登录
17. 玲玲做了这样一道题:“已知两个多项式$A,B$,其中$A=x^2+3x-5$,计算$A-2B$.”她误将“$A-2B$”看成“$2A-B$”,求得的结果是$x^2+8x-7$,你能帮她求出正确答案吗?
答案
解:因为$A=x^2+3x-5,2A-B=x^2+8x-7$,
所以$B=2A-(x^2+8x-7)=2(x^2+3x-5)-(x^2+8x-7)=x^2-2x-3$,
所以$A-2B=(x^2+3x-5)-2(x^2-2x-3)=x^2+3x-5-2x^2+4x+6=-x^2+7x+1$.
所以$B=2A-(x^2+8x-7)=2(x^2+3x-5)-(x^2+8x-7)=x^2-2x-3$,
所以$A-2B=(x^2+3x-5)-2(x^2-2x-3)=x^2+3x-5-2x^2+4x+6=-x^2+7x+1$.
解析
【分析】
要得到正确的$A-2B$的结果，首先需要求出未知多项式$B$。已知$A$的表达式和误算的$2A-B$的结果，我们可以先对$2A-B=x^2+8x-7$变形得到$B=2A-(x^2+8x-7)$，代入$A$的表达式求出$B$，再将$A$和$B$代入正确的式子$A-2B$，通过去括号、合并同类项即可得到最终答案。
【解析】
已知$A=x^2+3x-5$，误算的结果$2A-B=x^2+8x-7$，
第一步：求多项式$B$：
$\begin{aligned}B&=2A-(x^2+8x-7)\\&=2(x^2+3x-5)-(x^2+8x-7)\\&=2x^2+6x-10-x^2-8x+7\\&=x^2-2x-3\end{aligned}$
第二步：计算正确的$A-2B$：
$\begin{aligned}A-2B&=(x^2+3x-5)-2(x^2-2x-3)\\&=x^2+3x-5-2x^2+4x+6\\&=-x^2+7x+1\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{-x^2+7x+1}$
【知识点】
整式的加减运算、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式加减的典型应用题型，解题核心是利用错误的运算结果反推未知多项式，需要熟练掌握去括号的符号变化规则，以及合并同类项的方法，计算时要注意符号问题，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
要得到正确的$A-2B$的结果，首先需要求出未知多项式$B$。已知$A$的表达式和误算的$2A-B$的结果，我们可以先对$2A-B=x^2+8x-7$变形得到$B=2A-(x^2+8x-7)$，代入$A$的表达式求出$B$，再将$A$和$B$代入正确的式子$A-2B$，通过去括号、合并同类项即可得到最终答案。
【解析】
已知$A=x^2+3x-5$，误算的结果$2A-B=x^2+8x-7$，
第一步：求多项式$B$：
$\begin{aligned}B&=2A-(x^2+8x-7)\\&=2(x^2+3x-5)-(x^2+8x-7)\\&=2x^2+6x-10-x^2-8x+7\\&=x^2-2x-3\end{aligned}$
第二步：计算正确的$A-2B$：
$\begin{aligned}A-2B&=(x^2+3x-5)-2(x^2-2x-3)\\&=x^2+3x-5-2x^2+4x+6\\&=-x^2+7x+1\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{-x^2+7x+1}$
【知识点】
整式的加减运算、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式加减的典型应用题型，解题核心是利用错误的运算结果反推未知多项式，需要熟练掌握去括号的符号变化规则，以及合并同类项的方法，计算时要注意符号问题，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
18.一个长方形娱乐场所的设计方案如图所示，其中半圆形休息区和长方形游泳池以外的地方都是绿地.请根据图中标注的数据解答下列问题：
(1)游泳池和休息区的面积各是多少？
(2)绿地的面积是多少？
(3)如果这个娱乐场所的长是宽的1.5倍，要求绿地面积占整个面积的一半以上.小亮同学根据要求，将游泳池的长和宽分别设计成大长方形长和宽的一半，你说他的设计符合要求吗？为什么？
(1)游泳池和休息区的面积各是多少？
(2)绿地的面积是多少？
(3)如果这个娱乐场所的长是宽的1.5倍，要求绿地面积占整个面积的一半以上.小亮同学根据要求，将游泳池的长和宽分别设计成大长方形长和宽的一半，你说他的设计符合要求吗？为什么？
答案
解:(1)游泳池的面积是$mn$,
休息区的面积是$\frac{1}{2}π×(\frac{n}{2})^2=\frac{1}{8}π n^2$.
(2)绿地的面积是$ab-mn-\frac{1}{8}π n^2$.
