登录
1.【教材P3练习T1变式】将方程$3(2x^2 -1)=(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})+3x+5$化成一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（
A.$5,3,5$
B.$5,-3,-5$
C.$7,\sqrt{3},2$
D.$8,6,1$
B
）A.$5,3,5$
B.$5,-3,-5$
C.$7,\sqrt{3},2$
D.$8,6,1$
答案
B
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先利用整式运算法则（包括平方差公式）展开方程左右两边，再通过移项、合并同类项将方程化为一般形式，最后对应提取各项系数即可，注意系数要包含前面的符号。
【解析】
第一步：展开方程左右两边
左边去括号：$3(2x^2 -1)=6x^2 - 3$
右边利用平方差公式计算$(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=x^2 - (\sqrt{3})^2=x^2 - 3$，因此右边整体化简为：$x^2 - 3 + 3x + 5 = x^2 + 3x + 2$
第二步：整理为一元二次方程一般形式
原方程可化为：$6x^2 - 3 = x^2 + 3x + 2$
将右侧所有项移到左侧（移项要变号）：$6x^2 - 3 - x^2 - 3x - 2 = 0$
合并同类项得：$5x^2 - 3x - 5 = 0$
第三步：对应提取各项系数
二次项系数为5，一次项系数为-3，常数项为-5，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程一般形式，平方差公式，整式化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程的化简，解题时需注意两点：一是运用平方差公式计算时不要出错，二是移项时记得变号，确定各项系数时要带上前面的正负号，避免因符号问题选错答案。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先利用整式运算法则（包括平方差公式）展开方程左右两边，再通过移项、合并同类项将方程化为一般形式，最后对应提取各项系数即可，注意系数要包含前面的符号。
【解析】
第一步：展开方程左右两边
左边去括号：$3(2x^2 -1)=6x^2 - 3$
右边利用平方差公式计算$(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=x^2 - (\sqrt{3})^2=x^2 - 3$，因此右边整体化简为：$x^2 - 3 + 3x + 5 = x^2 + 3x + 2$
第二步：整理为一元二次方程一般形式
原方程可化为：$6x^2 - 3 = x^2 + 3x + 2$
将右侧所有项移到左侧（移项要变号）：$6x^2 - 3 - x^2 - 3x - 2 = 0$
合并同类项得：$5x^2 - 3x - 5 = 0$
第三步：对应提取各项系数
二次项系数为5，一次项系数为-3，常数项为-5，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程一般形式，平方差公式，整式化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程的化简，解题时需注意两点：一是运用平方差公式计算时不要出错，二是移项时记得变号，确定各项系数时要带上前面的正负号，避免因符号问题选错答案。
【难度系数】
0.8
2.下列各数中,是一元二次方程$x^2 + 3x + 2 = 0$的根的是(
A.-2
B.0
C.2
D.3
A
)A.-2
B.0
C.2
D.3
答案
A
解析
【分析】
首先明确一元二次方程的根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。解决这道题有两种常用思路：思路一，直接求解这个一元二次方程，得到根之后对应选项即可；思路二，将四个选项的数值逐一代入方程左边计算，若结果等于右边的0，该数就是方程的根，这种代入验证的方法做选择题效率更高。
【解析】
方法一（代入验证法）：
根据方程根的定义，将各选项代入方程$x^2 + 3x + 2 = 0$左边计算：
A选项：当$x=-2$时，左边$=(-2)^2 + 3×(-2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$，左边=右边，故$x=-2$是方程的根；
B选项：当$x=0$时，左边$=0^2 + 3×0 + 2 = 2 ≠ 0$，不是方程的根；
C选项：当$x=2$时，左边$=2^2 + 3×2 + 2 = 4 + 6 + 2 = 12 ≠ 0$，不是方程的根；
D选项：当$x=3$时，左边$=3^2 + 3×3 + 2 = 9 + 9 + 2 = 20 ≠ 0$，不是方程的根。
方法二（直接求解法）：
对一元二次方程$x^2 + 3x + 2 = 0$因式分解，得$(x+1)(x+2)=0$，
则$x+1=0$或$x+2=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=-2$，
选项中只有A选项的-2是方程的根。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考查题，既可以通过直接求解方程得到答案，也可以用代入验证法快速选出正确选项，代入法是做选择题的常用技巧，能提升解题效率。
【难度系数】
0.9
首先明确一元二次方程的根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。解决这道题有两种常用思路：思路一，直接求解这个一元二次方程，得到根之后对应选项即可；思路二，将四个选项的数值逐一代入方程左边计算，若结果等于右边的0，该数就是方程的根，这种代入验证的方法做选择题效率更高。
