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7. 下列变形中,正确的是 (
A.$4x -5 = 3x +2$ 变形得 $4x -3x = -2 +5$
B.$\frac{2}{3}x -1 = \frac{1}{2}x +3$ 变形得 $4x -1 = 3x +3$
C.$2x -5y = 0(x≠0)$ 变形得 $\frac{y}{x} = \frac{2}{5}$
D.$-3x = 2$ 变形得 $x = \frac{2}{3}$
C
)A.$4x -5 = 3x +2$ 变形得 $4x -3x = -2 +5$
B.$\frac{2}{3}x -1 = \frac{1}{2}x +3$ 变形得 $4x -1 = 3x +3$
C.$2x -5y = 0(x≠0)$ 变形得 $\frac{y}{x} = \frac{2}{5}$
D.$-3x = 2$ 变形得 $x = \frac{2}{3}$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查等式基本性质的应用，解题时需逐一核对每个选项的变形是否符合等式性质：首先明确移项要变号，去分母时所有项都要乘公分母，系数化为1时要注意除数不为0且符号正确，依次排查错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 对$4x -5 = 3x +2$移项时，移项要变号，正确变形应为$4x-3x=2+5$，选项中右边常数项符号错误，故A错误；
B. 对$\frac{2}{3}x -1 = \frac{1}{2}x +3$去分母，两边同时乘公分母6，每一项都要乘6，正确变形应为$4x-6=3x+18$，选项中常数项未乘6，故B错误；
C. 对$2x -5y = 0(x≠0)$移项得$2x=5y$，因为$x≠0$，两边同时除以$5x$，可得$\frac{y}{x}=\frac{2}{5}$，变形正确，故C正确；
D. 对$-3x=2$系数化为1，两边同时除以$-3$，正确变形应为$x=-\frac{2}{3}$，选项中符号和分母均错误，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质，移项法则，去分母法则
【点评】
本题重点考查等式变形的规范性，常见易错点为移项忘变号、去分母时常数项漏乘、系数化为1时忽略符号，解题时要牢记每一步变形的依据，逐一验证避免失误。
【难度系数】
0.7
这道题考查等式基本性质的应用，解题时需逐一核对每个选项的变形是否符合等式性质：首先明确移项要变号，去分母时所有项都要乘公分母，系数化为1时要注意除数不为0且符号正确，依次排查错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 对$4x -5 = 3x +2$移项时，移项要变号，正确变形应为$4x-3x=2+5$，选项中右边常数项符号错误，故A错误；
B. 对$\frac{2}{3}x -1 = \frac{1}{2}x +3$去分母，两边同时乘公分母6，每一项都要乘6，正确变形应为$4x-6=3x+18$，选项中常数项未乘6，故B错误；
C. 对$2x -5y = 0(x≠0)$移项得$2x=5y$，因为$x≠0$，两边同时除以$5x$，可得$\frac{y}{x}=\frac{2}{5}$，变形正确，故C正确；
D. 对$-3x=2$系数化为1，两边同时除以$-3$，正确变形应为$x=-\frac{2}{3}$，选项中符号和分母均错误，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质，移项法则，去分母法则
【点评】
本题重点考查等式变形的规范性，常见易错点为移项忘变号、去分母时常数项漏乘、系数化为1时忽略符号，解题时要牢记每一步变形的依据，逐一验证避免失误。
【难度系数】
0.7
8. 若$2x+y=5$①，$x-y=1$②，则利用等式的性质求$x$的值正确的是 （
A.等式①两边都减去$y$，得$2x=5-y$，两边都除以2，得$x=\frac{5}{2}-\frac{y}{2}$
B.等式①两边都加上$x-y$，得$3x=5+x-y$，两边都除以3，得$x=\frac{5}{3}+\frac{x}{3}-\frac{y}{3}$