(3)符合要求,理由如下:
由题意,得$a=1.5b,m=0.5a,n=0.5b$,
则$(ab-mn-\frac{1}{8}π n^2)-\frac{1}{2}ab=ab-0.25ab-\frac{1}{8}π×0.25b^2-\frac{1}{2}ab=\frac{1}{4}ab-\frac{1}{32}π b^2=\frac{3}{8}b^2-\frac{1}{32}π b^2=\frac{12-π}{32}b^2＞0$,
所以$ab-mn-\frac{1}{8}π n^2＞\frac{1}{2}ab$.
休息区的面积是$\frac{1}{2}π×(\frac{n}{2})^2=\frac{1}{8}π n^2$.
(2)绿地的面积是$ab-mn-\frac{1}{8}π n^2$.
(3)符合要求,理由如下:
由题意,得$a=1.5b,m=0.5a,n=0.5b$,
则$(ab-mn-\frac{1}{8}π n^2)-\frac{1}{2}ab=ab-0.25ab-\frac{1}{8}π×0.25b^2-\frac{1}{2}ab=\frac{1}{4}ab-\frac{1}{32}π b^2=\frac{3}{8}b^2-\frac{1}{32}π b^2=\frac{12-π}{32}b^2＞0$,
所以$ab-mn-\frac{1}{8}π n^2＞\frac{1}{2}ab$.
解析
【分析】
(1) 游泳池是长为m、宽为n的长方形，直接用长方形面积公式“长×宽”即可计算其面积；休息区是直径为n的半圆形，先求出半径为$\frac{n}{2}$，再根据半圆面积是整圆面积的$\frac{1}{2}$，结合圆的面积公式计算即可。
(2) 绿地面积等于大长方形娱乐场所的总面积减去游泳池面积，再减去休息区面积，大长方形面积为长a乘宽b，代入对应表达式即可得到绿地面积。
(3) 要判断设计是否符合要求，先根据题意得到各量的关系：$a=1.5b$，$m=0.5a$，$n=0.5b$，将其代入绿地面积表达式，再和大长方形面积的$\frac{1}{2}$作差，若差值大于0，说明绿地面积超过总面积的一半，符合要求，否则不符合。
【解析】
(1) 游泳池为长方形，面积=长×宽=$mn$；
休息区为直径是$n$的半圆，半径$r=\frac{n}{2}$，则面积为$\frac{1}{2}πr^2=\frac{1}{2}π×(\frac{n}{2})^2=\frac{1}{8}πn^2$。
(2) 大长方形娱乐场所的总面积为$ab$，则绿地面积=总面积-游泳池面积-休息区面积，即$ab-mn-\frac{1}{8}πn^2$。
(3) 符合要求，理由如下：
由题意得$a=1.5b$，$m=0.5a$，$n=0.5b$，
计算绿地面积与总面积一半的差值：
$\begin{split}&(ab-mn-\frac{1}{8}πn^2)-\frac{1}{2}ab\\=&ab-0.5a×0.5b-\frac{1}{8}π×(0.5b)^2-\frac{1}{2}ab\\=&ab-0.25ab-\frac{1}{32}πb^2-\frac{1}{2}ab\\=&\frac{1}{4}ab-\frac{1}{32}πb^2\end{split}$
将$a=1.5b$代入上式：
$\begin{split}&\frac{1}{4}×1.5b×b-\frac{1}{32}πb^2\\=&\frac{3}{8}b^2-\frac{1}{32}πb^2\\=&\frac{12-π}{32}b^2\end{split}$
因为$12＞π$，且$b^2＞0$，所以$\frac{12-π}{32}b^2＞0$，即$ab-mn-\frac{1}{8}πn^2＞\frac{1}{2}ab$，因此设计符合要求。
【答案】
(1) 游泳池的面积是$mn$，休息区的面积是$\frac{1}{8}π n^2$；
(2) 绿地的面积是$ab-mn-\frac{1}{8}π n^2$；
(3) 符合要求，代入条件计算可得绿地面积大于整个娱乐场所面积的一半，满足要求。
【知识点】
面积公式应用、列代数式、整式加减运算
【点评】
本题结合实际设计场景，考查了基本图形的面积计算、代数式的化简和大小比较，解题时需准确梳理各图形的边长关系，作差法是比较代数式大小的常用方法。
【难度系数】
0.7
(1) 游泳池是长为m、宽为n的长方形，直接用长方形面积公式“长×宽”即可计算其面积；休息区是直径为n的半圆形，先求出半径为$\frac{n}{2}$，再根据半圆面积是整圆面积的$\frac{1}{2}$，结合圆的面积公式计算即可。
(2) 绿地面积等于大长方形娱乐场所的总面积减去游泳池面积，再减去休息区面积，大长方形面积为长a乘宽b，代入对应表达式即可得到绿地面积。
(3) 要判断设计是否符合要求，先根据题意得到各量的关系：$a=1.5b$，$m=0.5a$，$n=0.5b$，将其代入绿地面积表达式，再和大长方形面积的$\frac{1}{2}$作差，若差值大于0，说明绿地面积超过总面积的一半，符合要求，否则不符合。
【解析】
(1) 游泳池为长方形，面积=长×宽=$mn$；
休息区为直径是$n$的半圆，半径$r=\frac{n}{2}$，则面积为$\frac{1}{2}πr^2=\frac{1}{2}π×(\frac{n}{2})^2=\frac{1}{8}πn^2$。
(2) 大长方形娱乐场所的总面积为$ab$，则绿地面积=总面积-游泳池面积-休息区面积，即$ab-mn-\frac{1}{8}πn^2$。
(3) 符合要求，理由如下：
由题意得$a=1.5b$，$m=0.5a$，$n=0.5b$，
