1. 下列利用等式的性质进行的变形中，错误的是（）

A.由$a=b$，得$5-2a=5-2b$
B.由$\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$，得$a=b$
C.由$a=b$，得$ac=bc$
D.由$a=b$，得$\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$

D

【分析】
解本题的核心是熟练掌握等式的基本性质，尤其要注意等式两边同时除以一个数时，这个数不能为0。解题时逐一分析每个选项的变形是否符合等式的性质即可。等式的基本性质为：1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知$a=b$，根据等式性质2，两边同时乘$-2$得$-2a=-2b$，再根据等式性质1，两边同时加5得$5-2a=5-2b$，变形正确。
B选项：已知$\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$，此时$c$作为分母，隐含$c≠0$的条件，根据等式性质2，两边同时乘$c$得$a=b$，变形正确。
C选项：已知$a=b$，根据等式性质2，两边同时乘任意数$c$，都有$ac=bc$，变形正确。
D选项：已知$a=b$，若要两边同时除以$c$得到$\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$，必须满足$c≠0$的条件，该选项未说明$c$不为0，当$c=0$时分式无意义，变形错误。
因此错误的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是等式性质的基础考查题，易错点是忽略等式两边同时除以的数不能为0的前提条件，判断涉及除法的变形时要先确认除数不为0。
【难度系数】
0.7

2. 下列方程变形中，正确的是 （）

A.由 $3 - x = -2$，得 $x = 3 + 2$
B.由 $3x = -5$，得 $x = -\dfrac{3}{5}$
C.由 $\dfrac{1}{4}y = 0$，得 $y = 4$
D.由 $4 + x = 6$，得 $x = 6 + 4$

A

【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路是依据等式的两条基本性质，对每个选项的方程变形逐一验证，判断变形是否符合规则，最终选出正确的选项。等式基本性质为：1.等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；2.等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或整式），等式仍然成立。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：由$3 - x = -2$，根据等式性质1，两边同时加$x$得$3 = -2 + x$，再两边同时加2得$3+2 = x$，即$x=3+2$，变形正确。
B选项：由$3x=-5$，根据等式性质2，两边同时除以3，得$x=-\dfrac{5}{3}$，而非$x=-\dfrac{3}{5}$，变形错误。
C选项：由$\dfrac{1}{4}y=0$，根据等式性质2，两边同时乘4，得$y=0$，而非$y=4$，变形错误。
D选项：由$4+x=6$，根据等式性质1，两边同时减4，得$x=6-4$，而非$x=6+4$，变形错误。
综上，只有A选项变形正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 一元一次方程变形
【点评】
本题属于基础题，主要考察等式基本性质在方程变形中的应用，解题时需要注意移项要变号，系数化为1时不要颠倒分子分母的位置，避免出现常见的变形错误。
【难度系数】
0.8

3. 用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并在括号内说明是根据等式的哪一条性质变形的：
(1)如果 $ x + 8 = 10 $，那么 $ x = $ (等式的性质1).
(2)如果 $ 4x = 3x + 15 $，那么 $ 4x $ $ = 15 $ ().
(3)如果 $ \frac{1}{2}x = -2 $，那么 $ x = $ ().

