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9.当$m=$
$-3$
时，方程$\frac{x}{x-3}=2-\frac{m}{x-3}$无解。答案
9.$-3$
解析
【分析】
分式方程无解通常是因为方程存在增根，即去分母后得到的整式方程的解使得原分式方程的分母为0。本题中分式的分母为x-3，因此增根只能是x=3。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再将增根x=3代入整式方程，即可求出对应的m值。
【解析】
要使原分式方程无解，则方程存在增根，此时分母为0，即：
$x-3=0$，解得$x=3$
将原方程两边同时乘以最简公分母$(x-3)$（$x≠3$）去分母得：
$x=2(x-3)-m$
展开并整理整式方程：
$x=2x-6-m$
移项得：$x=6+m$
将增根$x=3$代入上式得：
$3=6+m$
解得：$m=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件；解分式方程
【点评】
本题是分式方程章节的典型题型，核心考查对分式方程增根概念的理解，解题关键是明确增根是使原分式分母为0的根，同时满足去分母后的整式方程，代入计算即可求出参数值。
【难度系数】
0.7
分式方程无解通常是因为方程存在增根，即去分母后得到的整式方程的解使得原分式方程的分母为0。本题中分式的分母为x-3，因此增根只能是x=3。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再将增根x=3代入整式方程，即可求出对应的m值。
【解析】
要使原分式方程无解，则方程存在增根，此时分母为0，即：
$x-3=0$，解得$x=3$
将原方程两边同时乘以最简公分母$(x-3)$（$x≠3$）去分母得：
$x=2(x-3)-m$
展开并整理整式方程：
$x=2x-6-m$
移项得：$x=6+m$
将增根$x=3$代入上式得：
$3=6+m$
解得：$m=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件；解分式方程
【点评】
本题是分式方程章节的典型题型，核心考查对分式方程增根概念的理解，解题关键是明确增根是使原分式分母为0的根，同时满足去分母后的整式方程，代入计算即可求出参数值。
【难度系数】
0.7
10.解方程.
(1) $\frac{x}{x-3} - \frac{1}{2x-6} = \frac{1}{2}$.
(2) $\frac{1}{2x-1} = \frac{2}{4x^2 -1}$.
(3) $\frac{6}{x-2} = \frac{x}{x+3} -1$.
(4) $\frac{3-x}{x+3} - \frac{8}{9-x^2} = -1$.
(1) $\frac{x}{x-3} - \frac{1}{2x-6} = \frac{1}{2}$.
(2) $\frac{1}{2x-1} = \frac{2}{4x^2 -1}$.
(3) $\frac{6}{x-2} = \frac{x}{x+3} -1$.
(4) $\frac{3-x}{x+3} - \frac{8}{9-x^2} = -1$.
答案
10.(1)$x=-2$. (2)原方程无解. (3)$x=-\frac{4}{3}$. (4)$x=\frac{5}{3}$.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤如下：①先对各分母因式分解，确定最简公分母，同时明确分母不为0的未知数取值范围；②方程两边同时乘最简公分母，约去分母得到整式方程；③解整式方程得到未知数的候选解；④检验：将候选解代入最简公分母，若公分母为0则该解是增根，原方程无解，若公分母不为0则该解是原方程的根。求解时注意不要漏乘常数项，最后必须检验。
【解析】
(1) 先因式分解分母得$2x-6=2(x-3)$，最简公分母为$2(x-3)$（$x≠3$）。
方程两边同乘$2(x-3)$，得：$2x - 1 = x - 3$
移项合并同类项得：$x=-2$
检验：当$x=-2$时，$2(x-3)=2×(-5)=-10≠0$，所以$x=-2$是原方程的解。
(2) 先因式分解分母得$4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$，最简公分母为$(2x-1)(2x+1)$（$x≠\pm\frac{1}{2}$）。
方程两边同乘$(2x-1)(2x+1)$，得：$2x + 1 = 2$
解得：$x=\frac{1}{2}$
检验：当$x=\frac{1}{2}$时，$(2x-1)(2x+1)=0$，$x=\frac{1}{2}$是增根，所以原方程无解。
(3) 最简公分母为$(x-2)(x+3)$（$x≠2$且$x≠-3$）。
方程两边同乘$(x-2)(x+3)$，得：$6(x+3)=x(x-2) - (x-2)(x+3)$
