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在如图所示的三角形中，若$AB=AC$，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
① 顶角$36°$ ② 顶角$45°$
底角$45°$ ④ 顶角$108°$
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
① 顶角$36°$ ② 顶角$45°$
底角$45°$ ④ 顶角$108°$答案
D
解析
【分析】
解题思路：已知四个三角形均满足AB=AC，都是等腰三角形，首先先根据三角形内角和定理算出每个三角形的三个内角度数，再分别尝试拆分顶角或底角，验证拆分后得到的两个小三角形是否都满足等腰三角形的判定条件（有两个内角相等），即可得出结论。
【解析】
已知AB=AC，四个三角形均为等腰三角形，逐个分析如下：
1. 图①：顶角∠A=36°，则底角$∠ B=∠ C=(180°-36°)÷2=72°$。将底角$∠ B$拆分出36°角，可得一个小三角形内角为36°、36°、108°（等腰），另一个小三角形内角为72°、72°、36°（等腰），因此①符合要求。
2. 图②：顶角∠A=45°，则底角$∠ B=∠ C=(180°-45°)÷2=67.5°$。无论拆分顶角还是拆分底角，拆分后得到的两个小三角形都无法同时满足有两个内角相等，因此②不符合要求。
3. 图③：顶角∠A=90°，则底角$∠ B=∠ C=45°$。作∠A的角平分线，将∠A拆分为两个45°角，得到的两个小三角形均为45°、45°、90°的等腰直角三角形，因此③符合要求。
4. 图④：顶角∠A=108°，则底角$∠ B=∠ C=(180°-108°)÷2=36°$。将顶角∠A拆分出36°角，可得一个小三角形内角为36°、36°、108°（等腰），另一个小三角形内角为72°、72°、36°（等腰），因此④符合要求。
综上，①③④可以被一条直线分成两个小等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形性质与判定的综合应用题型，解题核心是先明确原三角形各内角度数，再通过拆分角验证是否能得到两个等腰三角形，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题思路：已知四个三角形均满足AB=AC，都是等腰三角形，首先先根据三角形内角和定理算出每个三角形的三个内角度数，再分别尝试拆分顶角或底角，验证拆分后得到的两个小三角形是否都满足等腰三角形的判定条件（有两个内角相等），即可得出结论。
【解析】
已知AB=AC，四个三角形均为等腰三角形，逐个分析如下：
1. 图①：顶角∠A=36°，则底角$∠ B=∠ C=(180°-36°)÷2=72°$。将底角$∠ B$拆分出36°角，可得一个小三角形内角为36°、36°、108°（等腰），另一个小三角形内角为72°、72°、36°（等腰），因此①符合要求。
2. 图②：顶角∠A=45°，则底角$∠ B=∠ C=(180°-45°)÷2=67.5°$。无论拆分顶角还是拆分底角，拆分后得到的两个小三角形都无法同时满足有两个内角相等，因此②不符合要求。
3. 图③：顶角∠A=90°，则底角$∠ B=∠ C=45°$。作∠A的角平分线，将∠A拆分为两个45°角，得到的两个小三角形均为45°、45°、90°的等腰直角三角形，因此③符合要求。
4. 图④：顶角∠A=108°，则底角$∠ B=∠ C=(180°-108°)÷2=36°$。将顶角∠A拆分出36°角，可得一个小三角形内角为36°、36°、108°（等腰），另一个小三角形内角为72°、72°、36°（等腰），因此④符合要求。
综上，①③④可以被一条直线分成两个小等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形性质与判定的综合应用题型，解题核心是先明确原三角形各内角度数，再通过拆分角验证是否能得到两个等腰三角形，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
1.在$△ ABC$中，
(1)若$∠ B=∠ C,AB=5$,则$AC=$;
(2)若$∠ B=50°,∠ C=65°$,则$∠ A$的度数为.
(3)若$∠ A:∠ B:∠ C=1:1:2$,则$△ ABC$的形状为.
(1)若$∠ B=∠ C,AB=5$,则$AC=$;
(2)若$∠ B=50°,∠ C=65°$,则$∠ A$的度数为.
(3)若$∠ A:∠ B:∠ C=1:1:2$,则$△ ABC$的形状为.
