5.如图,在$△ ABC$中,BO平分$∠ ABC$,CO平分$∠ ACB$,$MN$经过点$O$,且$MN// BC$,若$AB=12\ \mathrm{cm}$,$AC=18\ \mathrm{cm}$,则$△ AMN$的周长是()

A.15 cm
B.18 cm
C.24 cm
D.30 cm

D

【分析】
遇到角平分线和平行线同时出现的情况，优先考虑推导等腰三角形：①先利用角平分线的定义得到两个角相等，再结合平行线的内错角相等，推出等角对等边，得到MO=MB、NO=NC；②将△AMN的周长拆解为AM+MN+AN，把MN拆成MO+ON，再用前面得到的等量关系代换，就能把周长转化为AB与AC的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠OBC（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABO=∠MOB，
∴MO=MB（等角对等边），
同理可得：CO平分∠ACB，MN//BC，
∴∠NOC=∠OCB=∠ACO，
∴NO=NC，
△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MO+ON+AN，
将MO=MB、NO=NC代入得：
周长=AM+MB+AN+NC=AB+AC，
∵AB=12cm，AC=18cm，
∴周长=12+18=30cm。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型应用题型，解题核心是利用角平分线和平行线的组合得到等腰三角形，通过边长的等量代换将未知周长转化为已知边长的和，简化计算。
【难度系数】
0.7

6. 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,且DE//BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点F,G.若FG=2,DE=6,则BD+CE的值为()

A.6
B.4
C.8
D.3

B

【分析】
解题思路：首先结合已知条件DE//BC和角平分线，利用平行线的内错角相等性质，进行角的等量代换，得到两个等腰三角形△BDF和△CEG，将BD转化为DF、CE转化为EG；再根据线段DE的组成关系，计算DF+EG的长度，即可得到BD+CE的值。
第一步：由平行线性质得到∠DFB=∠FBC，∠EGC=∠GCB；
第二步：结合角平分线定义，得到∠DBF=∠DFB，∠ECG=∠EGC，推出BD=DF，CE=EG；
第三步：根据DE=DF+FG+EG，推导BD+CE=DE-FG，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵DE//BC
∴∠DFB=∠FBC，∠EGC=∠GCB（两直线平行，内错角相等）
∵BF平分∠ABC，CG平分∠ACB
∴∠DBF=∠FBC，∠ECG=∠GCB
∴∠DFB=∠DBF，∠EGC=∠ECG
∴BD=DF，CE=EG（等角对等边）
∵DE=DF+FG+EG，DE=6，FG=2
∴DF+EG=DE-FG=6-2=4
∴BD+CE=DF+EG=4
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是通过角的等量转换识别出等腰三角形，将所求线段和转化为已知线段的差，该类解题方法在几何线段求值问题中较为常用，要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

7.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A,B是两格点，如果C也是图中的格点，且使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有()

A.6个
B.7个
C.8个
D.9个

C

【分析】
要找出使△ABC为等腰三角形的格点C，需按等腰三角形的边长情况分类讨论：①AB为等腰三角形的腰，此时分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，找到经过的格点（排除A、B本身）；②AB为等腰三角形的底边，此时作AB的垂直平分线，找到线上的格点。最后统计所有符合条件的格点数量即可，注意不要漏算、重复算。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，可求得AB的长度为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，分两种情况讨论：
1. 当AB为等腰$△ ABC$的腰时：
以A为圆心，AB长为半径画弧，经过的格点（除点B外）共有3个，均满足$AC=AB$，可构成等腰三角形；
以B为圆心，AB长为半径画弧，经过的格点（除点A外）共有3个，均满足$BC=AB$，可构成等腰三角形；
2. 当AB为等腰$△ ABC$的底边时：
作AB的垂直平分线，线上与网格交点的格点共有2个，均满足$AC=BC$，可构成等腰三角形。
综上，符合条件的点C共有$3+3+2=8$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想，网格作图
【点评】
本题属于网格中等腰三角形的计数问题，核心是利用等腰三角形的性质分类讨论，解题时容易出现漏算某一类情况的错误，需养成按标准分类计数的习惯。
【难度系数】
0.6