计算绿地面积与总面积一半的差值：
$\begin{split}&(ab-mn-\frac{1}{8}πn^2)-\frac{1}{2}ab\\=&ab-0.5a×0.5b-\frac{1}{8}π×(0.5b)^2-\frac{1}{2}ab\\=&ab-0.25ab-\frac{1}{32}πb^2-\frac{1}{2}ab\\=&\frac{1}{4}ab-\frac{1}{32}πb^2\end{split}$
将$a=1.5b$代入上式：
$\begin{split}&\frac{1}{4}×1.5b×b-\frac{1}{32}πb^2\\=&\frac{3}{8}b^2-\frac{1}{32}πb^2\\=&\frac{12-π}{32}b^2\end{split}$
因为$12＞π$，且$b^2＞0$，所以$\frac{12-π}{32}b^2＞0$，即$ab-mn-\frac{1}{8}πn^2＞\frac{1}{2}ab$，因此设计符合要求。
【答案】
(1) 游泳池的面积是$mn$，休息区的面积是$\frac{1}{8}π n^2$；
(2) 绿地的面积是$ab-mn-\frac{1}{8}π n^2$；
(3) 符合要求，代入条件计算可得绿地面积大于整个娱乐场所面积的一半，满足要求。
【知识点】
面积公式应用、列代数式、整式加减运算
【点评】
本题结合实际设计场景，考查了基本图形的面积计算、代数式的化简和大小比较，解题时需准确梳理各图形的边长关系，作差法是比较代数式大小的常用方法。
【难度系数】
0.7
19. 一列数中相邻的三个数依次为$ m,n,p $，要求$ p=m^2 - n $。若$-1,3,-2,a,-7,b,\dots$是满足以上要求的一列数，则$ b=\_\_\_\_\_\_ $。
答案
128 【解析】由题意,得$a=3^2-(-2)=11$,则$b=11^2-(-7)=128$.
解析
【分析】
解题前先明确题目给出的运算规则：相邻的三个数$m,n,p$满足$p=m^2-n$，即第三个数等于第一个数的平方减去第二个数。要求$b$的值，需要先求出$a$的值：首先找到包含$a$的相邻三个数$3、-2、a$，代入规则算出$a$；再找到包含$b$的相邻三个数$a、-7、b$，代入规则即可求出$b$。
【解析】
根据题意，相邻三个数满足$p=m^2 - n$：
1. 求$a$的值：$3、-2、a$为相邻三个数，对应$m=3$，$n=-2$，$p=a$，代入公式得：
$a=3^2 - (-2)=9+2=11$
2. 求$b$的值：$11、-7、b$为相邻三个数，对应$m=11$，$n=-7$，$p=b$，代入公式得：
$b=11^2 - (-7)=121+7=128$
【答案】
128
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题考查对新定义规则的理解应用和有理数运算能力，解题核心是准确匹配每组相邻的三个数，严格按照给定规则代入计算，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题前先明确题目给出的运算规则：相邻的三个数$m,n,p$满足$p=m^2-n$，即第三个数等于第一个数的平方减去第二个数。要求$b$的值，需要先求出$a$的值：首先找到包含$a$的相邻三个数$3、-2、a$，代入规则算出$a$；再找到包含$b$的相邻三个数$a、-7、b$，代入规则即可求出$b$。
【解析】
根据题意，相邻三个数满足$p=m^2 - n$：
1. 求$a$的值：$3、-2、a$为相邻三个数，对应$m=3$，$n=-2$，$p=a$，代入公式得：
$a=3^2 - (-2)=9+2=11$
2. 求$b$的值：$11、-7、b$为相邻三个数，对应$m=11$，$n=-7$，$p=b$，代入公式得：
$b=11^2 - (-7)=121+7=128$
【答案】
128
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题考查对新定义规则的理解应用和有理数运算能力，解题核心是准确匹配每组相邻的三个数，严格按照给定规则代入计算，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
20. 将黑色圆点按如图所示的规律排列：
图中黑色圆点的个数依次为：1,3,6,10,…,将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数是
图中黑色圆点的个数依次为：1,3,6,10,…,将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数是
$1\ 275$
.答案
$1\ 275$ 【解析】第1个图形中黑色圆点的个数是1；
第2个图形中黑色圆点的个数是$\frac{(1+2)×2}{2}=3$；
第3个图形中黑色圆点的个数是$\frac{(1+3)×3}{2}=6$；
第4个图形中黑色圆点的个数是$\frac{(1+4)×4}{2}=10$,
则第$n$个图形中黑色圆点的个数是$\frac{n(n+1)}{2}$,
则这列数为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,…,
其中每三个数中,后两个数都能被3整除,
$33÷2=16······1,16×3+2=50$,
则第33个能被3整除的数是原数列中的第50个数,即$\frac{50×51}{2}=1\ 275$.