答案
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{65°}$；(3) $\boldsymbol{等腰直角三角形}$。
解析
【分析】
(1) 已知△ABC中∠B=∠C，可根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，得到∠B和∠C对应的对边相等，结合AB的长度即可求出AC的长；
(2) 直接利用三角形内角和为180°的定理，用180°减去已知的∠B和∠C的度数，就能算出∠A的度数；
(3) 先按三个角的度数比例设未知数，再结合三角形内角和定理列方程求出各角的度数，根据角度特征判断三角形的形状即可。
【解析】
(1) 在△ABC中，
∵∠B=∠C，根据“等角对等边”可得AC=AB，又
∵AB=5，
∴AC=5；
(2) 由三角形内角和为180°，得：
∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-65°=65°；
(3) 设∠A=x，∠B=x，∠C=2x，根据三角形内角和定理列方程：
x+x+2x=180°
解得x=45°，则∠C=2×45°=90°，且∠A=∠B=45°，因此△ABC是等腰直角三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{65°}$；(3) $\boldsymbol{等腰直角三角形}$
【知识点】
等角对等边；三角形内角和定理；等腰直角三角形判定
【点评】
本题是基础类题目，重点考查三角形内角和定理与等腰三角形相关性质、判定的应用，解题时只要熟练掌握相关定理，按步骤计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9
(1) 已知△ABC中∠B=∠C，可根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，得到∠B和∠C对应的对边相等，结合AB的长度即可求出AC的长；
(2) 直接利用三角形内角和为180°的定理，用180°减去已知的∠B和∠C的度数，就能算出∠A的度数；
(3) 先按三个角的度数比例设未知数，再结合三角形内角和定理列方程求出各角的度数，根据角度特征判断三角形的形状即可。
【解析】
(1) 在△ABC中，
∵∠B=∠C，根据“等角对等边”可得AC=AB，又
∵AB=5，
∴AC=5；
(2) 由三角形内角和为180°，得：
∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-65°=65°；
(3) 设∠A=x，∠B=x，∠C=2x，根据三角形内角和定理列方程：
x+x+2x=180°
解得x=45°，则∠C=2×45°=90°，且∠A=∠B=45°，因此△ABC是等腰直角三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{65°}$；(3) $\boldsymbol{等腰直角三角形}$
【知识点】
等角对等边；三角形内角和定理；等腰直角三角形判定
【点评】
本题是基础类题目，重点考查三角形内角和定理与等腰三角形相关性质、判定的应用，解题时只要熟练掌握相关定理，按步骤计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9
2.如图，四边形ABCD中，AD//BC，BC＝5，∠BAD的平分线AE交BC于点E，CE＝2，则线段AB的长为。
答案
解：
∵ AD//BC，
∴ ∠DAE = ∠BEA。
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE = ∠DAE，
∴ ∠BAE = ∠BEA，
∴ AB = BE。
∵ BC = 5，CE = 2，
∴ BE = BC - CE = 5 - 2 = 3，
∴ AB = 3。
∵ AD//BC，
∴ ∠DAE = ∠BEA。
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE = ∠DAE，
∴ ∠BAE = ∠BEA，
∴ AB = BE。
∵ BC = 5，CE = 2，
∴ BE = BC - CE = 5 - 2 = 3，
∴ AB = 3。
解析
【分析】
解题时首先利用平行线的性质得到内错角相等，再结合角平分线的定义做角的等量代换，可推出△ABE中两个内角相等，根据等腰三角形“等角对等边”的判定可知AB=BE，最后结合已知的BC、CE长度计算出BE的长度，就能得到AB的长。
【解析】
∵ AD//BC，
∴ ∠DAE = ∠BEA（两直线平行，内错角相等）。
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE = ∠DAE（角平分线的定义），
∴ ∠BAE = ∠BEA，
∴ AB = BE（等角对等边）。
∵ BC = 5，CE = 2，
∴ BE = BC - CE = 5 - 2 = 3，
∴ AB = 3。
【答案】
3
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心解题思路是通过角的等量关系推导得到等腰三角形，实现未知线段和已知线段的转化，是几何中角、线关系转化的典型基础题型，相关性质和判定需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用平行线的性质得到内错角相等，再结合角平分线的定义做角的等量代换，可推出△ABE中两个内角相等，根据等腰三角形“等角对等边”的判定可知AB=BE，最后结合已知的BC、CE长度计算出BE的长度，就能得到AB的长。
【解析】
∵ AD//BC，
∴ ∠DAE = ∠BEA（两直线平行，内错角相等）。
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE = ∠DAE（角平分线的定义），
∴ ∠BAE = ∠BEA，
∴ AB = BE（等角对等边）。
∵ BC = 5，CE = 2，
∴ BE = BC - CE = 5 - 2 = 3，
∴ AB = 3。
【答案】
3
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心解题思路是通过角的等量关系推导得到等腰三角形，实现未知线段和已知线段的转化，是几何中角、线关系转化的典型基础题型，相关性质和判定需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
3.如图,在平面直角坐标系中,分别平行于x轴、y轴的两直线a,b相交于点A(3,4),连接OA,OA=5.若直线a上存在一点P,使△AOP是以AO为腰的等腰三角形,则满足条件的点P的坐标是.
