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1.若分式$\frac{x-1}{x}$的值为0，则x的值为（
A.0
B.1
C.-1
D.0或1
B
）.A.0
B.1
C.-1
D.0或1
答案
1.B
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，需牢记两个核心条件：①分式的分子的值为0；②分式的分母不能为0（分母为0时分式无意义）。解题时先根据分子为0列出方程求出x的可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据分式值为0的条件，需同时满足：
1. 分子为0：令$x-1=0$，解得$x=1$；
2. 分母不为0：$x≠0$。
将$x=1$代入分母验证，分母$x=1≠0$，符合要求；若$x=0$，分母为0，分式无意义，需排除。
因此x的值为1，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式值为0的条件，分式有意义的判定
【点评】
本题是分式部分的基础常考题，易错点是仅考虑分子为0，忽略分母不能为0的隐含要求，从而误选D，解题时注意求出x的可能值后务必验证分母是否有意义。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，需牢记两个核心条件：①分式的分子的值为0；②分式的分母不能为0（分母为0时分式无意义）。解题时先根据分子为0列出方程求出x的可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据分式值为0的条件，需同时满足：
1. 分子为0：令$x-1=0$，解得$x=1$；
2. 分母不为0：$x≠0$。
将$x=1$代入分母验证，分母$x=1≠0$，符合要求；若$x=0$，分母为0，分式无意义，需排除。
因此x的值为1，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式值为0的条件，分式有意义的判定
【点评】
本题是分式部分的基础常考题，易错点是仅考虑分子为0，忽略分母不能为0的隐含要求，从而误选D，解题时注意求出x的可能值后务必验证分母是否有意义。
【难度系数】
0.7
2.分式方程$\frac{2}{x-1}=\frac{1}{2}$的解为(
A.$x=3$
B.$x=4$
C.$x=5$
D.无解
C
).A.$x=3$
B.$x=4$
C.$x=5$
D.无解
答案
2.C
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是先把分式方程转化为整式方程求解，最后一定要验根排除增根。本题首先确定两个分母$x-1$和2的最简公分母是$2(x-1)$，方程两边同时乘最简公分母去掉分母，转化为我们熟悉的一元一次方程求解，再把求得的解代入原方程的分母检验是否使分母为0，就能得到正确结果。
【解析】
解：原分式方程为$\frac{2}{x-1}=\frac{1}{2}$
1. 去分母：方程两边同时乘以最简公分母$2(x-1)$（需满足$x≠1$），可得：
$2×2 = 1×(x-1)$
2. 解整式方程：
化简得$4 = x-1$，移项计算得$x=4+1=5$
3. 验根：把$x=5$代入原方程的分母$x-1$，得$5-1=4≠0$，因此$x=5$是原分式方程的解。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题，主要考察解分式方程的基本步骤，解题时要注意去分母不要漏乘常数项，求出整式方程的解后必须检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是先把分式方程转化为整式方程求解，最后一定要验根排除增根。本题首先确定两个分母$x-1$和2的最简公分母是$2(x-1)$，方程两边同时乘最简公分母去掉分母，转化为我们熟悉的一元一次方程求解，再把求得的解代入原方程的分母检验是否使分母为0，就能得到正确结果。
【解析】
解：原分式方程为$\frac{2}{x-1}=\frac{1}{2}$
1. 去分母：方程两边同时乘以最简公分母$2(x-1)$（需满足$x≠1$），可得：
$2×2 = 1×(x-1)$
2. 解整式方程：
化简得$4 = x-1$，移项计算得$x=4+1=5$