【解析】
方法一（代入验证法）：
根据方程根的定义，将各选项代入方程$x^2 + 3x + 2 = 0$左边计算：
A选项：当$x=-2$时，左边$=(-2)^2 + 3×(-2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$，左边=右边，故$x=-2$是方程的根；
B选项：当$x=0$时，左边$=0^2 + 3×0 + 2 = 2 ≠ 0$，不是方程的根；
C选项：当$x=2$时，左边$=2^2 + 3×2 + 2 = 4 + 6 + 2 = 12 ≠ 0$，不是方程的根；
D选项：当$x=3$时，左边$=3^2 + 3×3 + 2 = 9 + 9 + 2 = 20 ≠ 0$，不是方程的根。
方法二（直接求解法）：
对一元二次方程$x^2 + 3x + 2 = 0$因式分解，得$(x+1)(x+2)=0$，
则$x+1=0$或$x+2=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=-2$，
选项中只有A选项的-2是方程的根。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考查题，既可以通过直接求解方程得到答案，也可以用代入验证法快速选出正确选项，代入法是做选择题的常用技巧，能提升解题效率。
【难度系数】
0.9
3.下列方程:①$x^2=16$;②$\frac{x^2+3x}{2}=5$;③$x^2-\frac{1}{x}=2$;④$2x^2+y-1=0$;⑤$(x-1)(x+3)=x^2+7$;⑥$k^2x^2+2kx-6=0$.其中是一元二次方程的是
①②
.(填序号)答案
①②
解析
【分析】
要判断给定的方程是否为一元二次方程，首先需要明确一元二次方程的核心判定条件：1. 是整式方程；2. 只含有1个未知数；3. 未知数的最高次数为2，且化简后二次项系数不为0。解题时逐一对照这三个条件对每个方程进行验证即可。
【解析】
首先明确一元二次方程的判定标准：需同时满足三个条件：①是整式方程；②仅含一个未知数；③未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。对各方程逐一判断：
①$x^2=16$：是整式方程，仅含未知数$x$，最高次数为2，二次项系数为1≠0，符合一元二次方程定义；
②$\frac{x^2+3x}{2}=5$：整理得$x^2+3x-10=0$，是整式方程，仅含未知数$x$，最高次数为2，二次项系数为1≠0，符合定义；
③$x^2-\frac{1}{x}=2$：分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合；
④$2x^2+y-1=0$：含有$x、y$两个未知数，属于二元方程，不符合；
⑤$(x-1)(x+3)=x^2+7$：左边展开得$x^2+2x-3$，移项化简后得$2x-10=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合；
⑥$k^2x^2+2kx-6=0$：未说明$k≠0$，当$k=0$时二次项系数为0，方程不是一元二次方程，不符合。
综上，是一元二次方程的为①②。
【答案】
①②
【知识点】
1. 一元二次方程的定义 2. 整式方程的判定
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，解题的关键是紧扣定义的三个判定要素逐一排查，要特别注意先对方程化简再判断最高次数，以及二次项系数不为0的隐含要求，避免漏判、错判。
【难度系数】
0.7
要判断给定的方程是否为一元二次方程，首先需要明确一元二次方程的核心判定条件：1. 是整式方程；2. 只含有1个未知数；3. 未知数的最高次数为2，且化简后二次项系数不为0。解题时逐一对照这三个条件对每个方程进行验证即可。
【解析】
首先明确一元二次方程的判定标准：需同时满足三个条件：①是整式方程；②仅含一个未知数；③未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。对各方程逐一判断：
①$x^2=16$：是整式方程，仅含未知数$x$，最高次数为2，二次项系数为1≠0，符合一元二次方程定义；
②$\frac{x^2+3x}{2}=5$：整理得$x^2+3x-10=0$，是整式方程，仅含未知数$x$，最高次数为2，二次项系数为1≠0，符合定义；
③$x^2-\frac{1}{x}=2$：分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合；
④$2x^2+y-1=0$：含有$x、y$两个未知数，属于二元方程，不符合；
⑤$(x-1)(x+3)=x^2+7$：左边展开得$x^2+2x-3$，移项化简后得$2x-10=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合；
⑥$k^2x^2+2kx-6=0$：未说明$k≠0$，当$k=0$时二次项系数为0，方程不是一元二次方程，不符合。
综上，是一元二次方程的为①②。
【答案】
①②
【知识点】
1. 一元二次方程的定义 2. 整式方程的判定
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，解题的关键是紧扣定义的三个判定要素逐一排查，要特别注意先对方程化简再判断最高次数，以及二次项系数不为0的隐含要求，避免漏判、错判。
【难度系数】
0.7
4. 根据题意列出方程:(不必求解)
(1)一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,求各边长;
(2)一个两位数,十位上的数字比个位上的数字小2,若把这个两位数的十位上的数字和个位上的数字对调,那么得到的新的两位数与原两位数的积为1855,求新的两位数.