C.等式②的两边都加上$2x+y$，得$2x=1+2x+y$，所以$2x=6$，两边都除以2，得$x=3$
D.等式①左边加上$x-y$，右边加上1，得$3x=6$，两边都除以3，得$x=2$
D
）A.等式①两边都减去$y$，得$2x=5-y$，两边都除以2，得$x=\frac{5}{2}-\frac{y}{2}$
B.等式①两边都加上$x-y$，得$3x=5+x-y$，两边都除以3，得$x=\frac{5}{3}+\frac{x}{3}-\frac{y}{3}$
C.等式②的两边都加上$2x+y$，得$2x=1+2x+y$，所以$2x=6$，两边都除以2，得$x=3$
D.等式①左边加上$x-y$，右边加上1，得$3x=6$，两边都除以3，得$x=2$
答案
D
解析
【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题目标是求出x的确定数值。首先回忆等式的两个核心性质：1.等式两边同时加（或减）同一个数或整式，等式仍然成立；2.等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时需逐一验证每个选项的变形是否符合等式性质，且是否能求出x的确定值：首先排除仅得到x含y表达式的选项，再排查变形计算错误的选项，最终选出正确答案。
【解析】
我们结合等式性质逐个分析选项：
A. 变形过程符合等式性质，但最终得到的是$x=\frac{5}{2}-\frac{y}{2}$，是x用y表示的式子，没有求出x的确定值，不符合题意，错误；
B. 变形后得到的式子仍含有x和y，未求出x的确定值，不符合题意，错误；
C. 等式②两边加$2x+y$，左边为$(x-y)+(2x+y)=3x$，右边为$1+5=6$，应为$3x=6$，选项中错误计算为$2x=6$，变形错误，错误；
D. 由等式②可知$x-y=1$，因此给等式①左边加$x-y$、右边加1，相当于等式两边同时加同一个数1，符合等式性质1；合并后左边为$2x+y+x-y=3x$，右边为$5+1=6$，即$3x=6$，两边除以3得$x=2$，变形正确且求出了x的确定值，符合题意，正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质；二元一次方程组求解
【点评】
本题需要注意两点：一是等式变形时必须保证两边同时进行相同的运算，且加减乘除的对象是同一个数或整式（除数不为0）；二是要明确题目要求是求出x的确定数值，而非用其他字母表示x的形式。
【难度系数】
0.8
本题考查等式基本性质的应用，解题目标是求出x的确定数值。首先回忆等式的两个核心性质：1.等式两边同时加（或减）同一个数或整式，等式仍然成立；2.等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时需逐一验证每个选项的变形是否符合等式性质，且是否能求出x的确定值：首先排除仅得到x含y表达式的选项，再排查变形计算错误的选项，最终选出正确答案。
【解析】
我们结合等式性质逐个分析选项：
A. 变形过程符合等式性质，但最终得到的是$x=\frac{5}{2}-\frac{y}{2}$，是x用y表示的式子，没有求出x的确定值，不符合题意，错误；
B. 变形后得到的式子仍含有x和y，未求出x的确定值，不符合题意，错误；
C. 等式②两边加$2x+y$，左边为$(x-y)+(2x+y)=3x$，右边为$1+5=6$，应为$3x=6$，选项中错误计算为$2x=6$，变形错误，错误；
D. 由等式②可知$x-y=1$，因此给等式①左边加$x-y$、右边加1，相当于等式两边同时加同一个数1，符合等式性质1；合并后左边为$2x+y+x-y=3x$，右边为$5+1=6$，即$3x=6$，两边除以3得$x=2$，变形正确且求出了x的确定值，符合题意，正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质；二元一次方程组求解
【点评】
本题需要注意两点：一是等式变形时必须保证两边同时进行相同的运算，且加减乘除的对象是同一个数或整式（除数不为0）；二是要明确题目要求是求出x的确定数值，而非用其他字母表示x的形式。
【难度系数】
0.8
9.如图,下列四个天平中,相同形状的物体的质量是相等的,其中图①的天平是平衡的,根据图①天平的信息,图②、图③、图④三个天平仍然平衡的有 (
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