3. 验根：把$x=5$代入原方程的分母$x-1$，得$5-1=4≠0$，因此$x=5$是原分式方程的解。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题，主要考察解分式方程的基本步骤，解题时要注意去分母不要漏乘常数项，求出整式方程的解后必须检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
3.解分式方程$\frac{1}{x-2}-3=\frac{4}{2-x}$时,去分母可得(
A.$1-3(x-2)=4$
B.$1-3(x-2)=-4$
C.$-1-3(2-x)=-4$
D.$1-3(2-x)=4$
B
).A.$1-3(x-2)=4$
B.$1-3(x-2)=-4$
C.$-1-3(2-x)=-4$
D.$1-3(2-x)=4$
答案
3.B
解析
【分析】
解这类分式方程去分母的题目，首先要明确解题步骤：第一步先找方程中各分式的最简公分母，本题中两个分母$x-2$和$2-x$互为相反数，因此最简公分母为$x-2$；第二步要牢记去分母的规则：方程两边每一项都要乘最简公分母，不能漏乘不含分母的常数项，同时要注意分母变形时的符号变化，避免符号出错。
【解析】
首先观察原方程分母的关系：$2-x=-(x-2)$，因此原方程可变形为：
$\frac{1}{x-2}-3=-\frac{4}{x-2}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$，每一项都参与乘法运算：
第一项$\frac{1}{x-2} × (x-2) = 1$
第二项$-3 × (x-2) = -3(x-2)$
右边$-\frac{4}{x-2} × (x-2) = -4$
整理后得到去分母的结果：$1-3(x-2)=-4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.分式方程去分母 2.分式符号法则
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是忽略$2-x$和$x-2$互为相反数导致符号判断错误，解题时要注意逐一核对每一项的变形是否正确。
【难度系数】
0.8
解这类分式方程去分母的题目，首先要明确解题步骤：第一步先找方程中各分式的最简公分母，本题中两个分母$x-2$和$2-x$互为相反数，因此最简公分母为$x-2$；第二步要牢记去分母的规则：方程两边每一项都要乘最简公分母，不能漏乘不含分母的常数项，同时要注意分母变形时的符号变化，避免符号出错。
【解析】
首先观察原方程分母的关系：$2-x=-(x-2)$，因此原方程可变形为：
$\frac{1}{x-2}-3=-\frac{4}{x-2}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$，每一项都参与乘法运算：
第一项$\frac{1}{x-2} × (x-2) = 1$
第二项$-3 × (x-2) = -3(x-2)$
右边$-\frac{4}{x-2} × (x-2) = -4$
整理后得到去分母的结果：$1-3(x-2)=-4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.分式方程去分母 2.分式符号法则
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是忽略$2-x$和$x-2$互为相反数导致符号判断错误，解题时要注意逐一核对每一项的变形是否正确。
【难度系数】
0.8
4.已知分式$\frac{x+n}{2x - m}$（$m,n$为常数）满足表格中的信息，则$a$的值为
$x$的取值 $-4$ $4$ $a$
分式的值
$0$ $0.1$
6
。$x$的取值 $-4$ $4$ $a$
分式的值
$0$ $0.1$答案
4.6
解析
【分析】
解题时先利用分式的核心性质求解参数m和n，再代入求解a即可：①分式无意义时分母为0，因此将x=-4代入分母令其等于0，可求出m的值；②分式值为0时分子为0且分母不为0，因此将x=4代入分子令其等于0，可求出n的值，得到完整的分式表达式；③最后将x=a、分式值为0.1代入表达式，解一元一次方程即可得到a的值，注意检验分母不为0。
【解析】
1. 求m的值：
当x=-4时分式无意义，此时分母为0，即：
$2×(-4) - m = 0$
解得$m=-8$。
2. 求n的值：
当x=4时分式值为0，此时分子为0且分母不为0，即：
$4 + n = 0$
解得$n=-4$，代入分母验证：$2×4 - (-8)=16≠0$，符合条件。
因此原分式为$\frac{x - 4}{2x + 8}$。
3. 求a的值：
当x=a时分式值为0.1，代入得：
