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例1 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是AB上的一点,过D作$DE ⊥ BC$于点E,并与CA的延长线交于点F.求证:$△ ADF$是等腰三角形.
【思路导析】若证出$∠ F = ∠ FDA$,即可证明结论.因为$∠ F + ∠ C = 90°$,$∠ FDA = ∠ BDE = 90° - ∠ B$,又由$AB = AC$得$∠ B = ∠ C$,等量代换可证得$∠ F = ∠ FDA$.
【请你证明】
【思路导析】若证出$∠ F = ∠ FDA$,即可证明结论.因为$∠ F + ∠ C = 90°$,$∠ FDA = ∠ BDE = 90° - ∠ B$,又由$AB = AC$得$∠ B = ∠ C$,等量代换可证得$∠ F = ∠ FDA$.
【请你证明】
答案
证明：
∵ $AB = AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$（等腰三角形的两个底角相等）。
∵ $DE ⊥ BC$，
∴ $∠ DEC = ∠ DEB = 90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ FEC$中，$∠ F + ∠ C = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ BDE + ∠ B = 90°$，
∴ $∠ F = 90° - ∠ C$，$∠ BDE = 90° - ∠ B$。
又∵ $∠ B = ∠ C$，
∴ $∠ F = ∠ BDE$。
∵ $∠ BDE = ∠ FDA$（对顶角相等），
∴ $∠ F = ∠ FDA$，
∴ $AF = AD$（等角对等边），
∴ $△ ADF$是等腰三角形。
∵ $AB = AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$（等腰三角形的两个底角相等）。
∵ $DE ⊥ BC$，
∴ $∠ DEC = ∠ DEB = 90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ FEC$中，$∠ F + ∠ C = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ BDE + ∠ B = 90°$，
∴ $∠ F = 90° - ∠ C$，$∠ BDE = 90° - ∠ B$。
又∵ $∠ B = ∠ C$，
∴ $∠ F = ∠ BDE$。
∵ $∠ BDE = ∠ FDA$（对顶角相等），
∴ $∠ F = ∠ FDA$，
∴ $AF = AD$（等角对等边），
∴ $△ ADF$是等腰三角形。
解析
【分析】
要证明△ADF是等腰三角形，可通过“等角对等边”的判定定理，证明该三角形有两个内角相等，即目标证∠F=∠FDA。首先由已知AB=AC，利用等腰三角形底角相等的性质可得∠B=∠C；再结合DE⊥BC的条件，可知△FEC和△BDE均为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可推出∠F=90°-∠C，∠BDE=90°-∠B；结合∠B=∠C可得∠F=∠BDE，最后利用对顶角相等的性质得到∠BDE=∠FDA，等量代换即可得到∠F=∠FDA，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AB = AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$（等腰三角形的两个底角相等）。
∵ $DE ⊥ BC$，
∴ $∠ DEC = ∠ DEB = 90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ FEC$中，$∠ F + ∠ C = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ BDE + ∠ B = 90°$，
∴ $∠ F = 90° - ∠ C$，$∠ BDE = 90° - ∠ B$。
又
∵ $∠ B = ∠ C$，
∴ $∠ F = ∠ BDE$。
∵ $∠ BDE = ∠ FDA$（对顶角相等），
∴ $∠ F = ∠ FDA$，
∴ $AF = AD$（等角对等边），
∴ $△ ADF$是等腰三角形。
【答案】
△ADF是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；直角三角形两锐角互余；对顶角相等
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用题，解题关键是结合垂直、等腰三角形底角相等的性质，通过角的等量代换得到待证三角形的等角关系，考查对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
要证明△ADF是等腰三角形，可通过“等角对等边”的判定定理，证明该三角形有两个内角相等，即目标证∠F=∠FDA。首先由已知AB=AC，利用等腰三角形底角相等的性质可得∠B=∠C；再结合DE⊥BC的条件，可知△FEC和△BDE均为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可推出∠F=90°-∠C，∠BDE=90°-∠B；结合∠B=∠C可得∠F=∠BDE，最后利用对顶角相等的性质得到∠BDE=∠FDA，等量代换即可得到∠F=∠FDA，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AB = AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$（等腰三角形的两个底角相等）。
∵ $DE ⊥ BC$，
∴ $∠ DEC = ∠ DEB = 90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ FEC$中，$∠ F + ∠ C = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ BDE + ∠ B = 90°$，
∴ $∠ F = 90° - ∠ C$，$∠ BDE = 90° - ∠ B$。
又
∵ $∠ B = ∠ C$，
∴ $∠ F = ∠ BDE$。
∵ $∠ BDE = ∠ FDA$（对顶角相等），
∴ $∠ F = ∠ FDA$，
∴ $AF = AD$（等角对等边），
∴ $△ ADF$是等腰三角形。
【答案】
△ADF是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；直角三角形两锐角互余；对顶角相等
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用题，解题关键是结合垂直、等腰三角形底角相等的性质，通过角的等量代换得到待证三角形的等角关系，考查对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
例2 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$E$为$AB$上一点，$F$为$AC$延长线上一点，且$BE=CF$，$EF$交$BC$于点$D$.求证：$DE=DF$.