(1)$10-8$
(2)$-3x$，等式的性质1
(3)$-4$，等式的性质2

【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先明确等式的两条核心性质：性质1是等式两边同时加（或减）同一个数/整式，等式仍然成立；性质2是等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时观察每个小题中等式已知项和目标项的差异，确定需要对等式两边做的运算，再匹配对应的等式性质即可。
1. 第(1)题：左边为$x+8$，要得到$x$需给左边减8，根据等式性质1，右边也要同步减8，即可得到$x$的表达式。
2. 第(2)题：右边为$3x+15$，要得到15需给右边减$3x$，根据等式性质1，左边也要同步减$3x$，即可补全式子，对应性质1。
3. 第(3)题：左边为$\frac{1}{2}x$，要系数化为1得到$x$需给左边乘2，根据等式性质2，右边也要同步乘2，即可得到$x$的值，对应性质2。
【解析】
(1) 对等式$x + 8 = 10$，根据等式的性质1，两边同时减去8，左边化简为$x$，右边化简为$10-8$，因此$x=10-8$。
(2) 对等式$4x = 3x + 15$，根据等式的性质1，两边同时减去$3x$，右边化简为15，左边化简为$4x-3x$，因此$4x-3x=15$，变形依据为等式的性质1。
(3) 对等式$\frac{1}{2}x = -2$，根据等式的性质2，两边同时乘2，左边化简为$x$，右边化简为$-2×2=-4$，因此$x=-4$，变形依据为等式的性质2。
【答案】
(1)$10-8$
(2)$-3x$，等式的性质1
(3)$-4$，等式的性质2
【知识点】
等式的性质1，等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题核心是对比变形前后等式两边的变化，准确选择对应的等式性质，注意应用等式性质2时，乘除的数不能为0，该知识点是后续学习一元一次方程解法的核心基础。
【难度系数】
0.8

4. 在方程$3x - 8 = 5x$的两边都减去，得$-2x - 8 = 0$，这是根据；在方程$-2x - 8 = 0$的两边都加上，得$-2x = 8$，这是根据；在方程$-2x = 8$的两边都除以，得$x = -4$，这是根据。

$5x$ 等式的性质1 $8$ 等式的性质1 $-2$ 等式的性质2

【分析】
解题首先要明确等式的两个基本性质的内容：等式性质1为等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；等式性质2为等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来对应每一步变形分析：
① 从$3x-8=5x$到$-2x-8=0$，右边的$5x$被消去，说明两边同时减去了$5x$，符合等式性质1的特征；
② 从$-2x-8=0$到$-2x=8$，左边的$-8$被消去，说明两边同时加上了$8$，也符合等式性质1的特征；
③ 从$-2x=8$到$x=-4$，$x$的系数从$-2$变成了1，说明两边同时除以了$-2$，符合等式性质2的特征。
【解析】
1. 对$3x - 8 = 5x$，为将含$x$的项全部移到左侧，两边同时减去$5x$，左侧变为$3x-8-5x=-2x-8$，右侧变为$5x-5x=0$，得到$-2x - 8 = 0$，依据是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
2. 对$-2x - 8 = 0$，为将常数项全部移到右侧，两边同时加上$8$，左侧变为$-2x-8+8=-2x$，右侧变为$0+8=8$，得到$-2x = 8$，依据是等式的性质1。
3. 对$-2x = 8$，为将$x$的系数化为1，两边同时除以$-2$（$-2≠0$，符合性质要求），左侧变为$\frac{-2x}{-2}=x$，右侧变为$\frac{8}{-2}=-4$，得到$x=-4$，依据是等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
【答案】
$5x$ 等式的性质1 $8$ 等式的性质1 $-2$ 等式的性质2
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题属于基础概念应用题，侧重对等式两个基本性质的理解和直接运用，掌握等式性质的内容和应用规则是解题的关键，是后续学习解方程的重要基础。
【难度系数】
0.8

5. 用等式的性质解下列方程，并写出检验过程.
(1)$x - 5 = 6$.
(2)$5x + 4 = 0$.
(3)$2 - \frac{1}{4}x = 3$.

(1)方程的两边都加上 5,得 $x - 5+5=6+5$.
合并同类项,得 $x=11$.
检验:把 $x=11$ 代入方程,左边$=6=$右边,
所以 $x=11$ 是方程的解.
(2)方程的两边都减去 4,得 $5x+4-4=0-4$.
合并同类项,得 $5x=-4$,
两边都除以 5,得 $x=-\dfrac{4}{5}$.
检验:把 $x=-\dfrac{4}{5}$ 代入方程,左边$=5×(-\dfrac{4}{5})+4=0=$右边,
所以 $x=-\dfrac{4}{5}$ 是方程的解.
(3)方程的两边都减去 2,得 $2-\dfrac{1}{4}x-2=3-2$.
合并同类项,得 $-\dfrac{1}{4}x=1$.
两边都乘$-4$,得 $x=-4$.
检验:把 $x=-4$ 代入方程,左边$=2-\dfrac{1}{4}×(-4)=3=$右边,
所以 $x=-4$ 是方程的解.