第2个图形中黑色圆点的个数是$\frac{(1+2)×2}{2}=3$；
第3个图形中黑色圆点的个数是$\frac{(1+3)×3}{2}=6$；
第4个图形中黑色圆点的个数是$\frac{(1+4)×4}{2}=10$,
则第$n$个图形中黑色圆点的个数是$\frac{n(n+1)}{2}$,
则这列数为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,…,
其中每三个数中,后两个数都能被3整除,
$33÷2=16······1,16×3+2=50$,
则第33个能被3整除的数是原数列中的第50个数,即$\frac{50×51}{2}=1\ 275$.
解析
【分析】
首先观察给出的黑色圆点个数，确定这是三角形数序列，先推导第n个图形的圆点个数通用表达式；接着分析该序列中能被3整除的数的出现规律，由于n和n+1是连续的互质自然数，因此仅当n或n+1为3的倍数时，对应圆点个数能被3整除，即每3个原序列数里有2个符合要求；最后根据新数据的序号反推其在原序列中的位置，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：观察图形中黑色圆点的个数规律：
第1个图形圆点个数：$1=\frac{1×(1+1)}{2}$
第2个图形圆点个数：$3=\frac{2×(2+1)}{2}$
第3个图形圆点个数：$6=\frac{3×(3+1)}{2}$
第4个图形圆点个数：$10=\frac{4×(4+1)}{2}$
……
可归纳得第$n$个图形的黑色圆点个数为$\frac{n(n+1)}{2}$。
列出前若干个圆点个数：1，3，6，10，15，21，28，36，45……，观察可得每3个原序列数中，后2个数能被3整除，即每2个新数据对应原序列的3个数。
计算第33个新数据对应的原序列位置：$33÷2=16······1$，即前16组共$16×2=32$个新数据，对应原序列$16×3=48$个数，余下的第33个新数据对应下一组的第一个符合要求的数，即原序列第$48+2=50$个数。
代入公式计算得：$\frac{50×(50+1)}{2}=\frac{50×51}{2}=1275$。
【答案】
$1275$
【知识点】
图形规律探究，整除的性质，代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，需要先通过观察归纳出原数列的通项公式，再梳理出满足整除条件的数的排列规律，既考查归纳推理能力，也考查整数运算能力，是代数规律题的常见考法。
【难度系数】
0.6
首先观察给出的黑色圆点个数，确定这是三角形数序列，先推导第n个图形的圆点个数通用表达式；接着分析该序列中能被3整除的数的出现规律，由于n和n+1是连续的互质自然数，因此仅当n或n+1为3的倍数时，对应圆点个数能被3整除，即每3个原序列数里有2个符合要求；最后根据新数据的序号反推其在原序列中的位置，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：观察图形中黑色圆点的个数规律：
第1个图形圆点个数：$1=\frac{1×(1+1)}{2}$
第2个图形圆点个数：$3=\frac{2×(2+1)}{2}$
第3个图形圆点个数：$6=\frac{3×(3+1)}{2}$
第4个图形圆点个数：$10=\frac{4×(4+1)}{2}$
……
可归纳得第$n$个图形的黑色圆点个数为$\frac{n(n+1)}{2}$。
列出前若干个圆点个数：1，3，6，10，15，21，28，36，45……，观察可得每3个原序列数中，后2个数能被3整除，即每2个新数据对应原序列的3个数。
计算第33个新数据对应的原序列位置：$33÷2=16······1$，即前16组共$16×2=32$个新数据，对应原序列$16×3=48$个数，余下的第33个新数据对应下一组的第一个符合要求的数，即原序列第$48+2=50$个数。
代入公式计算得：$\frac{50×(50+1)}{2}=\frac{50×51}{2}=1275$。
【答案】
$1275$
【知识点】
图形规律探究，整除的性质，代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，需要先通过观察归纳出原数列的通项公式，再梳理出满足整除条件的数的排列规律，既考查归纳推理能力，也考查整数运算能力，是代数规律题的常见考法。
【难度系数】
0.6