$\frac{a - 4}{2a + 8}=0.1$
两边同乘$2a+8$（$2a+8≠0$）得：
$a - 4 = 0.1×(2a + 8)$
展开计算：$a - 4 = 0.2a + 0.8$
移项合并同类项：$0.8a = 4.8$
解得$a=6$，检验：当$a=6$时，分母$2×6+8=20≠0$，解成立。
【答案】
6
【知识点】
分式的相关性质，解分式方程
【点评】
本题考查分式性质的基础应用，解题的关键是掌握分式无意义、值为0的条件，求解参数后代入计算即可，注意解分式方程要检验分母不为0，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
解题时先利用分式的核心性质求解参数m和n，再代入求解a即可：①分式无意义时分母为0，因此将x=-4代入分母令其等于0，可求出m的值；②分式值为0时分子为0且分母不为0，因此将x=4代入分子令其等于0，可求出n的值，得到完整的分式表达式；③最后将x=a、分式值为0.1代入表达式，解一元一次方程即可得到a的值，注意检验分母不为0。
【解析】
1. 求m的值：
当x=-4时分式无意义，此时分母为0，即：
$2×(-4) - m = 0$
解得$m=-8$。
2. 求n的值：
当x=4时分式值为0，此时分子为0且分母不为0，即：
$4 + n = 0$
解得$n=-4$，代入分母验证：$2×4 - (-8)=16≠0$，符合条件。
因此原分式为$\frac{x - 4}{2x + 8}$。
3. 求a的值：
当x=a时分式值为0.1，代入得：
$\frac{a - 4}{2a + 8}=0.1$
两边同乘$2a+8$（$2a+8≠0$）得：
$a - 4 = 0.1×(2a + 8)$
展开计算：$a - 4 = 0.2a + 0.8$
移项合并同类项：$0.8a = 4.8$
解得$a=6$，检验：当$a=6$时，分母$2×6+8=20≠0$，解成立。
【答案】
6
【知识点】
分式的相关性质，解分式方程
【点评】
本题考查分式性质的基础应用，解题的关键是掌握分式无意义、值为0的条件，求解参数后代入计算即可，注意解分式方程要检验分母不为0，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
5.若$x=4$是关于$x$的分式方程$\frac{a-2}{x}=\frac{1}{x-3}$的解，则$a$的值为
6
。答案
5.6
解析
【分析】
解题核心是利用方程的解的性质：方程的解代入方程后，方程左右两边相等。已知x=4是给定分式方程的解，只需将x=4代入原分式方程，即可将原方程转化为仅含未知数a的一元一次方程，再按一元一次方程的求解步骤计算，就能得到a的值。
【解析】
∵ $x=4$是分式方程$\frac{a-2}{x}=\frac{1}{x-3}$的解
∴ 将$x=4$代入原方程，等式成立，可得：
$\frac{a-2}{4}=\frac{1}{4-3}$
化简右侧得：$\frac{1}{4-3}=1$，即$\frac{a-2}{4}=1$
方程两边同时乘以4得：$a-2=4$
移项计算得：$a=4+2=6$
【答案】
6
【知识点】
分式方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对分式方程解的概念的理解，解题关键是正确将已知解代入原方程，转化为一元一次方程求解，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题核心是利用方程的解的性质：方程的解代入方程后，方程左右两边相等。已知x=4是给定分式方程的解，只需将x=4代入原分式方程，即可将原方程转化为仅含未知数a的一元一次方程，再按一元一次方程的求解步骤计算，就能得到a的值。
【解析】
∵ $x=4$是分式方程$\frac{a-2}{x}=\frac{1}{x-3}$的解
∴ 将$x=4$代入原方程，等式成立，可得：
$\frac{a-2}{4}=\frac{1}{4-3}$
化简右侧得：$\frac{1}{4-3}=1$，即$\frac{a-2}{4}=1$
方程两边同时乘以4得：$a-2=4$
移项计算得：$a=4+2=6$
【答案】
6
【知识点】
分式方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对分式方程解的概念的理解，解题关键是正确将已知解代入原方程，转化为一元一次方程求解，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.9
6.解方程.