【分析】
解这类方程需运用等式的基本性质逐步变形，目标是将方程化为“x=常数”的形式，具体思路如下：1. 先通过等式两边同时加或减同一个数，消去方程左边不含x的常数项；2. 再通过等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，将x的系数化为1，得到x的解；3. 最后将得到的解代入原方程，分别计算左右两边的值，若两边值相等则该解是原方程的解，每一步变形都要保证等式两边同时进行相同运算，确保等式始终成立。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，方程两边都加上5，得：
$x - 5+5=6+5$
合并同类项，得 $x=11$
检验：把 $x=11$ 代入原方程，左边$=11-5=6$，右边$=6$，左边=右边，
所以 $x=11$ 是原方程的解。
(2) 根据等式的性质1，方程两边都减去4，得：
$5x+4-4=0-4$
合并同类项，得 $5x=-4$
根据等式的性质2，两边都除以5，得 $x=-\dfrac{4}{5}$
检验：把 $x=-\dfrac{4}{5}$ 代入原方程，左边$=5×(-\dfrac{4}{5})+4=-4+4=0$，右边$=0$，左边=右边，
所以 $x=-\dfrac{4}{5}$ 是原方程的解。
(3) 根据等式的性质1，方程两边都减去2，得：
$2-\dfrac{1}{4}x-2=3-2$
合并同类项，得 $-\dfrac{1}{4}x=1$
根据等式的性质2，两边都乘$-4$，得 $x=-4$
检验：把 $x=-4$ 代入原方程，左边$=2-\dfrac{1}{4}×(-4)=2+1=3$，右边$=3$，左边=右边，
所以 $x=-4$ 是原方程的解。
【答案】
(1)$x=11$；(2)$x=-\dfrac{4}{5}$；(3)$x=-4$
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程的解法；方程的检验
【点评】
本题是等式性质应用的基础题型，重点考察解方程的规范步骤，变形时需注意等式两边需同步进行相同运算，涉及系数为分数或负数时要注意符号计算的准确性，检验环节能帮助排查计算错误，需养成良好的答题习惯。
【难度系数】
0.8

6. 解下列方程：
(1) $5x - 2x = 9$.
(2) $\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}x = 7$.
(3) $-3x + 0.5x = 10$.
(4) $6m - 1.5m - 2.5m = 3$.

(1)$x=3$.
(2)$x=\dfrac{7}{2}$.
(3)$x=-4$.
(4)$m=\dfrac{3}{2}$.

【分析】
这几道题都是仅含同类项的一元一次方程，解题思路分为两步：第一步先将方程左侧含未知数的同类项合并，把方程化简为“$ax=b$（$a\ne0$）”的形式；第二步利用等式的基本性质，等式两边同时除以未知数的系数$a$，将未知数的系数化为1，就能得到方程的解。计算过程中要注意符号、小数和分数的运算规则，避免粗心出错。
【解析】
(1) 合并同类项，得：$3x=9$
等式两边同时除以3，系数化为1，得：$x=3$
(2) 合并同类项，得：$2x=7$
等式两边同时除以2，系数化为1，得：$x=\dfrac{7}{2}$
(3) 合并同类项，得：$-2.5x=10$
等式两边同时除以$-2.5$，系数化为1，得：$x=-4$
(4) 合并同类项，得：$2m=3$
等式两边同时除以2，系数化为1，得：$m=\dfrac{3}{2}$
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=\dfrac{7}{2}$；(3)$x=-4$；(4)$m=\dfrac{3}{2}$
【知识点】
合并同类项；等式的基本性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于一元一次方程的基础运算题，核心考查合并同类项的运算能力和等式基本性质的应用能力，计算时注意符号判断和小数、分数的运算准确性即可。
【难度系数】
0.9