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3.【教材P2问题2变式】学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场），计划安排21场比赛，应安排多少支球队参赛？设应安排x支球队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（
A.$x^2=21$
B.$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
C.$x(x-1)=21$
D.$\frac{1}{2}x(x+1)=21$
B
）A.$x^2=21$
B.$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
C.$x(x-1)=21$
D.$\frac{1}{2}x(x+1)=21$
答案
B
解析
【分析】
首先明确单循环赛制的规则：每两支球队之间仅比赛1场，不存在重复计数的情况。解题时先推导x支球队的总比赛场次计算方法：先算每支球队的比赛场次，再排除两队之间同一场比赛被重复计算的部分，最后结合总场次为21的条件，即可列出对应方程。
【解析】
解：设应安排x支球队参赛。
每支球队需要和除自身外的其余$(x-1)$支球队各赛1场，若直接计算$x(x-1)$，则每一场比赛会被重复计算2次（如A对阵B和B对阵A实际为同一场比赛），因此实际总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。
已知计划安排21场比赛，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=21$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 单循环赛制计数
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，解题核心是准确理解单循环赛制的规则，理清总场次的计算逻辑，避免出现重复计数的错误。
【难度系数】
0.8
首先明确单循环赛制的规则：每两支球队之间仅比赛1场，不存在重复计数的情况。解题时先推导x支球队的总比赛场次计算方法：先算每支球队的比赛场次，再排除两队之间同一场比赛被重复计算的部分，最后结合总场次为21的条件，即可列出对应方程。
【解析】
解：设应安排x支球队参赛。
每支球队需要和除自身外的其余$(x-1)$支球队各赛1场，若直接计算$x(x-1)$，则每一场比赛会被重复计算2次（如A对阵B和B对阵A实际为同一场比赛），因此实际总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。
已知计划安排21场比赛，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=21$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 单循环赛制计数
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，解题核心是准确理解单循环赛制的规则，理清总场次的计算逻辑，避免出现重复计数的错误。
【难度系数】
0.8
4.【整体思想】若$m$是一元二次方程$x^2 - x = 1$的一个根，则$m^2 - m + 2025$的值为
2026
.答案
2026
解析
【分析】
本题可结合一元二次方程根的定义和整体思想求解，解题思路如下：第一步，根据一元二次方程根的定义，根是能使方程左右两边相等的未知数的值，将x=m代入原方程，可直接得到m² - m的取值；第二步，观察待求代数式的结构，发现代数式包含m² - m这一整体，将第一步得到的结果整体代入计算即可，无需求解m的具体数值，简化计算过程。
【解析】
解：
∵m是一元二次方程$x^2 - x = 1$的一个根，
∴将$x=m$代入方程，等式成立，即$m^2 - m = 1$，
把$m^2 - m = 1$代入$m^2 - m + 2025$得：
原式$=1 + 2025 = 2026$。
【答案】
2026
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题侧重考查对一元二次方程根的定义的理解，运用整体代入的思想可以跳过求解方程根的步骤，快速得到代数式的值，是代数式求值类题型的常用技巧，能有效减少计算量、降低出错概率。
【难度系数】
0.9
本题可结合一元二次方程根的定义和整体思想求解，解题思路如下：第一步，根据一元二次方程根的定义，根是能使方程左右两边相等的未知数的值，将x=m代入原方程，可直接得到m² - m的取值；第二步，观察待求代数式的结构，发现代数式包含m² - m这一整体，将第一步得到的结果整体代入计算即可，无需求解m的具体数值，简化计算过程。
【解析】
解：
∵m是一元二次方程$x^2 - x = 1$的一个根，
∴将$x=m$代入方程，等式成立，即$m^2 - m = 1$，
把$m^2 - m = 1$代入$m^2 - m + 2025$得：
原式$=1 + 2025 = 2026$。
【答案】
2026
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题侧重考查对一元二次方程根的定义的理解，运用整体代入的思想可以跳过求解方程根的步骤，快速得到代数式的值，是代数式求值类题型的常用技巧，能有效减少计算量、降低出错概率。
【难度系数】
0.9
1.【教材P3练习T2变式】根据下列问题，列出一元二次方程，将所列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)一个直角三角形的斜边长为10 cm，两条直角边长相差2 cm，求较长直角边的长；
(2)某学校计划在一块长8米、宽6米的矩形草坪的中央划出面积为16平方米的矩形地块栽花，使这块矩形草坪四周的草地的宽度都一样，求四周草地的宽度。
(1)一个直角三角形的斜边长为10 cm，两条直角边长相差2 cm，求较长直角边的长；
(2)某学校计划在一块长8米、宽6米的矩形草坪的中央划出面积为16平方米的矩形地块栽花，使这块矩形草坪四周的草地的宽度都一样，求四周草地的宽度。
答案
解:(1)设较长直角边的长为x cm,则较短直角边的长为$(x−2)$ cm，
由勾股定理得$x^2+(x−2)^2=10^2$，
化为一般形式为$x^2−2x−48=0$，
二次项系数为1,一次项系数为−2,常数项为−48.