(1) $\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{2}{x+1}.$
(2) $\dfrac{4}{x^2+x}-\dfrac{3}{x^2-x}=0.$
(1) $\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{2}{x+1}.$
(2) $\dfrac{4}{x^2+x}-\dfrac{3}{x^2-x}=0.$
答案
6.(1)$x=7$. (2)$x=7$.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，最后必须验根：①先确定方程中各分式的最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程得到未知数的值；④将所得值代入最简公分母检验，若最简公分母不为0，则是原方程的解，若为0则是增根，需舍去。
第(1)题两个分式的分母分别为$x-3$和$x+1$，最简公分母为$(x-3)(x+1)$；第(2)题先将分母因式分解：$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-x=x(x-1)$，可得最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 解：方程两边同乘最简公分母$(x-3)(x+1)$，得：
$x+1=2(x-3)$
展开括号：$x+1=2x-6$
移项合并同类项：$-x=-7$
系数化为1：$x=7$
检验：当$x=7$时，$(x-3)(x+1)=(7-3)×(7+1)=32≠0$，因此$x=7$是原分式方程的解。
(2) 解：先对分母因式分解，原方程可变形为：
$\dfrac{4}{x(x+1)}-\dfrac{3}{x(x-1)}=0$
方程两边同乘最简公分母$x(x+1)(x-1)$，得：
$4(x-1)-3(x+1)=0$
展开括号：$4x-4-3x-3=0$
合并同类项：$x-7=0$
解得：$x=7$
检验：当$x=7$时，$x(x+1)(x-1)=7×8×6=336≠0$，因此$x=7$是原分式方程的解。
【答案】
(1)$x=7$；(2)$x=7$
【知识点】
1.分式方程的解法 2.整式方程求解 3.分式方程验根
【点评】
本题是分式方程的基础常规题，考查解分式方程的标准步骤，解题时需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，完成求解后必须验根，避免增根被误当作原方程的解。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，最后必须验根：①先确定方程中各分式的最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程得到未知数的值；④将所得值代入最简公分母检验，若最简公分母不为0，则是原方程的解，若为0则是增根，需舍去。
第(1)题两个分式的分母分别为$x-3$和$x+1$，最简公分母为$(x-3)(x+1)$；第(2)题先将分母因式分解：$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-x=x(x-1)$，可得最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 解：方程两边同乘最简公分母$(x-3)(x+1)$，得：
$x+1=2(x-3)$
展开括号：$x+1=2x-6$
移项合并同类项：$-x=-7$
系数化为1：$x=7$
检验：当$x=7$时，$(x-3)(x+1)=(7-3)×(7+1)=32≠0$，因此$x=7$是原分式方程的解。
(2) 解：先对分母因式分解，原方程可变形为：
$\dfrac{4}{x(x+1)}-\dfrac{3}{x(x-1)}=0$
方程两边同乘最简公分母$x(x+1)(x-1)$，得：
$4(x-1)-3(x+1)=0$
展开括号：$4x-4-3x-3=0$
合并同类项：$x-7=0$
解得：$x=7$
检验：当$x=7$时，$x(x+1)(x-1)=7×8×6=336≠0$，因此$x=7$是原分式方程的解。
【答案】
(1)$x=7$；(2)$x=7$
【知识点】
1.分式方程的解法 2.整式方程求解 3.分式方程验根
【点评】
本题是分式方程的基础常规题，考查解分式方程的标准步骤，解题时需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，完成求解后必须验根，避免增根被误当作原方程的解。
【难度系数】
0.8
7.已知关于$x$的分式方程$\frac{x}{x-3} -4=\frac{k}{3-x}$的解为非正数，则$k$的取值范围是（
A.$k≤ -12$
B.$k≥ -12$
C.$k＞ -12$
D.$k＜ -12$
A
）。A.$k≤ -12$
B.$k≥ -12$
C.$k＞ -12$
D.$k＜ -12$
答案
7.A
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，分式方程需要先转化为整式方程求解，先通过去分母得到用含k的代数式表示x的表达式；其次，题目明确解为非正数，也就是x≤0，据此列出关于k的不等式求解；最后，一定要注意分式方程的分母不能为0，需要验证增根对应的k值是否在我们求出的范围内，排除不符合条件的k值。
【解析】
首先对原分式方程进行变形：
$\frac{x}{x-3} -4=\frac{k}{3-x}$可化为$\frac{x}{x-3} -4=-\frac{k}{x-3}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-3)$（注意$x≠3$，否则分母为0，分式无意义），去分母得：
$x - 4(x-3) = -k$
展开并整理等式左边：
$x - 4x + 12 = -k$
$-3x + 12 = -k$
解关于x的等式，得：
$-3x = -k -12$
$x = \frac{k+12}{3}$
