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1.【教材P6例1变式】一元二次方程$x^2=16$的根是(
A.$x=4$
B.$x=-4$
C.$x=0$
D.$x_1=4,x_2=-4$
D
)A.$x=4$
B.$x=-4$
C.$x=0$
D.$x_1=4,x_2=-4$
答案
D
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程形式，题目给出的$x^2=16$符合$x^2=a$（$a≥0$）的直接开平方法标准结构，根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，因此对等式两边同时开平方即可求出方程的根，注意不要遗漏负根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2=16$，
根据平方根的定义，对等式两边同时开平方可得：
$x=\pm\sqrt{16}$
计算得$x=\pm4$，即方程的根为$x_1=4$，$x_2=-4$。
对比选项，D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解方程；平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，解题关键是牢记正数开平方有两个互为相反数的结果，避免出现只取正根的错误。
【难度系数】
0.9
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程形式，题目给出的$x^2=16$符合$x^2=a$（$a≥0$）的直接开平方法标准结构，根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，因此对等式两边同时开平方即可求出方程的根，注意不要遗漏负根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2=16$，
根据平方根的定义，对等式两边同时开平方可得：
$x=\pm\sqrt{16}$
计算得$x=\pm4$，即方程的根为$x_1=4$，$x_2=-4$。
对比选项，D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解方程；平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，解题关键是牢记正数开平方有两个互为相反数的结果，避免出现只取正根的错误。
【难度系数】
0.9
2.【教材P6练习变式】方程$(x-3)^2=8$的根为(
A.$x=3+2\sqrt{2}$
B.$x=3-2\sqrt{2}$
C.$x_1=3+2\sqrt{2},x_2=3-2\sqrt{2}$
D.$x_1=-3+2\sqrt{2},x_2=-3-2\sqrt{2}$
C
)A.$x=3+2\sqrt{2}$
B.$x=3-2\sqrt{2}$
C.$x_1=3+2\sqrt{2},x_2=3-2\sqrt{2}$
D.$x_1=-3+2\sqrt{2},x_2=-3-2\sqrt{2}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程形式，左边是关于x的完全平方式，右边是正数，符合直接开平方法的适用条件；接着对等式两边同时开平方，注意正数的平方根有两个、互为相反数，不要漏写负根；最后化简根式、移项即可求出方程的两个根，对比选项得出答案，解题时要注意移项时符号不要出错。
【解析】
解：对方程$(x-3)^2=8$两边直接开平方，得：
$x-3=\pm\sqrt{8}$
化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此：
$x-3=\pm2\sqrt{2}$
移项得$x=3\pm2\sqrt{2}$
即方程的两个根为$x_1=3+2\sqrt{2}$，$x_2=3-2\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程 2.二次根式化简
【点评】
本题是基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题关键是牢记正数开平方有正负两个结果，避免漏根，同时要注意移项时符号的变化，不要混淆常数项的符号。
【难度系数】
0.8
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程形式，左边是关于x的完全平方式，右边是正数，符合直接开平方法的适用条件；接着对等式两边同时开平方，注意正数的平方根有两个、互为相反数，不要漏写负根；最后化简根式、移项即可求出方程的两个根，对比选项得出答案，解题时要注意移项时符号不要出错。
【解析】
解：对方程$(x-3)^2=8$两边直接开平方，得：
$x-3=\pm\sqrt{8}$
化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此：
$x-3=\pm2\sqrt{2}$
移项得$x=3\pm2\sqrt{2}$
即方程的两个根为$x_1=3+2\sqrt{2}$，$x_2=3-2\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程 2.二次根式化简
【点评】
本题是基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题关键是牢记正数开平方有正负两个结果，避免漏根，同时要注意移项时符号的变化，不要混淆常数项的符号。
【难度系数】
0.8
3.一元二次方程$(x+4)^2=9$可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为$x+4=3$，则另一个一元一次方程为(
A.$x-4=3$
B.$x+4=-9$
C.$x+4=9$
D.$x+4=-3$
D
)A.$x-4=3$
B.$x+4=-9$
C.$x+4=9$
D.$x+4=-3$
答案
D