)A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
C
解析
【分析】
首先从已知平衡的图①入手，设正方形质量为a、圆形质量为b，根据天平平衡时左右质量相等列出等式，利用等式的性质推导得出单个正方形和圆形的质量关系，再分别计算图②、图③、图④左右两边的质量，对比是否相等即可判断天平是否平衡。
【解析】
设每个正方形的质量为$a$，每个圆形的质量为$b$。
由图①天平平衡可得：$3a + b = 7b$
根据等式的基本性质，等式两边同时减去$b$，得$3a = 6b$，化简得$a=2b$，即1个正方形的质量等于2个圆形的质量。
1. 验证图②：左边质量为$3a$，右边共有6个圆形，质量为$6b$。将$a=2b$代入左边，得$3a=3×2b=6b$，左边=右边，故图②平衡。
2. 验证图③：左边质量为$a$，右边共有3个圆形，质量为$3b$。将$a=2b$代入左边，得$a=2b≠3b$，左边≠右边，故图③不平衡。
3. 验证图④：左边质量为$4a$，右边共有8个圆形，质量为$8b$。将$a=2b$代入左边，得$4a=4×2b=8b$，左边=右边，故图④平衡。
综上，平衡的天平有2个。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质、等量代换
【点评】
解题核心是先从已知平衡的天平中推导出两种物体的质量关系，再通过等量代换逐一验证其余天平的平衡状态，计数圆形数量时要仔细，避免因计数错误判断失误。
【难度系数】
0.7
首先从已知平衡的图①入手，设正方形质量为a、圆形质量为b，根据天平平衡时左右质量相等列出等式，利用等式的性质推导得出单个正方形和圆形的质量关系，再分别计算图②、图③、图④左右两边的质量，对比是否相等即可判断天平是否平衡。
【解析】
设每个正方形的质量为$a$，每个圆形的质量为$b$。
由图①天平平衡可得：$3a + b = 7b$
根据等式的基本性质，等式两边同时减去$b$，得$3a = 6b$，化简得$a=2b$，即1个正方形的质量等于2个圆形的质量。
1. 验证图②：左边质量为$3a$，右边共有6个圆形，质量为$6b$。将$a=2b$代入左边，得$3a=3×2b=6b$，左边=右边，故图②平衡。
2. 验证图③：左边质量为$a$，右边共有3个圆形，质量为$3b$。将$a=2b$代入左边，得$a=2b≠3b$，左边≠右边，故图③不平衡。
3. 验证图④：左边质量为$4a$，右边共有8个圆形，质量为$8b$。将$a=2b$代入左边，得$4a=4×2b=8b$，左边=右边，故图④平衡。
综上，平衡的天平有2个。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质、等量代换
【点评】
解题核心是先从已知平衡的天平中推导出两种物体的质量关系，再通过等量代换逐一验证其余天平的平衡状态，计数圆形数量时要仔细，避免因计数错误判断失误。
【难度系数】
0.7
10. 若$2a^2 - 6a - 2 = 10$，求下列各式的值：
(1)$a^2 - 3a - 10$
(2)$-\dfrac{1}{6}a^2 + \dfrac{1}{2}a + 3$
(1)$a^2 - 3a - 10$
(2)$-\dfrac{1}{6}a^2 + \dfrac{1}{2}a + 3$
答案
(1)已知 $2a^2 - 6a - 2 = 10$,
两边都加上 2,得 $2a^2 - 6a = 12$,
两边都除以 2,得 $a^2 - 3a = 6$,
所以 $a^2 - 3a - 10 = -4$.
(2)由(1),得 $a^2 - 3a = 6$,
两边都除以$-6$,
得 $-\dfrac{1}{6}a^2 + \dfrac{1}{2}a = -1$,
所以 $-\dfrac{1}{6}a^2 + \dfrac{1}{2}a + 3 = 2$.
两边都加上 2,得 $2a^2 - 6a = 12$,
两边都除以 2,得 $a^2 - 3a = 6$,
所以 $a^2 - 3a - 10 = -4$.
(2)由(1),得 $a^2 - 3a = 6$,
两边都除以$-6$,
得 $-\dfrac{1}{6}a^2 + \dfrac{1}{2}a = -1$,
所以 $-\dfrac{1}{6}a^2 + \dfrac{1}{2}a + 3 = 2$.