(1)一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,求各边长;
(2)一个两位数,十位上的数字比个位上的数字小2,若把这个两位数的十位上的数字和个位上的数字对调,那么得到的新的两位数与原两位数的积为1855,求新的两位数.
答案
解:(1)设较长的直角边长为x,则另两边长分别为x+2,x−2(x−2＞0),根据题意,可得$(x+2)^2=(x−2)^2+x^2$.
(2)设原两位数个位上的数字为x,则十位上的数字为x−2,根据题意得$[10(x−2)+x]·[10x+(x−2)]=1855$.
(2)设原两位数个位上的数字为x,则十位上的数字为x−2,根据题意得$[10(x−2)+x]·[10x+(x−2)]=1855$.
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先要明确：连续偶数相差2，直角三角形满足勾股定理且斜边为最长边。我们可以设较长直角边为x，那么较短直角边为x-2，斜边为x+2（注意边长为正，故x-2＞0），再依据勾股定理的等量关系列方程即可。
(2) 解决第二问首先要掌握两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。已知十位数字比个位小2，设原数个位数字为x，则十位数字为x-2，分别写出原数和对调后新数的代数式，再根据“两数乘积为1855”的等量关系列方程即可。
【解析】
(1) 设较长的直角边长为x，则较短直角边长为x-2，斜边长为x+2，且x-2＞0。
根据直角三角形勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和，代入各边长可得：
$(x+2)^2=(x−2)^2+x^2$
(2) 设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为x-2。
原两位数可表示为：$10(x-2)+x$
对调十位与个位数字后，新两位数可表示为：$10x+(x-2)$
根据新两位数与原两位数的积为1855，列方程得：
$[10(x−2)+x]·[10x+(x−2)]=1855$
【答案】
(1) $(x+2)^2=(x−2)^2+x^2$（x为较长直角边长，x-2＞0）
(2) $[10(x−2)+x]·[10x+(x−2)]=1855$（x为原两位数个位上的数字）
【知识点】
勾股定理、一元二次方程应用、两位数表示
【点评】
本题是列一元二次方程的基础题型，重点考查学生提取等量关系、用代数式表示未知量的能力，掌握常见实际场景的等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 解决第一问首先要明确：连续偶数相差2，直角三角形满足勾股定理且斜边为最长边。我们可以设较长直角边为x，那么较短直角边为x-2，斜边为x+2（注意边长为正，故x-2＞0），再依据勾股定理的等量关系列方程即可。
(2) 解决第二问首先要掌握两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。已知十位数字比个位小2，设原数个位数字为x，则十位数字为x-2，分别写出原数和对调后新数的代数式，再根据“两数乘积为1855”的等量关系列方程即可。
【解析】
(1) 设较长的直角边长为x，则较短直角边长为x-2，斜边长为x+2，且x-2＞0。
根据直角三角形勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和，代入各边长可得：
$(x+2)^2=(x−2)^2+x^2$
(2) 设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为x-2。
原两位数可表示为：$10(x-2)+x$
对调十位与个位数字后，新两位数可表示为：$10x+(x-2)$
根据新两位数与原两位数的积为1855，列方程得：
$[10(x−2)+x]·[10x+(x−2)]=1855$
【答案】
(1) $(x+2)^2=(x−2)^2+x^2$（x为较长直角边长，x-2＞0）
(2) $[10(x−2)+x]·[10x+(x−2)]=1855$（x为原两位数个位上的数字）
【知识点】
勾股定理、一元二次方程应用、两位数表示
【点评】
本题是列一元二次方程的基础题型，重点考查学生提取等量关系、用代数式表示未知量的能力，掌握常见实际场景的等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
1.若关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 + x + a^2 -1 =0$的一个根是0，则a的值为(
A.1
B.－1
C.1或－1
D.$\frac{1}{2}$
B
)A.1
B.－1
C.1或－1
D.$\frac{1}{2}$
答案
B 点拔:本题考查对一元二次方程及其根的意义的理解和应用,将$x=0$代入方程,得$a^2−1=0$,即$a^2=1$,由平方根的意义可知$a=±1$,但作为一元二次方程,其二次项系数$a−1≠0$,故$a≠1$,所以a的值为−1. 故选B.