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题核心是运用平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根。首先观察方程特征：左边是关于x的完全平方式，右边是正数9，符合直接开平方的条件。对等式两边开平方时，完全平方式对应的整体要等于右边正数的正负两个平方根，已知其中一个是正的平方根对应的方程，就能推出另一个是负的平方根对应的方程。
【解析】
根据平方根的定义：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$。
对于方程$(x+4)^2=9$，等式两边同时开平方可得：
$x+4=\sqrt{9}$ 或 $x+4=-\sqrt{9}$
化简得$x+4=3$或$x+4=-3$，
已知其中一个一元一次方程为$x+4=3$，因此另一个为$x+4=-3$。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查对直接开平方法解方程原理的理解，熟练掌握平方根的性质即可快速得出答案，是一元二次方程解法中的基础考点。
【难度系数】
0.9
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题核心是运用平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根。首先观察方程特征：左边是关于x的完全平方式，右边是正数9，符合直接开平方的条件。对等式两边开平方时，完全平方式对应的整体要等于右边正数的正负两个平方根，已知其中一个是正的平方根对应的方程，就能推出另一个是负的平方根对应的方程。
【解析】
根据平方根的定义：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$。
对于方程$(x+4)^2=9$，等式两边同时开平方可得：
$x+4=\sqrt{9}$ 或 $x+4=-\sqrt{9}$
化简得$x+4=3$或$x+4=-3$，
已知其中一个一元一次方程为$x+4=3$，因此另一个为$x+4=-3$。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查对直接开平方法解方程原理的理解，熟练掌握平方根的性质即可快速得出答案，是一元二次方程解法中的基础考点。
【难度系数】
0.9
4.若关于x的方程$(x-3)^2=m+7$可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是（
A.$m＞3$
B.$m≥3$
C.$m＞-7$
D.$m≥-7$
D
）A.$m＞3$
B.$m≥3$
C.$m＞-7$
D.$m≥-7$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确直接开平方法解一元二次方程的适用条件：我们知道任意实数的平方都是非负数，因此对形如$a^2=b$的方程用直接开平方法求解时，等号右侧的$b$必须是非负数，否则方程没有实数根，无法用直接开平方法求解。本题中等式左侧是$(x-3)^2$，本身就是平方形式，取值恒大于等于0，因此只需让右侧的$m+7$满足非负要求，列出不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 用直接开平方法求解形如$a^2=b$的方程时，要求$b≥0$
本题给出的方程为$(x-3)^2=m+7$
∴ $m+7≥0$
解该不等式得：$m≥-7$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方的非负性
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法的适用前提，掌握平方数的非负性是解题的关键，牢记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需明确直接开平方法解一元二次方程的适用条件：我们知道任意实数的平方都是非负数，因此对形如$a^2=b$的方程用直接开平方法求解时，等号右侧的$b$必须是非负数，否则方程没有实数根，无法用直接开平方法求解。本题中等式左侧是$(x-3)^2$，本身就是平方形式，取值恒大于等于0，因此只需让右侧的$m+7$满足非负要求，列出不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 用直接开平方法求解形如$a^2=b$的方程时，要求$b≥0$
本题给出的方程为$(x-3)^2=m+7$
∴ $m+7≥0$
解该不等式得：$m≥-7$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方的非负性
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法的适用前提，掌握平方数的非负性是解题的关键，牢记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
5.已知关于$x$的方程$x^2=p$.
(1)当$p$
(2)当$p$
(3)当$p$
(1)当$p$
＞
$0$时,方程有两个不相等的实数根;(2)当$p$
=
$0$时,方程有两个相等的实数根;(3)当$p$
＜
$0$时,方程无实数根.答案
(1)＞ (2)= (3)＜
解析
【分析】
本题需要结合平方根的性质判断一元二次方程$x^2=p$的根的情况，解题思路如下：首先回忆平方根的存在规律：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0本身，负数没有平方根，再将三种情况对应到方程根的三种状态，即可推出$p$的取值范围。
【解析】
根据平方根的性质逐一分析：
(1) 当$p＞0$时，正数存在两个不相等的平方根，此时方程的解为$x=\pm\sqrt{p}$，对应方程有两个不相等的实数根；
(2) 当$p=0$时，0的平方根仅有0一个，此时方程的解为$x_1=x_2=0$，对应方程有两个相等的实数根；