展开化简：左边$=6x+18$，右边$=x^2-2x - (x^2+x-6)=-3x+6$
即$6x+18=-3x+6$，移项合并得$9x=-12$，解得$x=-\frac{4}{3}$
检验：当$x=-\frac{4}{3}$时，$(x-2)(x+3)=-\frac{50}{9}≠0$，所以$x=-\frac{4}{3}$是原方程的解。
(4) 先因式分解分母得$9-x^2=-(x^2-9)=-(x+3)(x-3)$，最简公分母为$(x+3)(x-3)$（$x≠\pm3$）。
方程两边同乘$(x+3)(x-3)$，得：$(3-x)(x-3) + 8 = -(x^2-9)$
展开化简：左边$=-x^2+6x-1$，右边$=-x^2+9$
消去两边$-x^2$得$6x-1=9$，解得$x=\frac{5}{3}$
检验：当$x=\frac{5}{3}$时，$(x+3)(x-3)=-\frac{56}{9}≠0$，所以$x=\frac{5}{3}$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=-2$；(2)原方程无解；(3)$x=-\frac{4}{3}$；(4)$x=\frac{5}{3}$
【知识点】
1.分式方程解法
2.增根检验
3.因式分解
【点评】
这组题目是分式方程的典型基础题，覆盖了分母因式分解、去分母、增根判断等核心考点，求解时要注意不要漏乘方程中的常数项，牢记检验是分式方程求解必不可少的步骤，避免因漏验增根出现错误。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤如下：①先对各分母因式分解，确定最简公分母，同时明确分母不为0的未知数取值范围；②方程两边同时乘最简公分母，约去分母得到整式方程；③解整式方程得到未知数的候选解；④检验：将候选解代入最简公分母，若公分母为0则该解是增根，原方程无解，若公分母不为0则该解是原方程的根。求解时注意不要漏乘常数项，最后必须检验。
【解析】
(1) 先因式分解分母得$2x-6=2(x-3)$，最简公分母为$2(x-3)$（$x≠3$）。
方程两边同乘$2(x-3)$，得：$2x - 1 = x - 3$
移项合并同类项得：$x=-2$
检验：当$x=-2$时，$2(x-3)=2×(-5)=-10≠0$，所以$x=-2$是原方程的解。
(2) 先因式分解分母得$4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$，最简公分母为$(2x-1)(2x+1)$（$x≠\pm\frac{1}{2}$）。
方程两边同乘$(2x-1)(2x+1)$，得：$2x + 1 = 2$
解得：$x=\frac{1}{2}$
检验：当$x=\frac{1}{2}$时，$(2x-1)(2x+1)=0$，$x=\frac{1}{2}$是增根，所以原方程无解。
(3) 最简公分母为$(x-2)(x+3)$（$x≠2$且$x≠-3$）。
方程两边同乘$(x-2)(x+3)$，得：$6(x+3)=x(x-2) - (x-2)(x+3)$
展开化简：左边$=6x+18$，右边$=x^2-2x - (x^2+x-6)=-3x+6$
即$6x+18=-3x+6$，移项合并得$9x=-12$，解得$x=-\frac{4}{3}$
检验：当$x=-\frac{4}{3}$时，$(x-2)(x+3)=-\frac{50}{9}≠0$，所以$x=-\frac{4}{3}$是原方程的解。
(4) 先因式分解分母得$9-x^2=-(x^2-9)=-(x+3)(x-3)$，最简公分母为$(x+3)(x-3)$（$x≠\pm3$）。
方程两边同乘$(x+3)(x-3)$，得：$(3-x)(x-3) + 8 = -(x^2-9)$
展开化简：左边$=-x^2+6x-1$，右边$=-x^2+9$
消去两边$-x^2$得$6x-1=9$，解得$x=\frac{5}{3}$
检验：当$x=\frac{5}{3}$时，$(x+3)(x-3)=-\frac{56}{9}≠0$，所以$x=\frac{5}{3}$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=-2$；(2)原方程无解；(3)$x=-\frac{4}{3}$；(4)$x=\frac{5}{3}$
【知识点】
1.分式方程解法
2.增根检验
3.因式分解
【点评】
这组题目是分式方程的典型基础题，覆盖了分母因式分解、去分母、增根判断等核心考点，求解时要注意不要漏乘方程中的常数项，牢记检验是分式方程求解必不可少的步骤，避免因漏验增根出现错误。
【难度系数】
0.7
11.关于$x$的分式方程$\frac{3x - a}{x - 3} + \frac{x + 1}{3 - x} = 1$的解为正数，且关于$y$的不等式组$\begin{cases} y + 9 ≤ 2(y + 2), \\ \frac{2y - a}{3} ＞ 1 \end{cases}$的解集为$y ≥ 5$，求所有满足条件的整数$a$的值之和。
答案
11.解分式方程得$x=a-2$.