已知方程的解为非正数，即$x≤0$，代入得：
$\frac{k+12}{3} ≤ 0$
两边同乘3得：$k + 12 ≤ 0$，解得$k≤ -12$
接下来验证增根情况：若方程产生增根，则$x=3$，代入$x = \frac{k+12}{3}$得$3=\frac{k+12}{3}$，解得$k=-3$，$k=-3$不在$k≤ -12$的范围内，因此无需额外排除。
综上，k的取值范围是$k≤ -12$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程结合不等式的典型考题，解题核心是先将分式方程转化为整式方程求出未知数的表达式，再结合解的限制条件列不等式求解，做题时需特别注意不要遗漏分式分母不为0的隐含条件，避免出现增根相关的错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，分式方程需要先转化为整式方程求解，先通过去分母得到用含k的代数式表示x的表达式；其次，题目明确解为非正数，也就是x≤0，据此列出关于k的不等式求解；最后，一定要注意分式方程的分母不能为0，需要验证增根对应的k值是否在我们求出的范围内，排除不符合条件的k值。
【解析】
首先对原分式方程进行变形：
$\frac{x}{x-3} -4=\frac{k}{3-x}$可化为$\frac{x}{x-3} -4=-\frac{k}{x-3}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-3)$（注意$x≠3$，否则分母为0，分式无意义），去分母得：
$x - 4(x-3) = -k$
展开并整理等式左边：
$x - 4x + 12 = -k$
$-3x + 12 = -k$
解关于x的等式，得：
$-3x = -k -12$
$x = \frac{k+12}{3}$
已知方程的解为非正数，即$x≤0$，代入得：
$\frac{k+12}{3} ≤ 0$
两边同乘3得：$k + 12 ≤ 0$，解得$k≤ -12$
接下来验证增根情况：若方程产生增根，则$x=3$，代入$x = \frac{k+12}{3}$得$3=\frac{k+12}{3}$，解得$k=-3$，$k=-3$不在$k≤ -12$的范围内，因此无需额外排除。
综上，k的取值范围是$k≤ -12$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程结合不等式的典型考题，解题核心是先将分式方程转化为整式方程求出未知数的表达式，再结合解的限制条件列不等式求解，做题时需特别注意不要遗漏分式分母不为0的隐含条件，避免出现增根相关的错误。
【难度系数】
0.7
8.对于非零实数$a$，$b$，规定$a\oplus b=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$.若$(2x-1)\oplus2=1$，则$x$的值为
$\frac{5}{6}$
.答案
8.$\frac{5}{6}$
解析
【分析】
这是新定义运算结合分式方程求解的题型，解题思路清晰明确：第一步先准确理解给定的新运算规则$a\oplus b=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$，找到对应运算里的$a$和$b$分别是$2x-1$和$2$；第二步把新运算转化为常规的分式方程；第三步按照分式方程的标准步骤求解，最后必须检验解是否为原方程的有效根，排除增根。
【解析】
根据题中规定的新运算规则，可得：
$(2x-1)\oplus2=\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{2}=1$
去分母，两边同时乘以最简公分母$2(2x-1)$（要求$2x-1≠0$），得：
$2-(2x-1)=2(2x-1)$
去括号：
$2-2x+1=4x-2$
整理得：
$3-2x=4x-2$
移项合并同类项：
$6x=5$
系数化为1，得：
$x=\frac{5}{6}$
检验：当$x=\frac{5}{6}$时，$2x-1=2×\frac{5}{6}-1=\frac{2}{3}≠0$，因此$x=\frac{5}{6}$是原分式方程的解。
【答案】
$\frac{5}{6}$
【知识点】
新定义运算；解分式方程
【点评】
本题解题关键是正确将新定义运算转化为常规的分式方程，求解时注意去分母不要漏乘常数项，解完分式方程必须检验根是否让原分式的分母不为零，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
这是新定义运算结合分式方程求解的题型，解题思路清晰明确：第一步先准确理解给定的新运算规则$a\oplus b=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$，找到对应运算里的$a$和$b$分别是$2x-1$和$2$；第二步把新运算转化为常规的分式方程；第三步按照分式方程的标准步骤求解，最后必须检验解是否为原方程的有效根，排除增根。
【解析】
根据题中规定的新运算规则，可得：
$(2x-1)\oplus2=\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{2}=1$
去分母，两边同时乘以最简公分母$2(2x-1)$（要求$2x-1≠0$），得：
$2-(2x-1)=2(2x-1)$
去括号：
$2-2x+1=4x-2$
整理得：
$3-2x=4x-2$
移项合并同类项：
$6x=5$
系数化为1，得：
$x=\frac{5}{6}$
检验：当$x=\frac{5}{6}$时，$2x-1=2×\frac{5}{6}-1=\frac{2}{3}≠0$，因此$x=\frac{5}{6}$是原分式方程的解。
【答案】
$\frac{5}{6}$
【知识点】
新定义运算；解分式方程
【点评】
本题解题关键是正确将新定义运算转化为常规的分式方程，求解时注意去分母不要漏乘常数项，解完分式方程必须检验根是否让原分式的分母不为零，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