解析
【分析】
观察已知等式和待求代数式的结构，无需计算a的具体值，可利用等式的基本性质对已知等式变形，得到待求式中含字母部分的整体值，再代入计算即可。首先对已知等式变形得到$a^2-3a$的值，代入第(1)问计算；再对$a^2-3a$变形得到第(2)问中含字母部分的整体值，代入计算即可。
【解析】
(1) 已知 $2a^2 - 6a - 2 = 10$，
根据等式的基本性质1，两边同时加2，得 $2a^2 - 6a = 12$，
根据等式的基本性质2，两边同时除以2，得 $a^2 - 3a = 6$，
将$a^2 - 3a = 6$代入$a^2 - 3a - 10$，可得$6-10=-4$。
(2) 由(1)得$a^2 - 3a = 6$，
根据等式的基本性质2，两边同时除以$-6$，得 $-\dfrac{1}{6}a^2 + \dfrac{1}{2}a = -1$，
将$-\dfrac{1}{6}a^2 + \dfrac{1}{2}a = -1$代入$-\dfrac{1}{6}a^2 + \dfrac{1}{2}a + 3$，可得$-1+3=2$。
【答案】
(1) $\boxed{-4}$
(2) $\boxed{2}$
【知识点】
等式的基本性质；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，解题核心是灵活运用等式的基本性质对已知等式变形，通过整体代入的方法简化运算，避免求解未知数的复杂计算。
【难度系数】
0.8
观察已知等式和待求代数式的结构，无需计算a的具体值，可利用等式的基本性质对已知等式变形，得到待求式中含字母部分的整体值，再代入计算即可。首先对已知等式变形得到$a^2-3a$的值，代入第(1)问计算；再对$a^2-3a$变形得到第(2)问中含字母部分的整体值，代入计算即可。
【解析】
(1) 已知 $2a^2 - 6a - 2 = 10$，
根据等式的基本性质1，两边同时加2，得 $2a^2 - 6a = 12$，
根据等式的基本性质2，两边同时除以2，得 $a^2 - 3a = 6$，
将$a^2 - 3a = 6$代入$a^2 - 3a - 10$，可得$6-10=-4$。
(2) 由(1)得$a^2 - 3a = 6$，
根据等式的基本性质2，两边同时除以$-6$，得 $-\dfrac{1}{6}a^2 + \dfrac{1}{2}a = -1$，
将$-\dfrac{1}{6}a^2 + \dfrac{1}{2}a = -1$代入$-\dfrac{1}{6}a^2 + \dfrac{1}{2}a + 3$，可得$-1+3=2$。
【答案】
(1) $\boxed{-4}$
(2) $\boxed{2}$
【知识点】
等式的基本性质；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，解题核心是灵活运用等式的基本性质对已知等式变形，通过整体代入的方法简化运算，避免求解未知数的复杂计算。
【难度系数】
0.8
11.已知梯形的面积公式为$S=\frac{(a+b)h}{2}$。
(1)把上述公式变形成已知$S,a,b$,求$h$的公式。
(2)若$a=2,b=3,S=4$,求$h$的值。
(1)把上述公式变形成已知$S,a,b$,求$h$的公式。
(2)若$a=2,b=3,S=4$,求$h$的值。
答案
(1)因为 $S=\dfrac{(a+b)h}{2}$,
所以 $2S=(a+b)h$,
所以 $h=\dfrac{2S}{a+b}$.
(2)因为 $a=2,b=3,S=4$,
所以 $h=\dfrac{2S}{a+b}=\dfrac{2×4}{2+3}=\dfrac{8}{5}$.
所以 $2S=(a+b)h$,
所以 $h=\dfrac{2S}{a+b}$.
(2)因为 $a=2,b=3,S=4$,
所以 $h=\dfrac{2S}{a+b}=\dfrac{2×4}{2+3}=\dfrac{8}{5}$.
解析
【分析】
第(1)问属于公式变形题，解题时将h当作未知数，其余字母当作已知数，利用等式的基本性质对原式变形即可。首先给等式两边同时乘2消去分母，再给两边同时除以(a+b)，就能将h单独放在等号一侧。第(2)问是代数式求值问题，直接把a、b、S的数值代入第(1)问推导得到的h的表达式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 已知 $S=\dfrac{(a+b)h}{2}$，根据等式的基本性质，等式两边同时乘2，得：
$2S=(a+b)h$
再给等式两边同时除以$(a+b)$（$a+b≠0$），得：
$h=\dfrac{2S}{a+b}$
(2) 将$a=2,b=3,S=4$代入$h=\dfrac{2S}{a+b}$中，得：
$h=\dfrac{2×4}{2+3}=\dfrac{8}{5}$
【答案】
(1)$h=\dfrac{2S}{a+b}$；(2)$h=\dfrac{8}{5}$
【知识点】
等式的基本性质，公式变形，代数式求值
【点评】
本题是基础题型，主要考查等式基本性质的应用和代入求值的运算能力，熟练掌握等式变形的规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
第(1)问属于公式变形题，解题时将h当作未知数，其余字母当作已知数，利用等式的基本性质对原式变形即可。首先给等式两边同时乘2消去分母，再给两边同时除以(a+b)，就能将h单独放在等号一侧。第(2)问是代数式求值问题，直接把a、b、S的数值代入第(1)问推导得到的h的表达式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 已知 $S=\dfrac{(a+b)h}{2}$，根据等式的基本性质，等式两边同时乘2，得：
$2S=(a+b)h$
再给等式两边同时除以$(a+b)$（$a+b≠0$），得：
$h=\dfrac{2S}{a+b}$
(2) 将$a=2,b=3,S=4$代入$h=\dfrac{2S}{a+b}$中，得：
$h=\dfrac{2×4}{2+3}=\dfrac{8}{5}$
【答案】
(1)$h=\dfrac{2S}{a+b}$；(2)$h=\dfrac{8}{5}$
【知识点】
等式的基本性质，公式变形，代数式求值
【点评】
本题是基础题型，主要考查等式基本性质的应用和代入求值的运算能力，熟练掌握等式变形的规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
12. 已知关于$x$的方程$x(m^2 + 1)=5(m^2 + 1)$与$\frac{1}{4}(x - a)=-\frac{2}{3}a$是同解方程，求$a$的值.