(3) 当$p＜0$时，负数不存在平方根，此时方程没有符合条件的实数解，即无实数根。
【答案】
(1)＞ (2)= (3)＜
【知识点】
平方根的性质；直接开平方法解方程；一元二次方程根的判定
【点评】
本题是基础题型，核心考查平方根的基本性质和直接开平方法解一元二次方程的基础规则，熟练掌握平方根的存在条件即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题需要结合平方根的性质判断一元二次方程$x^2=p$的根的情况，解题思路如下：首先回忆平方根的存在规律：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0本身，负数没有平方根，再将三种情况对应到方程根的三种状态，即可推出$p$的取值范围。
【解析】
根据平方根的性质逐一分析：
(1) 当$p＞0$时，正数存在两个不相等的平方根，此时方程的解为$x=\pm\sqrt{p}$，对应方程有两个不相等的实数根；
(2) 当$p=0$时，0的平方根仅有0一个，此时方程的解为$x_1=x_2=0$，对应方程有两个相等的实数根；
(3) 当$p＜0$时，负数不存在平方根，此时方程没有符合条件的实数解，即无实数根。
【答案】
(1)＞ (2)= (3)＜
【知识点】
平方根的性质；直接开平方法解方程；一元二次方程根的判定
【点评】
本题是基础题型，核心考查平方根的基本性质和直接开平方法解一元二次方程的基础规则，熟练掌握平方根的存在条件即可快速解题。
【难度系数】
0.9
6.若一元二次方程$4x^2 -8=0$的根分别是$a,b$,且$a＜b$,则$a$的值为
$-\sqrt{2}$
.答案
$-\sqrt{2}$
解析
【分析】
拿到这道题首先观察方程特征，该一元二次方程没有一次项，适合用直接开平方法求解。思考步骤如下：第一步先将常数项移到方程右侧，第二步把二次项系数化为1，得到$x^2$等于常数的形式，第三步对常数开平方得到两个互为相反数的根，最后根据$a＜b$的大小关系，选择较小的根即为$a$的值。
【解析】
解：求解方程$4x^2 - 8 = 0$：
1. 移项，得$4x^2 = 8$
2. 两边同时除以4，将二次项系数化为1，得$x^2 = 2$
3. 直接开平方，得$x = \sqrt{2}$或$x = -\sqrt{2}$
已知方程两根为$a、b$，且$a ＜ b$，因此较小的根为$a$，即$a = -\sqrt{2}$。
【答案】
$-\sqrt{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根运算、实数大小比较
【点评】
本题属于直接开平方法的基础应用，主要考查对无一次项的一元二次方程的求解能力，解题时需注意正数的平方根有两个且互为相反数，结合大小要求筛选对应根即可。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先观察方程特征，该一元二次方程没有一次项，适合用直接开平方法求解。思考步骤如下：第一步先将常数项移到方程右侧，第二步把二次项系数化为1，得到$x^2$等于常数的形式，第三步对常数开平方得到两个互为相反数的根，最后根据$a＜b$的大小关系，选择较小的根即为$a$的值。
【解析】
解：求解方程$4x^2 - 8 = 0$：
1. 移项，得$4x^2 = 8$
2. 两边同时除以4，将二次项系数化为1，得$x^2 = 2$
3. 直接开平方，得$x = \sqrt{2}$或$x = -\sqrt{2}$
已知方程两根为$a、b$，且$a ＜ b$，因此较小的根为$a$，即$a = -\sqrt{2}$。
【答案】
$-\sqrt{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根运算、实数大小比较
【点评】
本题属于直接开平方法的基础应用，主要考查对无一次项的一元二次方程的求解能力，解题时需注意正数的平方根有两个且互为相反数，结合大小要求筛选对应根即可。
【难度系数】
0.9
7.用直接开平方法解一元二次方程$\frac{1}{4}(x-1)^2=9$的步骤如下：
①$(x-1)^2=36$；②$x-1=6$；③$x=7$。
其中开始出现错误的步骤是
①$(x-1)^2=36$；②$x-1=6$；③$x=7$。
其中开始出现错误的步骤是
②
.(填序号)答案
②
解析
【分析】
要找出错误步骤，首先回忆直接开平方法解一元二次方程的规则：对于形如$a^2=b$（$b≥0$）的方程，开平方后可得$a=\pm\sqrt{b}$，正数的平方根有两个，互为相反数，不能漏写负的平方根。我们依次验证每一步：首先检查步骤①消去平方项系数的计算是否正确，再检查步骤②开平方的操作是否符合平方根的性质，即可定位错误步骤。
【解析】
逐步骤验证计算正确性：
1. 原方程为$\frac{1}{4}(x-1)^2=9$，两边同时乘4消去系数，得$(x-1)^2=9×4=36$，因此步骤①计算正确。
2. 对$(x-1)^2=36$用直接开平方法计算，因为36是正数，有两个互为相反数的平方根，所以开平方后应为$x-1=\pm6$，但题中步骤②仅写了$x-1=6$，漏了$x-1=-6$的情况，因此步骤②开始出错。
【答案】
②
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法的基础易错题，解题关键是牢记正数开平方会得到两个互为相反数的结果，避免漏写负号出现漏解的问题。
【难度系数】
0.8
要找出错误步骤，首先回忆直接开平方法解一元二次方程的规则：对于形如$a^2=b$（$b≥0$）的方程，开平方后可得$a=\pm\sqrt{b}$，正数的平方根有两个，互为相反数，不能漏写负的平方根。我们依次验证每一步：首先检查步骤①消去平方项系数的计算是否正确，再检查步骤②开平方的操作是否符合平方根的性质，即可定位错误步骤。
【解析】
逐步骤验证计算正确性：
1. 原方程为$\frac{1}{4}(x-1)^2=9$，两边同时乘4消去系数，得$(x-1)^2=9×4=36$，因此步骤①计算正确。
2. 对$(x-1)^2=36$用直接开平方法计算，因为36是正数，有两个互为相反数的平方根，所以开平方后应为$x-1=\pm6$，但题中步骤②仅写了$x-1=6$，漏了$x-1=-6$的情况，因此步骤②开始出错。