【思路导析】若证$DE＝DF$，可联想到点$D$是$EF$的中点.中点的两旁容易构造全等三角形，构造方法是过端点$E$或$F$作平行线.
【请你证明】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 构造等腰三角形解题
【思路导析】若证$DE＝DF$，可联想到点$D$是$EF$的中点.中点的两旁容易构造全等三角形，构造方法是过端点$E$或$F$作平行线.
【请你证明】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 构造等腰三角形解题
答案
证明：过点E作EG//AC，交BC于点G。
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠ACB。
∵ EG//AC，
∴ ∠EGB=∠ACB，∠DEG=∠DFC。
∴ ∠B=∠EGB，
∴ BE=EG。
又∵ BE=CF，
∴ EG=CF。
在△EDG和△FDC中，
$\{\begin{array}{l}∠EDG=∠FDC \\∠DEG=∠DFC \\EG=CF\end{array} $
∴ △EDG ≌ △FDC（AAS），
∴ DE=DF。
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠ACB。
∵ EG//AC，
∴ ∠EGB=∠ACB，∠DEG=∠DFC。
∴ ∠B=∠EGB，
∴ BE=EG。
又∵ BE=CF，
∴ EG=CF。
在△EDG和△FDC中，
$\{\begin{array}{l}∠EDG=∠FDC \\∠DEG=∠DFC \\EG=CF\end{array} $
∴ △EDG ≌ △FDC（AAS），
∴ DE=DF。
解析
【分析】
要证明DE=DF，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知DE、DF所在的△EDB和△FDC不具备全等条件，因此考虑添加辅助线构造全等三角形：过点E作EG//AC交BC于点G。首先利用等腰△ABC的性质得到∠B=∠ACB，结合平行线的性质推出∠B=∠EGB，可得BE=EG，再结合已知BE=CF，将条件转化为EG=CF，最后结合对顶角相等、平行线的内错角相等，即可用AAS证明△EDG≌△FDC，从而得到对应边DE=DF。
【解析】
证明：过点E作EG//AC，交BC于点G。
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠ACB。
∵ EG//AC，
∴ ∠EGB=∠ACB，∠DEG=∠DFC。
∴ ∠B=∠EGB，
∴ BE=EG。
又
∵ BE=CF，
∴ EG=CF。
在△EDG和△FDC中，
$\begin{cases}∠EDG=∠FDC \\∠DEG=∠DFC \\EG=CF\end{cases}$
∴ △EDG ≌ △FDC（AAS），
∴ DE=DF。
【答案】
DE=DF
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形综合的典型题型，解题关键是通过作平行线构造全等三角形，完成线段的等量转化，这类辅助线的构造方法在证明线段相等的问题中十分常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要证明DE=DF，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知DE、DF所在的△EDB和△FDC不具备全等条件，因此考虑添加辅助线构造全等三角形：过点E作EG//AC交BC于点G。首先利用等腰△ABC的性质得到∠B=∠ACB，结合平行线的性质推出∠B=∠EGB，可得BE=EG，再结合已知BE=CF，将条件转化为EG=CF，最后结合对顶角相等、平行线的内错角相等，即可用AAS证明△EDG≌△FDC，从而得到对应边DE=DF。
【解析】
证明：过点E作EG//AC，交BC于点G。
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠ACB。
∵ EG//AC，
∴ ∠EGB=∠ACB，∠DEG=∠DFC。
∴ ∠B=∠EGB，
∴ BE=EG。
又
∵ BE=CF，
∴ EG=CF。
在△EDG和△FDC中，
$\begin{cases}∠EDG=∠FDC \\∠DEG=∠DFC \\EG=CF\end{cases}$
∴ △EDG ≌ △FDC（AAS），
∴ DE=DF。
【答案】
DE=DF
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形综合的典型题型，解题关键是通过作平行线构造全等三角形，完成线段的等量转化，这类辅助线的构造方法在证明线段相等的问题中十分常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
例3 如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,BD平分∠ABC,过点A作BD的延长线的垂线AE.