$\because x＞0$且$x≠3,\therefore a-2＞0$且$a-2≠3.\therefore a＞2$且$a≠5$.
解不等式组,得$\begin{cases} y≥5,\\ y＞\dfrac{a+3}{2}, \end{cases}$
$\because$不等式组的解集为$y≥5,\therefore \dfrac{a+3}{2}＜5.\therefore a＜7.\therefore 2＜a＜7$且$a≠5$,
$\therefore$所有满足条件的整数$a$的值之和为$3+4+6=13$.
$\because x＞0$且$x≠3,\therefore a-2＞0$且$a-2≠3.\therefore a＞2$且$a≠5$.
解不等式组,得$\begin{cases} y≥5,\\ y＞\dfrac{a+3}{2}, \end{cases}$
$\because$不等式组的解集为$y≥5,\therefore \dfrac{a+3}{2}＜5.\therefore a＜7.\therefore 2＜a＜7$且$a≠5$,
$\therefore$所有满足条件的整数$a$的值之和为$3+4+6=13$.
解析
【分析】
本题是分式方程与一元一次不等式组的综合题，解题思路可分为三步：①先解分式方程，用含a的式子表示x，结合“解为正数”和“分式分母不为0（排除增根）”的要求，得到a的第一个取值范围；②再分别解不等式组中的两个不等式，结合题目给出的“不等式组解集为y≥5”，根据“同大取大”的解集确定规则，得到a的第二个取值范围；③综合两个范围筛选出所有符合条件的整数a，求和即可。
【解析】
1. 解分式方程$\frac{3x - a}{x - 3} + \frac{x + 1}{3 - x} = 1$：
将方程变形为同分母形式：$\frac{3x - a}{x - 3} - \frac{x + 1}{x - 3} = 1$，
两边同乘$x-3$（$x≠3$，避免分母为0）去分母得：$3x - a - (x + 1) = x - 3$，
去括号、移项合并同类项得：$x = a - 2$。
∵ 分式方程的解为正数，且分母不能为0，
∴ $x＞0$且$x≠3$，即$a - 2 ＞ 0$且$a - 2 ≠ 3$，
解得：$a ＞ 2$且$a ≠ 5$。
2. 解不等式组$\begin{cases} y + 9 ≤ 2(y + 2) \\ \frac{2y - a}{3} ＞ 1 \end{cases}$：
解第一个不等式：
展开右边得$y + 9 ≤ 2y + 4$，移项得$y ≥ 5$。
解第二个不等式：
两边同乘3得$2y - a ＞ 3$，移项整理得$y ＞ \frac{a + 3}{2}$。
∵ 不等式组的解集为$y ≥ 5$，根据“同大取大”的解集规则，
∴ $\frac{a + 3}{2} ＜ 5$，解得$a ＜ 7$。
3. 综合两个取值范围得$2 ＜ a ＜ 7$且$a ≠ 5$，符合条件的整数a为3、4、6，
则所有满足条件的整数a的值之和为$3 + 4 + 6 = 13$。
【答案】
13
【知识点】
分式方程求解；一元一次不等式组解集；整数解计算
【点评】
本题是代数综合基础题型，同时考查分式方程和不等式组的核心知识，解题时需要特别注意分式方程要排除增根的隐藏限制，熟练掌握不等式组解集的确定规则，避免因忽略限制条件出现多解、漏解的错误。
【难度系数】
0.6
本题是分式方程与一元一次不等式组的综合题，解题思路可分为三步：①先解分式方程，用含a的式子表示x，结合“解为正数”和“分式分母不为0（排除增根）”的要求，得到a的第一个取值范围；②再分别解不等式组中的两个不等式，结合题目给出的“不等式组解集为y≥5”，根据“同大取大”的解集确定规则，得到a的第二个取值范围；③综合两个范围筛选出所有符合条件的整数a，求和即可。
【解析】
1. 解分式方程$\frac{3x - a}{x - 3} + \frac{x + 1}{3 - x} = 1$：
将方程变形为同分母形式：$\frac{3x - a}{x - 3} - \frac{x + 1}{x - 3} = 1$，
两边同乘$x-3$（$x≠3$，避免分母为0）去分母得：$3x - a - (x + 1) = x - 3$，
去括号、移项合并同类项得：$x = a - 2$。
∵ 分式方程的解为正数，且分母不能为0，
∴ $x＞0$且$x≠3$，即$a - 2 ＞ 0$且$a - 2 ≠ 3$，
解得：$a ＞ 2$且$a ≠ 5$。
2. 解不等式组$\begin{cases} y + 9 ≤ 2(y + 2) \\ \frac{2y - a}{3} ＞ 1 \end{cases}$：
解第一个不等式：
展开右边得$y + 9 ≤ 2y + 4$，移项得$y ≥ 5$。
解第二个不等式：
两边同乘3得$2y - a ＞ 3$，移项整理得$y ＞ \frac{a + 3}{2}$。
∵ 不等式组的解集为$y ≥ 5$，根据“同大取大”的解集规则，
