型，主要考查单项式除法运算规则的应用，解题时要格外注意系数的符号，以及同底数幂的指数运算规则，避免因粗心大意出错。
【难度系数】
0.8

3. 计算$(x^3y)^2÷(2xy)^2$的正确结果是()

A.$\frac{1}{4}x^2y$
B.$\frac{1}{4}x^4y$
C.$\frac{1}{2}x^4$
D.$\frac{1}{4}x^4$

D

【分析】
本题考查整式的乘除混合运算，解题思路如下：第一步先根据积的乘方运算法则，分别计算被除式$(x^3y)^2$和除式$(2xy)^2$的结果；第二步再按照单项式除以单项式的运算法则，将系数、同底数幂分别相除，最终化简得到结果，再匹配选项即可。
【解析】
解：①先计算积的乘方：
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，得：
$(x^3y)^2=(x^3)^2· y^2=x^{3×2}y^2=x^6y^2$
$(2xy)^2=2^2· x^2· y^2=4x^2y^2$
②再计算单项式除法：
根据单项式除以单项式法则，系数相除，同底数幂分别相除，得：
$(x^6y^2)÷(4x^2y^2)=(1÷4)·(x^{6-2})·(y^{2-2})$
$=\frac{1}{4}x^4· y^0$
又因为非零数的0次幂等于1，即$y^0=1$，所以化简得：$\frac{1}{4}x^4$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算、单项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考察整式乘除相关运算法则的应用，运算时要注意运算顺序：先算乘方，再算除法，同时要注意区分幂的乘方、同底数幂除法的指数运算规则，避免混淆出错。
【难度系数】
0.8

4. 若$a=1.6×10^{9}$，$b=4×10^{3}$，则$a÷ b$等于（）

A.$4×10^{5}$
B.$4×10^{6}$
C.$6.4×10^{6}$
D.$6.4×10^{12}$

A

【分析】
这道题考查用科学记数法表示的数的除法运算，解题思路是将运算拆分为两部分分别计算：先计算系数部分的除法，再根据同底数幂的除法法则计算10的幂次部分的结果，最后把两部分的乘积整理为规范的科学记数法形式，再匹配选项即可。
【解析】
计算$a÷ b$的步骤如下：
$\begin{aligned}a÷ b&=(1.6×10^9)÷(4×10^3)\\&=(1.6÷4)×(10^9÷10^3)\\&=0.4×10^{9-3}\\&=0.4×10^6\\&=4×10^5\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的除法；科学记数法；整式除法
【点评】
本题属于基础运算题，核心是将科学记数法的运算拆分为系数运算和幂次运算两部分，只要熟练掌握同底数幂的除法法则，注意最终结果符合科学记数法的规范，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8

5*. 将一正方形按如图方式分成n个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则n的值为()

A.12
B.16
C.18
D.20

C

【分析】
解题的核心是利用正方形边长相等、所有小长方形完全相同的特点，通过设未知数找到小长方形长和宽的数量关系，再分别计算上下横排和中间竖排的小长方形个数，加总得到总个数n。首先设小长方形的长为x、宽为y，先根据上下横排的排列得到正方形边长的表达式，再根据竖直方向的排列得到长宽的等量关系，最后利用整式除法计算中间竖排的数量即可。
【解析】
设每个完全相同的小长方形的长为$x$，宽为$y$。
1. 由上、下各横排3个小长方形，可得正方形的边长为$3x$。
2. 观察竖直方向的边长：正方形边长等于上下两个横放小长方形的宽加上中间两个竖放小长方形的长，即$3x = 2x + 2y$，化简得$x=2y$。
3. 计算中间竖排的小长方形数量：
中间部分水平方向长度等于正方形边长$3x$，每个竖放小长方形的水平宽度为$y$，因此每行可放$\frac{3x}{y}=\frac{3×2y}{y}=6$个；
中间部分竖直高度为$3x - 2y = 3×2y - 2y=4y$，每个竖放小长方形的竖直高度为$x=2y$，因此可放$\frac{4y}{2y}=2$行；
中间总共有$6×2=12$个小长方形。
4. 总个数$n=3+12+3=18$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；一元一次方程应用；整式的除法
【点评】
本题是典型的数形结合类题目，需要结合几何图形的特征挖掘等量关系，再通过代数运算求解，能很好地考查读图分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.6

二、填空题
1. 计算：$2x^6 ÷ x^2 =$ ；$-5x^5y^2 ÷ x^4y =$ 。

解：
$2x^6 ÷ x^2 = 2· x^{6-2} = 2x^4$
$-5x^5y^2 ÷ x^4y = (-5÷1)· x^{5-4}· y^{2-1} = -5xy$
答案依次为：$\boldsymbol{2x^4}$；$\boldsymbol{-5xy}$