(2)设四周草地的宽度为x米,则由题意得
$(8−2x)(6−2x)=16$，
化为一般形式为$x^2−7x+8=0$，
二次项系数为1,一次项系数为−7,常数项为8.
由勾股定理得$x^2+(x−2)^2=10^2$，
化为一般形式为$x^2−2x−48=0$，
二次项系数为1,一次项系数为−2,常数项为−48.
(2)设四周草地的宽度为x米,则由题意得
$(8−2x)(6−2x)=16$，
化为一般形式为$x^2−7x+8=0$，
二次项系数为1,一次项系数为−7,常数项为8.
解析
【分析】
本题考查根据实际问题列一元二次方程并整理为一般形式，解题思路如下：
(1) 针对直角三角形边长问题，先设较长直角边长为未知数，用未知数表示出较短直角边长，再根据勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）列方程，最后将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，对应写出各项系数，注意系数要包含本身的符号。
(2) 针对矩形草坪栽花问题，先设四周草地的宽度为未知数，结合四周宽度相同的条件，表示出中央栽花矩形的长和宽，再根据矩形面积公式，利用中央地块面积为16平方米的等量关系列方程，整理为一般形式后确定各项系数。
【解析】
(1) 设较长直角边的长为$x\ \mathrm{cm}$，则较短直角边的长为$(x-2)\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$x^2+(x-2)^2=10^2$，
整理为一般形式：
$x^2+x^2-4x+4=100$
$2x^2-4x-96=0$，两边同除以2得$x^2-2x-48=0$，
二次项系数为$1$，一次项系数为$-2$，常数项为$-48$。
(2) 设四周草地的宽度为$x$米，
则中央栽花矩形的长为$(8-2x)$米，宽为$(6-2x)$米，
由矩形面积公式得：$(8-2x)(6-2x)=16$，
整理为一般形式：
$48-28x+4x^2=16$
$4x^2-28x+32=0$，两边同除以4得$x^2-7x+8=0$，
二次项系数为$1$，一次项系数为$-7$，常数项为$8$。
【答案】
(1) 方程一般形式为$x^2-2x-48=0$，二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为-48；
(2) 方程一般形式为$x^2-7x+8=0$，二次项系数为1，一次项系数为-7，常数项为8。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 勾股定理
3. 矩形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程基础应用题，重点考查从实际问题中提取等量关系列方程的能力，以及对一元二次方程各项系数的识别能力，解题时需注意系数要包含本身的符号，整理一般形式时通常将二次项系数化为最简正整数。
【难度系数】
0.8
本题考查根据实际问题列一元二次方程并整理为一般形式，解题思路如下：
(1) 针对直角三角形边长问题，先设较长直角边长为未知数，用未知数表示出较短直角边长，再根据勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）列方程，最后将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，对应写出各项系数，注意系数要包含本身的符号。
(2) 针对矩形草坪栽花问题，先设四周草地的宽度为未知数，结合四周宽度相同的条件，表示出中央栽花矩形的长和宽，再根据矩形面积公式，利用中央地块面积为16平方米的等量关系列方程，整理为一般形式后确定各项系数。
【解析】
(1) 设较长直角边的长为$x\ \mathrm{cm}$，则较短直角边的长为$(x-2)\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$x^2+(x-2)^2=10^2$，
整理为一般形式：
$x^2+x^2-4x+4=100$
$2x^2-4x-96=0$，两边同除以2得$x^2-2x-48=0$，
二次项系数为$1$，一次项系数为$-2$，常数项为$-48$。
(2) 设四周草地的宽度为$x$米，
则中央栽花矩形的长为$(8-2x)$米，宽为$(6-2x)$米，
由矩形面积公式得：$(8-2x)(6-2x)=16$，
整理为一般形式：
$48-28x+4x^2=16$
$4x^2-28x+32=0$，两边同除以4得$x^2-7x+8=0$，
二次项系数为$1$，一次项系数为$-7$，常数项为$8$。
【答案】
(1) 方程一般形式为$x^2-2x-48=0$，二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为-48；
(2) 方程一般形式为$x^2-7x+8=0$，二次项系数为1，一次项系数为-7，常数项为8。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 勾股定理
3. 矩形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程基础应用题，重点考查从实际问题中提取等量关系列方程的能力，以及对一元二次方程各项系数的识别能力，解题时需注意系数要包含本身的符号，整理一般形式时通常将二次项系数化为最简正整数。
【难度系数】
0.8
2.【新定义问题】如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是$Rt△ ABC$和$Rt△ BED$的边长，易知$AE=\sqrt{2}c$，这时我们把关于x的形如$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如$3x^2+5\sqrt{2}x+4=0$是“勾系一元二次方程”。请解决下列问题：
(1)方程$x^2+2x+1=0$
(2)若$x=-1$是“勾系一元二次方程”$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求$△ ABC$的面积。
(1)方程$x^2+2x+1=0$
是
“勾系一元二次方程”；(填“是”或“不是”)(2)若$x=-1$是“勾系一元二次方程”$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求$△ ABC$的面积。
答案
解:(1)是
(2)把$x=−1$代入方程，
得$a−\sqrt{2}c+b=0$,即$a+b=\sqrt{2}c$.