【答案】
②
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法的基础易错题，解题关键是牢记正数开平方会得到两个互为相反数的结果，避免漏写负号出现漏解的问题。
【难度系数】
0.8
8.【开放题】若关于$x$的一元二次方程$(x+3)^2 = c$有两个不相等的实数根，则$c$的值可以为
4(答案不唯一)
.(写出一个即可)答案
4(答案不唯一)
解析
【分析】
我们可结合直接开平方法解一元二次方程的规则推导c的取值范围：形如$a^2=b$的方程，只有$b≥0$时有实数根。若要方程有两个不相等的实数根，当$c=0$时，方程仅能得到1个相等的实数根$x=-3$；当$c＜0$时，方程无实数根；只有当$c＞0$时，方程才有两个不相等的实数根$x=-3\pm\sqrt{c}$，因此只需写出任意一个大于0的数即可满足要求。
【解析】
解：已知一元二次方程$(x+3)^2 = c$有两个不相等的实数根，
根据平方的非负性可得$(x+3)^2≥0$，
若方程有两个不相等的实数根，则$c＞0$，
因此可取任意正数作为c的值，例如$c=4$。
【答案】
4(答案不唯一)
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方的非负性
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查直接开平方法解方程的适用条件，明确正数有两个互为相反数的平方根即可快速写出符合要求的答案。
【难度系数】
0.9
我们可结合直接开平方法解一元二次方程的规则推导c的取值范围：形如$a^2=b$的方程，只有$b≥0$时有实数根。若要方程有两个不相等的实数根，当$c=0$时，方程仅能得到1个相等的实数根$x=-3$；当$c＜0$时，方程无实数根；只有当$c＞0$时，方程才有两个不相等的实数根$x=-3\pm\sqrt{c}$，因此只需写出任意一个大于0的数即可满足要求。
【解析】
解：已知一元二次方程$(x+3)^2 = c$有两个不相等的实数根，
根据平方的非负性可得$(x+3)^2≥0$，
若方程有两个不相等的实数根，则$c＞0$，
因此可取任意正数作为c的值，例如$c=4$。
【答案】
4(答案不唯一)
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方的非负性
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查直接开平方法解方程的适用条件，明确正数有两个互为相反数的平方根即可快速写出符合要求的答案。
【难度系数】
0.9
1.若关于$x$的方程$(ax-1)^2 -16=0$的一个根是2，则$a$的值为（
A.$\frac{5}{2}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$-\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$
D.$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$
D
）A.$\frac{5}{2}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$-\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$
D.$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$
答案
D
解析
【分析】
根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此我们可以将已知根x=2代入原方程，得到仅含参数a的方程，再结合本节课所学的直接开平方法求解该方程即可。注意开平方时正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解。
【解析】
解：
∵x=2是方程$(ax-1)^2 -16=0$的根
∴将x=2代入原方程，可得：
$(2a-1)^2 -16=0$
移项得：$(2a-1)^2=16$
用直接开平方法开平方得：$2a-1=\pm4$
分两种情况计算：
①当$2a-1=4$时，$2a=5$，解得$a=\frac{5}{2}$
②当$2a-1=-4$时，$2a=-3$，解得$a=-\frac{3}{2}$
因此a的值为$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；直接开平方法解方程
【点评】
本题是基础的参数求解类题目，核心是利用方程根的定义将已知根代入原方程，转化为关于参数的方程求解，解题时注意开平方运算的结果有两种，避免漏解即可。
【难度系数】
0.8
根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此我们可以将已知根x=2代入原方程，得到仅含参数a的方程，再结合本节课所学的直接开平方法求解该方程即可。注意开平方时正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解。
【解析】
解：
∵x=2是方程$(ax-1)^2 -16=0$的根
∴将x=2代入原方程，可得：
$(2a-1)^2 -16=0$
移项得：$(2a-1)^2=16$
用直接开平方法开平方得：$2a-1=\pm4$
分两种情况计算：
①当$2a-1=4$时，$2a=5$，解得$a=\frac{5}{2}$
②当$2a-1=-4$时，$2a=-3$，解得$a=-\frac{3}{2}$
因此a的值为$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；直接开平方法解方程
【点评】
本题是基础的参数求解类题目，核心是利用方程根的定义将已知根代入原方程，转化为关于参数的方程求解，解题时注意开平方运算的结果有两种，避免漏解即可。
【难度系数】
0.8