求证:BD=2AE.
【思路导析】BE既是角平分线,又是高线,所以很容易由“三线合一”联想到延长AE与BC,设两延长线交于点F,从而构造等腰三角形AFB,再结合等腰三角形的性质及三角形全等,证明BD和AE的长度关系.
【示范解答】证明:如图,延长AE,BC,设两延长线交于点F.
∵ BE平分∠ABF, AE⊥BE,
∴ 可证得△ABF是等腰三角形.
∴ AF=2AE.
∵ AE⊥BE,
∴ ∠F+∠DBC=90°.
∵ ∠ACB=90°,∴ ∠CDB+∠DBC=90°.
∴ ∠F=∠CDB.
又∵ AC=BC,
∴ Rt△ACF≌Rt△BCD,∴AF=BD.
又∵AF=2AE,
∴BD=2AE.
求证:BD=2AE.
【思路导析】BE既是角平分线,又是高线,所以很容易由“三线合一”联想到延长AE与BC,设两延长线交于点F,从而构造等腰三角形AFB,再结合等腰三角形的性质及三角形全等,证明BD和AE的长度关系.
【示范解答】证明:如图,延长AE,BC,设两延长线交于点F.
∵ BE平分∠ABF, AE⊥BE,
∴ 可证得△ABF是等腰三角形.
∴ AF=2AE.
∵ AE⊥BE,
∴ ∠F+∠DBC=90°.
∵ ∠ACB=90°,∴ ∠CDB+∠DBC=90°.
∴ ∠F=∠CDB.
又∵ AC=BC,
∴ Rt△ACF≌Rt△BCD,∴AF=BD.
又∵AF=2AE,
∴BD=2AE.
答案
证明：如图，延长AE，BC，设两延长线交于点F。
∵ BD平分∠ABC，AE⊥BE，
∴ ∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°。
在△ABE和△FBE中，
$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠FBE \\BE=BE \\∠AEB=∠FEB\end{array} $
∴ △ABE≌△FBE（ASA），
∴ AB=FB，AE=FE，
∴ AF=2AE。
∵ AE⊥BE，
∴ ∠F + ∠DBC = 90°。
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACF=∠ACB=90°，∠CDB + ∠DBC = 90°，
∴ ∠F = ∠CDB。
在Rt△ACF和Rt△BCD中，
$\{\begin{array}{l}∠F=∠CDB \\∠ACF=∠BCD=90° \\AC=BC\end{array} $
∴ Rt△ACF≌Rt△BCD（AAS），
∴ AF=BD。
又∵ AF=2AE，
∴ BD=2AE。
∵ BD平分∠ABC，AE⊥BE，
∴ ∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°。
在△ABE和△FBE中，
$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠FBE \\BE=BE \\∠AEB=∠FEB\end{array} $
∴ △ABE≌△FBE（ASA），
∴ AB=FB，AE=FE，
∴ AF=2AE。
∵ AE⊥BE，
∴ ∠F + ∠DBC = 90°。
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACF=∠ACB=90°，∠CDB + ∠DBC = 90°，
∴ ∠F = ∠CDB。
在Rt△ACF和Rt△BCD中，
$\{\begin{array}{l}∠F=∠CDB \\∠ACF=∠BCD=90° \\AC=BC\end{array} $
∴ Rt△ACF≌Rt△BCD（AAS），
∴ AF=BD。
又∵ AF=2AE，
∴ BD=2AE。
解析
【分析】
要证BD=2AE，可通过构造辅助线转化线段关系：已知BD是∠ABC的角平分线，且AE⊥BD，符合“角平分线+高线”的特征，因此延长AE、BC交于点F，首先可证△ABE≌△FBE，得到AF=2AE，将倍分问题转化为证明AF=BD；再利用同角的余角相等得到等角，结合AC=BC的条件证明Rt△ACF≌Rt△BCD，即可得到AF=BD，最后通过等量代换完成证明。
【解析】
证明：如图，延长AE，BC，设两延长线交于点F。
∵ BD平分∠ABC，AE⊥BE，
∴ ∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°。
在△ABE和△FBE中，
$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠FBE \\BE=BE \\∠AEB=∠FEB\end{array} $