由题意得$2a+2b+\sqrt{2}c=12$，
即$2(a+b)+\sqrt{2}c=12,∴3\sqrt{2}c=12$.
$∴c=2\sqrt{2}. ∴a+b=\sqrt{2}c=4$.
易知$a^2+b^2=c^2=8,(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=16,∴ab=4. ∴S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=2$.
(2)把$x=−1$代入方程，
得$a−\sqrt{2}c+b=0$,即$a+b=\sqrt{2}c$.
由题意得$2a+2b+\sqrt{2}c=12$，
即$2(a+b)+\sqrt{2}c=12,∴3\sqrt{2}c=12$.
$∴c=2\sqrt{2}. ∴a+b=\sqrt{2}c=4$.
易知$a^2+b^2=c^2=8,(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=16,∴ab=4. ∴S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=2$.
解析
【分析】
(1) 判断方程是否为“勾系一元二次方程”，首先对照定义：方程需为$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$的形式，且a、b、c是直角三角形三边，满足$a^2+b^2=c^2$。先将给定方程和定义式对比得到a、b、c的值，再验证三边是否满足勾股定理即可。
(2) 第二问解题分三步：第一步将根代入方程，得到a、b、c的数量关系；第二步结合四边形周长公式，代入上一步的关系求出c的值和$a+b$的值；第三步利用勾股定理和完全平方公式求出ab的值，最后计算三角形面积。
【解析】
(1) 方程$x^2+2x+1=0$对照$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$的形式，可得$a=1$，$b=1$，$\sqrt{2}c=2$，解得$c=\sqrt{2}$。
验证勾股关系：$a^2+b^2=1^2+1^2=2$，$c^2=(\sqrt{2})^2=2$，即$a^2+b^2=c^2$，符合要求，因此该方程是“勾系一元二次方程”。
(2) ① 把$x=-1$代入方程$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$，得：
$a×(-1)^2+\sqrt{2}c×(-1)+b=0$，整理得$a+b=\sqrt{2}c$。
② 四边形ACDE的周长为$AC+CD+DE+EA=b+(a+b)+a+\sqrt{2}c=2a+2b+\sqrt{2}c$，已知周长为12，即$2(a+b)+\sqrt{2}c=12$。
将$a+b=\sqrt{2}c$代入得$2×\sqrt{2}c+\sqrt{2}c=3\sqrt{2}c=12$，解得$c=2\sqrt{2}$，因此$a+b=\sqrt{2}c=4$。
③ 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2=(2\sqrt{2})^2=8$。
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a+b=4$、$a^2+b^2=8$得：
$4^2=8+2ab$，解得$ab=4$。
因此$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
(1) 是；(2) 2
【知识点】
一元二次方程根的定义，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题结合新定义考察多个知识点的综合运用，解题关键是准确理解新定义，理清各量之间的关联，再结合代数变形和几何公式逐步推导。
【难度系数】
0.7
(1) 判断方程是否为“勾系一元二次方程”，首先对照定义：方程需为$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$的形式，且a、b、c是直角三角形三边，满足$a^2+b^2=c^2$。先将给定方程和定义式对比得到a、b、c的值，再验证三边是否满足勾股定理即可。
(2) 第二问解题分三步：第一步将根代入方程，得到a、b、c的数量关系；第二步结合四边形周长公式，代入上一步的关系求出c的值和$a+b$的值；第三步利用勾股定理和完全平方公式求出ab的值，最后计算三角形面积。
【解析】
(1) 方程$x^2+2x+1=0$对照$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$的形式，可得$a=1$，$b=1$，$\sqrt{2}c=2$，解得$c=\sqrt{2}$。
验证勾股关系：$a^2+b^2=1^2+1^2=2$，$c^2=(\sqrt{2})^2=2$，即$a^2+b^2=c^2$，符合要求，因此该方程是“勾系一元二次方程”。
(2) ① 把$x=-1$代入方程$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$，得：
$a×(-1)^2+\sqrt{2}c×(-1)+b=0$，整理得$a+b=\sqrt{2}c$。
② 四边形ACDE的周长为$AC+CD+DE+EA=b+(a+b)+a+\sqrt{2}c=2a+2b+\sqrt{2}c$，已知周长为12，即$2(a+b)+\sqrt{2}c=12$。
将$a+b=\sqrt{2}c$代入得$2×\sqrt{2}c+\sqrt{2}c=3\sqrt{2}c=12$，解得$c=2\sqrt{2}$，因此$a+b=\sqrt{2}c=4$。
③ 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2=(2\sqrt{2})^2=8$。
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a+b=4$、$a^2+b^2=8$得：
$4^2=8+2ab$，解得$ab=4$。
因此$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
(1) 是；(2) 2
【知识点】
一元二次方程根的定义，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题结合新定义考察多个知识点的综合运用，解题关键是准确理解新定义，理清各量之间的关联，再结合代数变形和几何公式逐步推导。
【难度系数】
0.7