答案
解：
由题意，直线a平行于x轴且过点$A(3,4)$，因此直线a上所有点的纵坐标均为4，设点P的坐标为$(x,4)$。
分两种情况讨论：
1. 当$AP = AO = 5$时：
因为A、P纵坐标相同，所以$AP = |x - 3| = 5$，
解得$x=8$或$x=-2$，
此时点P的坐标为$(8,4)$，$(-2,4)$。
2. 当$OP = AO = 5$时：
由勾股定理得$OP = \sqrt{x^2 + 4^2} = 5$，
即$x^2 + 16 = 25$，解得$x=\pm3$。
当$x=3$时，点P与点A重合，无法构成三角形，舍去；
当$x=-3$时，点P的坐标为$(-3,4)$。
综上，满足条件的点P的坐标是$\boldsymbol{(-3,4),(-2,4),(8,4)}$。
由题意，直线a平行于x轴且过点$A(3,4)$，因此直线a上所有点的纵坐标均为4，设点P的坐标为$(x,4)$。
分两种情况讨论：
1. 当$AP = AO = 5$时：
因为A、P纵坐标相同，所以$AP = |x - 3| = 5$，
解得$x=8$或$x=-2$，
此时点P的坐标为$(8,4)$，$(-2,4)$。
2. 当$OP = AO = 5$时：
由勾股定理得$OP = \sqrt{x^2 + 4^2} = 5$，
即$x^2 + 16 = 25$，解得$x=\pm3$。
当$x=3$时，点P与点A重合，无法构成三角形，舍去；
当$x=-3$时，点P的坐标为$(-3,4)$。
综上，满足条件的点P的坐标是$\boldsymbol{(-3,4),(-2,4),(8,4)}$。
解析
【分析】
首先根据直线a平行于x轴且过点A(3,4)，可确定直线a上所有点的纵坐标均为4，因此设点P坐标为(x,4)。题目要求△AOP是以AO为腰的等腰三角形，需分两种情况分类讨论：①腰为AO和AP，即AP=AO；②腰为AO和OP，即OP=AO。分别根据两点间距离的计算方法列方程求解，最后要排除点P与点A重合、无法构成三角形的情况。
【解析】
由题意，直线a平行于x轴且过点$A(3,4)$，因此直线a上所有点的纵坐标均为4，设点P的坐标为$(x,4)$，已知$OA=5$，分两种情况讨论：
1. 当$AP = AO = 5$时：
因为A、P纵坐标相同，两点间距离等于横坐标差的绝对值，所以$AP = |x - 3| = 5$，
解得$x=8$或$x=-2$，
此时点P的坐标为$(8,4)$，$(-2,4)$。
2. 当$OP = AO = 5$时：
由勾股定理得$OP = \sqrt{x^2 + 4^2} = 5$，
即$x^2 + 16 = 25$，解得$x=\pm3$。
当$x=3$时，点P与点A重合，无法构成三角形，舍去；
当$x=-3$时，点P的坐标为$(-3,4)$。
综上，满足条件的点P的坐标为$(-3,4),(-2,4),(8,4)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-3,4),(-2,4),(8,4)}$
【知识点】
等腰三角形的判定；平面直角坐标系坐标特征；勾股定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在等腰三角形问题中的应用，解题时需明确腰的两种构成情况分别求解，同时要注意验证所求点是否满足三角形的构成条件，避免出现漏解或者多解的错误。
【难度系数】
0.6
首先根据直线a平行于x轴且过点A(3,4)，可确定直线a上所有点的纵坐标均为4，因此设点P坐标为(x,4)。题目要求△AOP是以AO为腰的等腰三角形，需分两种情况分类讨论：①腰为AO和AP，即AP=AO；②腰为AO和OP，即OP=AO。分别根据两点间距离的计算方法列方程求解，最后要排除点P与点A重合、无法构成三角形的情况。
【解析】
由题意，直线a平行于x轴且过点$A(3,4)$，因此直线a上所有点的纵坐标均为4，设点P的坐标为$(x,4)$，已知$OA=5$，分两种情况讨论：
1. 当$AP = AO = 5$时：
因为A、P纵坐标相同，两点间距离等于横坐标差的绝对值，所以$AP = |x - 3| = 5$，
解得$x=8$或$x=-2$，
此时点P的坐标为$(8,4)$，$(-2,4)$。
2. 当$OP = AO = 5$时：
由勾股定理得$OP = \sqrt{x^2 + 4^2} = 5$，
即$x^2 + 16 = 25$，解得$x=\pm3$。
当$x=3$时，点P与点A重合，无法构成三角形，舍去；
当$x=-3$时，点P的坐标为$(-3,4)$。
综上，满足条件的点P的坐标为$(-3,4),(-2,4),(8,4)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-3,4),(-2,4),(8,4)}$
【知识点】