【分析】
本题考查单项式除以单项式的运算，解题思路如下：首先明确单项式除以单项式的运算法则：将系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；同底数幂相除遵循“底数不变，指数相减”的规则。第一题只有同底数的x，先算系数的商，再算x的幂的商，组合即可得到结果；第二题有x、y两个同底数幂，分别计算系数、x的幂、y的幂的商，再组合得到结果。
【解析】
1. 计算$2x^6 ÷ x^2$：
系数相除得$2÷1=2$，同底数幂$x^6 ÷ x^2 = x^{6-2}=x^4$，因此$2x^6 ÷ x^2 = 2x^4$。
2. 计算$-5x^5y^2 ÷ x^4y$：
系数相除得$-5÷1=-5$，同底数幂$x^5 ÷ x^4 = x^{5-4}=x$，$y^2 ÷ y = y^{2-1}=y$，因此$-5x^5y^2 ÷ x^4y = -5xy$。
【答案】
$2x^4$；$-5xy$
【知识点】
1. 同底数幂的除法
2. 单项式除以单项式
【点评】
本题是整式除法的基础运算题，核心是熟练掌握单项式除以单项式的运算法则，计算时需要注意系数的符号，以及同底数幂指数的减法运算，避免出现指数相加、符号出错的低级失误。
【难度系数】
0.9

2. 计算：$(-6m^2n^3)^2÷9m^3n^3=$.

$\boldsymbol{4mn^3}$

【分析】
本题考查整式的乘除混合运算，解题时遵循先乘方后乘除的运算顺序：第一步先根据积的乘方法则计算乘方部分，将括号内的每个因式分别乘方后再相乘；第二步根据单项式除以单项式的法则计算除法，分别对系数、同底数幂进行运算，最终合并得到结果。
【解析】
第一步：计算乘方$(-6m^2n^3)^2$，根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$：
$(-6m^2n^3)^2=(-6)^2· (m^2)^2· (n^3)^2=36m^4n^6$
第二步：计算单项式除法$36m^4n^6÷9m^3n^3$，根据单项式除以单项式法则，系数相除，同底数幂分别相除：
系数部分：$36÷9=4$
$m$的幂部分：$m^4÷ m^3=m^{4-3}=m$
$n$的幂部分：$n^6÷ n^3=n^{6-3}=n^3$
将各部分结果相乘得：$4· m· n^3=4mn^3$
【答案】
$4mn^3$
【知识点】
积的乘方；单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，运算时要注意运算顺序，计算乘方时不要漏算系数的乘方，进行同底数幂除法时要注意指数是相减而非相乘，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8

3. 若$16(x-y)^7÷[2(x-y)]^n=2(x-y)^4$,则$n=$.

解：
根据积的乘方法则，$[2(x-y)]^n = 2^n (x-y)^n$，
对左边做整式除法运算得：
$16(x-y)^7 ÷ [2^n (x-y)^n] = (16÷ 2^n) · (x-y)^{7-n}$
结合等式$16(x-y)^7÷[2(x-y)]^n=2(x-y)^4$，可得对应指数和系数分别相等：
$\begin{cases}7-n=4 \\16÷ 2^n=2 \end{cases}$
由$7-n=4$解得$n=3$，代入$16÷ 2^n=2$验证成立。
故$n=3$。

【分析】
解题时首先将$(x-y)$看作一个整体，先利用积的乘方法则化简除数，再根据单项式除以单项式的运算法则计算等式左边的整式除法，计算时系数和同底数幂分别相除，最后根据等式两边对应系数相等、相同底数的幂的指数相等，即可列方程求出$n$的值，求出后代入验证确保结果正确。
【解析】
根据积的乘方法则，$[2(x-y)]^n = 2^n (x-y)^n$，
对左边做整式除法运算得：
$16(x-y)^7 ÷ [2^n (x-y)^n] = (16÷ 2^n) · (x-y)^{7-n}$
结合等式$16(x-y)^7÷[2(x-y)]^n=2(x-y)^4$，可得对应指数和系数分别相等：
$\begin{cases}7-n=4 \\16÷ 2^n=2 \end{cases}$
由$7-n=4$解得$n=3$，代入$16÷ 2^n=2$验证成立。
故$n=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
积的乘方；单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题考查整式除法相关运算，解题的关键是将$(x-y)$视为整体参与运算，通过等式两边系数、同底数幂指数分别对应相等建立方程求解，熟练掌握整式运算的相关法则是解题的前提。
【难度系数】
0.8