答案
已知 $x(m^2 + 1)=5(m^2 + 1)$,
易知 $m^2 + 1＞0$,
两边都除以$(m^2 + 1)$,得 $x=5$.
把 $x=5$ 代入 $\dfrac{1}{4}(x - a)=-\dfrac{2}{3}a$,
得 $\dfrac{1}{4}(5 - a)=-\dfrac{2}{3}a$,解得 $a=-3$.
易知 $m^2 + 1＞0$,
两边都除以$(m^2 + 1)$,得 $x=5$.
把 $x=5$ 代入 $\dfrac{1}{4}(x - a)=-\dfrac{2}{3}a$,
得 $\dfrac{1}{4}(5 - a)=-\dfrac{2}{3}a$,解得 $a=-3$.
解析
【分析】
题目给出两个同解方程，要求a的值，首先需要先求出第一个方程的解。观察第一个方程，两边都有因式$m^2+1$，根据平方的非负性可知$m^2≥0$，因此$m^2+1＞0$，可利用等式的基本性质，两边同时除以$m^2+1$得到x的值。再根据同解方程的定义，两个方程的解相同，把求出的x代入第二个方程，得到关于a的一元一次方程，解该方程即可求出a的值。
【解析】
首先解方程$x(m^2 + 1)=5(m^2 + 1)$：
因为$m^2≥0$，所以$m^2 + 1＞0$，
根据等式的基本性质，等式两边同时除以$(m^2 + 1)$，得$x=5$。
由于两个方程是同解方程，因此$x=5$也是方程$\frac{1}{4}(x - a)=-\frac{2}{3}a$的解，
将$x=5$代入该方程：
$\frac{1}{4}(5 - a)=-\frac{2}{3}a$
两边同时乘12去分母，得$3(5 - a)=-8a$
去括号，得$15 - 3a = -8a$
移项、合并同类项，得$5a=-15$
系数化为1，得$a=-3$
【答案】
$a=-3$
【知识点】
等式的基本性质，同解方程的定义，一元一次方程的解法
【点评】
本题解题的关键是先利用平方的非负性确定$m^2+1$恒大于0，快速求出第一个方程的解，再结合同解方程的性质代入第二个方程求解，解题时需注意等式两边同时除以的数不能为0，避免出现错误。
【难度系数】
0.8
题目给出两个同解方程，要求a的值，首先需要先求出第一个方程的解。观察第一个方程，两边都有因式$m^2+1$，根据平方的非负性可知$m^2≥0$，因此$m^2+1＞0$，可利用等式的基本性质，两边同时除以$m^2+1$得到x的值。再根据同解方程的定义，两个方程的解相同，把求出的x代入第二个方程，得到关于a的一元一次方程，解该方程即可求出a的值。
【解析】
首先解方程$x(m^2 + 1)=5(m^2 + 1)$：
因为$m^2≥0$，所以$m^2 + 1＞0$，
根据等式的基本性质，等式两边同时除以$(m^2 + 1)$，得$x=5$。
由于两个方程是同解方程，因此$x=5$也是方程$\frac{1}{4}(x - a)=-\frac{2}{3}a$的解，
将$x=5$代入该方程：
$\frac{1}{4}(5 - a)=-\frac{2}{3}a$
两边同时乘12去分母，得$3(5 - a)=-8a$
去括号，得$15 - 3a = -8a$
移项、合并同类项，得$5a=-15$
系数化为1，得$a=-3$
【答案】
$a=-3$
【知识点】
等式的基本性质，同解方程的定义，一元一次方程的解法
【点评】
本题解题的关键是先利用平方的非负性确定$m^2+1$恒大于0，快速求出第一个方程的解，再结合同解方程的性质代入第二个方程求解，解题时需注意等式两边同时除以的数不能为0，避免出现错误。
【难度系数】
0.8