等腰三角形的判定；平面直角坐标系坐标特征；勾股定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在等腰三角形问题中的应用，解题时需明确腰的两种构成情况分别求解，同时要注意验证所求点是否满足三角形的构成条件，避免出现漏解或者多解的错误。
【难度系数】
0.6
4.如图,下列条件中,不能推出$△ ABC$是等腰三角形的是()
A.$∠ B=∠ C$
B.$AD⊥ BC,∠ BAD=∠ CAD$
C.$AD⊥ BC,∠ BAD=∠ ACD$
D.$AD⊥ BC,BD=CD$
A.$∠ B=∠ C$
B.$AD⊥ BC,∠ BAD=∠ CAD$
C.$AD⊥ BC,∠ BAD=∠ ACD$
D.$AD⊥ BC,BD=CD$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们的目标是判断哪个选项无法推出△ABC是等腰三角形，核心依据是等腰三角形的判定条件：要么得到两边相等AB=AC，要么得到两角相等∠B=∠C。解题时我们逐个分析每个选项，结合垂直、角相等、边相等的已知条件，通过全等三角形判定、等角对等边、垂直平分线的性质等知识逐一验证即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 若∠B=∠C，根据“等角对等边”，可得AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，不符合题意；
B. 已知AD⊥BC，故∠ADB=∠ADC=90°，又∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共边），根据ASA可证△ABD≌△ACD，因此AB=AC，△ABC是等腰三角形，不符合题意；
C. 已知AD⊥BC，故∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，∠B+∠BAD=90°，在Rt△ADC中，∠C+∠CAD=90°，仅已知∠BAD=∠ACD（即∠BAD=∠C），可推出∠B+∠C=90°，无法得到∠B=∠C，也无法证明AB=AC，因此不能推出△ABC是等腰三角形，符合题意；
D. 已知AD⊥BC且BD=CD，说明AD是线段BC的垂直平分线，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，可得AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形判定，全等三角形判定，线段垂直平分线性质
【点评】
本题围绕等腰三角形的判定设置选项，需要同学们熟练掌握等角对等边、全等证明、三线合一逆用等相关知识，解题时注意题干要求选“不能推出”的选项，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们的目标是判断哪个选项无法推出△ABC是等腰三角形，核心依据是等腰三角形的判定条件：要么得到两边相等AB=AC，要么得到两角相等∠B=∠C。解题时我们逐个分析每个选项，结合垂直、角相等、边相等的已知条件，通过全等三角形判定、等角对等边、垂直平分线的性质等知识逐一验证即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 若∠B=∠C，根据“等角对等边”，可得AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，不符合题意；
B. 已知AD⊥BC，故∠ADB=∠ADC=90°，又∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共边），根据ASA可证△ABD≌△ACD，因此AB=AC，△ABC是等腰三角形，不符合题意；
C. 已知AD⊥BC，故∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，∠B+∠BAD=90°，在Rt△ADC中，∠C+∠CAD=90°，仅已知∠BAD=∠ACD（即∠BAD=∠C），可推出∠B+∠C=90°，无法得到∠B=∠C，也无法证明AB=AC，因此不能推出△ABC是等腰三角形，符合题意；
D. 已知AD⊥BC且BD=CD，说明AD是线段BC的垂直平分线，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，可得AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形判定，全等三角形判定，线段垂直平分线性质
【点评】
本题围绕等腰三角形的判定设置选项，需要同学们熟练掌握等角对等边、全等证明、三线合一逆用等相关知识，解题时注意题干要求选“不能推出”的选项，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.7