8.如图，在长方形ABCD中，AD=5，将长方形沿BD折叠，点A落在点E处，DE与BC交于点F，且BF=3，则EF的长为（）

A.1
B.2
C.2.5
D.3

B

【分析】
解题时先从长方形的性质入手，长方形对边平行，可得内错角∠ADB=∠DBF；再结合折叠的性质，折叠前后对应角相等，可知∠ADB=∠FDB，等量代换后可得到△BFD是等腰三角形，利用等角对等边求出DF的长度；再根据折叠前后对应边相等得到DE的长度，最后用DE减去DF即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，AD=5，
∴∠ADB=∠DBF（两直线平行，内错角相等）。
∵将长方形沿BD折叠，点A落在点E处，
∴∠ADB=∠FDB，DE=AD=5（折叠前后对应角、对应边相等）。
∴∠FDB=∠DBF，
∴DF=BF=3（等角对等边）。
∴EF=DE - DF=5 - 3=2。
【答案】
B
【知识点】
长方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是通过角的等量代换得到等腰三角形，进而求出对应线段长度，难度不大，需要熟练掌握图形折叠的特性和等腰三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7

9. 如图,一艘轮船在近海处由南向北航行,点C是灯塔,轮船在A处测得灯塔在其北偏西$38°$的方向上,轮船又从A向北航行30海里到B,测得灯塔在其北偏西$76°$的方向上.
(1)求$∠ ACB$的度数;
(2)轮船在B处时,它到灯塔C的距离是多少?

解：
(1) 由题意可知，∠NBC=76°，∠A=38°，
∵ ∠NBC是△ABC的外角，
∴ ∠ACB = ∠NBC - ∠A = 76° - 38° = 38°。
(2) ∵ ∠ACB = ∠A = 38°，
∴ BC = AB（等角对等边），
∵ AB = 30海里，
∴ BC = 30海里。
答：轮船在B处时，它到灯塔C的距离是30海里。

【分析】
(1) 求解∠ACB的度数时，先观察图形特征，可知∠NBC是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，已知∠NBC和∠A的度数，用∠NBC减去∠A即可得到∠ACB的度数。
(2) 得到∠ACB的度数后，对比发现∠ACB和∠A的度数相等，根据等腰三角形“等角对等边”的判定规则，可推出BC和AB的长度相等，结合已知AB的长度，就能求出B处到灯塔C的距离。
【解析】
(1) 由题意可知，∠NBC=76°，∠A=38°，
∵ ∠NBC是△ABC的外角，
∴ ∠ACB = ∠NBC - ∠A = 76° - 38° = 38°。
(2)
∵ ∠ACB = ∠A = 38°，
∴ BC = AB（等角对等边），
∵ AB = 30海里，
∴ BC = 30海里。
【答案】
(1) ∠ACB的度数为38°；
(2) 轮船在B处时到灯塔C的距离是30海里。
【知识点】
三角形外角的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题结合航行中的方位角场景，考查三角形外角性质和等腰三角形判定的实际应用，解题的核心是准确识别图形中的角的位置关系，将实际问题转化为几何计算问题，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8

10.已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为b，作出这个等腰三角形. 第10题图

解：
作法如下：
(1) 作线段BC，使BC = a；
(2) 作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D；
(3) 在MN上截取线段DA，使DA = b；
(4) 连接AB、AC。
则△ABC即为所求作的等腰三角形。

【分析】
要作出已知底边长和底边上高的等腰三角形，可结合等腰三角形“三线合一”的性质推导作图步骤：首先等腰三角形的底边长度确定为a，可先画出对应长度的底边；其次等腰三角形底边上的高与底边的垂直平分线重合，因此顶点一定在底边的垂直平分线上，且顶点到底边的距离等于高b，据此在垂直平分线上截取对应长度即可确定顶点位置，最后连接顶点和底边两端点就得到所求三角形。
【解析】
按照尺规作图的规范步骤操作：
1. 作线段BC，使得BC=a；
2. 作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D；
3. 在MN上截取线段DA，使得DA=b；
4. 连接AB、AC，得到△ABC。
【答案】
作法如下：
(1) 作线段BC，使BC = a；
(2) 作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D；
(3) 在MN上截取线段DA，使DA = b；
(4) 连接AB、AC。
则△ABC即为所求作的等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形性质、尺规作图
【点评】
本题属于基础的作图类题目，核心考查等腰三角形三线合一性质的应用，同时要求学生熟练掌握作线段、作线段垂直平分线等基本尺规作图的操作方法，解题的突破口是利用性质确定等腰三角形顶点的位置。
【难度系数】
0.8