4. 已知$8a^3b^m ÷ 28a^n b^2 = \frac{2}{7}b^2$，那么$m=$，$n=$。

$m=\boldsymbol{4}$，$n=\boldsymbol{3}$。

【分析】
这道题考查单项式除以单项式的运算，解题思路是先根据单项式除以单项式的法则化简等式左边的式子，再对比等式左右两边的结果，利用“相同字母的指数对应相等，商中没有的字母对应指数为0”的规律列方程，即可求出m、n的值。
【解析】
根据单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式。
先化简等式左边：
$8a^3b^m ÷ 28a^n b^2$
$=(8÷28) · a^{3-n} · b^{m-2}$
$=\frac{2}{7}a^{3-n}b^{m-2}$
已知化简结果等于$\frac{2}{7}b^2$，对比两边可得：
1. 商中不含字母a，说明a的指数为0（$a^0=1$可省略），即$3-n=0$，解得$n=3$；
2. 两边字母b的指数相等，即$m-2=2$，解得$m=4$。
【答案】
$m=4$，$n=3$
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法；零指数幂的意义
【点评】
本题是整式除法的常规基础题，核心是掌握单项式除法的运算规则，注意商中不存在的字母对应指数为0，即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5*. 如图2-1,将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形,制成如图2-2的无盖纸盒,若该纸盒的容积为$4a^2b$,则图2-2中纸盒底部长方形的周长为.

$\boldsymbol{8a+2b}$

【分析】
解题时先明确无盖纸盒的容积计算方法：容积=底部长方形面积×纸盒的高。首先结合图形确定纸盒的高为切去的正方形的边长a，再用容积除以高得到底部长方形的面积；接着观察图形可知底部长方形的一条边长为b，用底面积除以b就能得到底部长方形的另一条边长；最后根据长方形周长公式计算即可得到结果。
【解析】
首先，由图可知该无盖纸盒的高为切去的正方形的边长，即高$h=a$。
根据长方体容积公式$V=S_{\mathrm{底}} × h$，已知容积$V=4a^2b$，可得底部长方形的面积：
$S_{\mathrm{底}} = V ÷ h = 4a^2b ÷ a = 4ab$
观察图2-2可得，纸盒底部长方形的一条边长为$b$，则另一条边长为：
$4ab ÷ b = 4a$
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，可得底部长方形周长：
$C=2×(4a + b) = 8a + 2b$
【答案】
$\boldsymbol{8a+2b}$
【知识点】
长方体容积计算；整式的除法；长方形周长计算
【点评】
本题将立体几何的容积问题和整式运算结合，需要准确识别立体图形各部分长度与展开图的对应关系，再结合相关公式逐步计算，侧重考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7

三、解答题
1. 计算：
（1）$6x^2y÷3xy$；
（2）$(-16m^3n^2)÷(2mn)^2$；
（3）$(4x^2y^3)^2÷(-2xy^2)^2$；
（4）$(-\dfrac{1}{2}a^2bx^2)÷(-\dfrac{2}{5}ax^2)$；

解：
(1) 原式 = (6÷3)·x^(2-1)·y^(1-1)
= 2x
(2) 原式 = (-16m³n²)÷(4m²n²)
= (-16÷4)·m^(3-2)·n^(2-2)
= -4m
(3) 原式 = 16x⁴y⁶ ÷ (4x²y⁴)
= (16÷4)·x^(4-2)·y^(6-4)
= 4x²y²
(4) 原式 = $[(-\dfrac{1}{2})÷(-\dfrac{2}{5})]· a^{2-1}· b· x^{2-2}$
= $\dfrac{5}{4}ab$

【分析】
这组题目是单项式除以单项式的运算题，解题思路如下：第一步先观察算式是否包含乘方运算，若有则先根据积的乘方、幂的乘方法则计算乘方部分；第二步按照单项式除以单项式的规则运算：先将系数相除得到商的系数，再将同底数幂分别相除（底数不变，指数相减），仅在被除式中存在的字母，连同它的指数一起作为商的因式；第三步注意运算过程中的符号判断，非零数的0次幂结果为1，可以省略不写。
【解析】
(1) 原式 = (6÷3)·x^(2-1)·y^(1-1)
= 2x
(2) 原式 = (-16m³n²)÷(4m²n²)
= (-16÷4)·m^(3-2)·n^(2-2)
= -4m
(3) 原式 = 16x⁴y⁶ ÷ (4x²y⁴)
= (16÷4)·x^(4-2)·y^(6-4)
= 4x²y²
(4) 原式 = $[(-\dfrac{1}{2})÷(-\dfrac{2}{5})]· a^{2-1}· b· x^{2-2}$
= $\dfrac{5}{4}ab$
【答案】
(1) $2x$；(2) $-4m$；(3) $4x^2y^2$；(4) $\dfrac{5}{4}ab$
【知识点】
单项式除以单项式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式除法的基础运算题，重点考查单项式除法的运算规则，解题时要注意遵循“先乘方、后除法”的运算顺序，运算过程中要注意符号的处理，避免将同底数幂除法的指数相减和乘法的指数相加混淆，熟练掌握运算法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.85