解析
【分析】
解题时首先结合方程根的定义思考：方程的根代入方程可使等式成立，因此先将x=0代入原方程，求出a的可能取值；再结合一元二次方程的定义分析：一元二次方程的二次项系数不能为0，据此对求出的a的取值进行筛选，排除不符合要求的取值，即可得到最终结果。
【解析】
步骤1：将根$x=0$代入原方程，可得：
$(a-1)×0^2 + 0 + a^2 -1 = 0$
化简得$a^2 -1=0$，解得$a=1$或$a=-1$。
步骤2：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，即：
$a-1≠0$，解得$a≠1$。
步骤3：排除不符合条件的$a=1$，因此$a=-1$。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程定义
2.方程根的意义
3.二次项系数非零
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选C选项，解题时要注意先明确参数的限制条件，再进行求解，避免多解错选。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合方程根的定义思考：方程的根代入方程可使等式成立，因此先将x=0代入原方程，求出a的可能取值；再结合一元二次方程的定义分析：一元二次方程的二次项系数不能为0，据此对求出的a的取值进行筛选，排除不符合要求的取值，即可得到最终结果。
【解析】
步骤1：将根$x=0$代入原方程，可得：
$(a-1)×0^2 + 0 + a^2 -1 = 0$
化简得$a^2 -1=0$，解得$a=1$或$a=-1$。
步骤2：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，即：
$a-1≠0$，解得$a≠1$。
步骤3：排除不符合条件的$a=1$，因此$a=-1$。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程定义
2.方程根的意义
3.二次项系数非零
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选C选项，解题时要注意先明确参数的限制条件，再进行求解，避免多解错选。
【难度系数】
0.7
2.某校准备修建一个面积为181 $\mathrm{m}^2$的矩形活动场地，它的长比宽多11 m，设场地的宽为$x$ m，则可列方程为(
A.$x(x-11)=181$
B.$x(x+11)=181$
C.$2x+2x(x-11)=181$
D.$2x+2x(x+11)=181$
B
)A.$x(x-11)=181$
B.$x(x+11)=181$
C.$2x+2x(x-11)=181$
D.$2x+2x(x+11)=181$
答案
B
解析
【分析】
这是一道根据实际问题列一元二次方程的基础题，解题思路分三步：第一步先根据已知条件确定矩形长的表达式，题目已经设宽为$x$ m，长比宽多11 m，因此长可表示为$(x+11)$ m；第二步确定等量关系，题目给出矩形场地面积为181 $ \mathrm{m}^2 $，对应等量关系为矩形面积=长×宽；第三步将长、宽的表达式代入等量关系，即可得到对应方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：已知场地的宽为$ x $ m，
∵长比宽多11 m，
∴长为$ (x+11) $ m，
∵矩形面积 = 长 × 宽，且场地面积为181 $ \mathrm{m}^2 $，
∴代入得：$ x(x+11)=181 $，符合选项B。
（补充：选项A对应长比宽少11 m的情况，选项C、D混淆了面积和周长公式，表达式本身也不符合周长计算逻辑，均错误。）
【答案】
B
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 矩形面积公式
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查根据实际问题中的等量关系列方程的能力，只要理清矩形长、宽的数量关系，熟记矩形面积公式就能快速求解，这类题型是方程应用的常考基础题，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
这是一道根据实际问题列一元二次方程的基础题，解题思路分三步：第一步先根据已知条件确定矩形长的表达式，题目已经设宽为$x$ m，长比宽多11 m，因此长可表示为$(x+11)$ m；第二步确定等量关系，题目给出矩形场地面积为181 $ \mathrm{m}^2 $，对应等量关系为矩形面积=长×宽；第三步将长、宽的表达式代入等量关系，即可得到对应方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：已知场地的宽为$ x $ m，
∵长比宽多11 m，
∴长为$ (x+11) $ m，
∵矩形面积 = 长 × 宽，且场地面积为181 $ \mathrm{m}^2 $，
∴代入得：$ x(x+11)=181 $，符合选项B。
（补充：选项A对应长比宽少11 m的情况，选项C、D混淆了面积和周长公式，表达式本身也不符合周长计算逻辑，均错误。）
【答案】
B
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 矩形面积公式
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查根据实际问题中的等量关系列方程的能力，只要理清矩形长、宽的数量关系，熟记矩形面积公式就能快速求解，这类题型是方程应用的常考基础题，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