∴ $\frac{a + 3}{2} ＜ 5$，解得$a ＜ 7$。
3. 综合两个取值范围得$2 ＜ a ＜ 7$且$a ≠ 5$，符合条件的整数a为3、4、6，
则所有满足条件的整数a的值之和为$3 + 4 + 6 = 13$。
【答案】
13
【知识点】
分式方程求解；一元一次不等式组解集；整数解计算
【点评】
本题是代数综合基础题型，同时考查分式方程和不等式组的核心知识，解题时需要特别注意分式方程要排除增根的隐藏限制，熟练掌握不等式组解集的确定规则，避免因忽略限制条件出现多解、漏解的错误。
【难度系数】
0.6
12.如图,将形状、大小完全相同的“△”按照一定规律摆成下列图形,图①中“△”的个数为$a_1$,图②中“△”的个数为$a_2$,图③中“△”的个数为$a_3$,以此类推,若$\frac{2}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\frac{2}{a_3}+\dots+\frac{2}{a_n}=\frac{n}{2027}$(n为正整数),则n的值为
4 053
.答案
12.4 053
解析
【分析】
首先观察图形，总结“△”个数的规律：图①有2个，即1×2；图②有6个，即2×3；图③有12个，即3×4，以此类推可得第n个图中“△”的个数$a_n=n(n+1)$。再对分式$\frac{2}{a_n}$进行裂项拆分，通过裂项相消法化简求和式，最后结合已知等式解方程求出n的值。
【解析】
第一步：找$a_n$的规律
观察图形：
$a_1=2=1×2$，
$a_2=6=2×3$，
$a_3=12=3×4$，
$a_4=20=4×5$，
……
可归纳得：$a_n=n(n+1)$（n为正整数）。
第二步：化简求和式
$\frac{2}{a_n}=\frac{2}{n(n+1)}=2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$，
则：
$\begin{aligned}\frac{2}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\dots+\frac{2}{a_n}&=2[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]\\&=2(1-\frac{1}{n+1})\\&=\frac{2n}{n+1}\end{aligned}$
第三步：解方程求n
根据题意得$\frac{2n}{n+1}=\frac{n}{2027}$，
因为n为正整数，$n≠0$，两边同时除以n得：
$\frac{2}{n+1}=\frac{1}{2027}$，
交叉相乘得：$n+1=4054$，
解得$n=4053$。
【答案】
4053
【知识点】
图形规律探究，分式裂项求和，解分式方程
【点评】
本题结合图形规律与分式运算，既考查了观察归纳能力，也考查了分式运算技巧，解题的关键是准确推导$a_n$的通项公式，熟练运用裂项相消法简化求和过程。
【难度系数】
0.65
首先观察图形，总结“△”个数的规律：图①有2个，即1×2；图②有6个，即2×3；图③有12个，即3×4，以此类推可得第n个图中“△”的个数$a_n=n(n+1)$。再对分式$\frac{2}{a_n}$进行裂项拆分，通过裂项相消法化简求和式，最后结合已知等式解方程求出n的值。
【解析】
第一步：找$a_n$的规律
观察图形：
$a_1=2=1×2$，
$a_2=6=2×3$，
$a_3=12=3×4$，
$a_4=20=4×5$，
……
可归纳得：$a_n=n(n+1)$（n为正整数）。
第二步：化简求和式
$\frac{2}{a_n}=\frac{2}{n(n+1)}=2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$，
则：
$\begin{aligned}\frac{2}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\dots+\frac{2}{a_n}&=2[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]\\&=2(1-\frac{1}{n+1})\\&=\frac{2n}{n+1}\end{aligned}$
第三步：解方程求n
根据题意得$\frac{2n}{n+1}=\frac{n}{2027}$，
因为n为正整数，$n≠0$，两边同时除以n得：
$\frac{2}{n+1}=\frac{1}{2027}$，
交叉相乘得：$n+1=4054$，
解得$n=4053$。
【答案】
4053
【知识点】
图形规律探究，分式裂项求和，解分式方程
【点评】
本题结合图形规律与分式运算，既考查了观察归纳能力，也考查了分式运算技巧，解题的关键是准确推导$a_n$的通项公式，熟练运用裂项相消法简化求和过程。
【难度系数】
0.65