∴ △ABE≌△FBE（ASA），
∴ AB=FB，AE=FE，
∴ AF=2AE。
∵ AE⊥BE，
∴ ∠F + ∠DBC = 90°。
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACF=∠ACB=90°，∠CDB + ∠DBC = 90°，
∴ ∠F = ∠CDB。
在Rt△ACF和Rt△BCD中，
$\{\begin{array}{l}∠F=∠CDB \\∠ACF=∠BCD=90° \\AC=BC\end{array} $
∴ Rt△ACF≌Rt△BCD（AAS），
∴ AF=BD。
又
∵ AF=2AE，
∴ BD=2AE。
【答案】
证明：如图，延长AE，BC，设两延长线交于点F。
∵ BD平分∠ABC，AE⊥BE，
∴ ∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°。
在△ABE和△FBE中，
$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠FBE \\BE=BE \\∠AEB=∠FEB\end{array} $
∴ △ABE≌△FBE（ASA），
∴ AB=FB，AE=FE，
∴ AF=2AE。
∵ AE⊥BE，
∴ ∠F + ∠DBC = 90°。
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACF=∠ACB=90°，∠CDB + ∠DBC = 90°，
∴ ∠F = ∠CDB。
在Rt△ACF和Rt△BCD中，
$\{\begin{array}{l}∠F=∠CDB \\∠ACF=∠BCD=90° \\AC=BC\end{array} $
∴ Rt△ACF≌Rt△BCD（AAS），
∴ AF=BD。
又
∵ AF=2AE，
∴ BD=2AE。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形综合类的典型证明题，解题关键是抓住“角平分线+同侧垂线”的特征构造等腰三角形，将待证的线段倍分关系转化为全等三角形对应边相等的问题，有效考查了几何辅助线的构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要证BD=2AE，可通过构造辅助线转化线段关系：已知BD是∠ABC的角平分线，且AE⊥BD，符合“角平分线+高线”的特征，因此延长AE、BC交于点F，首先可证△ABE≌△FBE，得到AF=2AE，将倍分问题转化为证明AF=BD；再利用同角的余角相等得到等角，结合AC=BC的条件证明Rt△ACF≌Rt△BCD，即可得到AF=BD，最后通过等量代换完成证明。
【解析】
证明：如图，延长AE，BC，设两延长线交于点F。
∵ BD平分∠ABC，AE⊥BE，
∴ ∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°。
在△ABE和△FBE中，
$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠FBE \\BE=BE \\∠AEB=∠FEB\end{array} $
∴ △ABE≌△FBE（ASA），
∴ AB=FB，AE=FE，
∴ AF=2AE。
∵ AE⊥BE，
∴ ∠F + ∠DBC = 90°。
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACF=∠ACB=90°，∠CDB + ∠DBC = 90°，
∴ ∠F = ∠CDB。
在Rt△ACF和Rt△BCD中，
$\{\begin{array}{l}∠F=∠CDB \\∠ACF=∠BCD=90° \\AC=BC\end{array} $
∴ Rt△ACF≌Rt△BCD（AAS），
∴ AF=BD。
又
∵ AF=2AE，
∴ BD=2AE。
【答案】
证明：如图，延长AE，BC，设两延长线交于点F。
∵ BD平分∠ABC，AE⊥BE，
∴ ∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°。
在△ABE和△FBE中，
$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠FBE \\BE=BE \\∠AEB=∠FEB\end{array} $
∴ △ABE≌△FBE（ASA），
∴ AB=FB，AE=FE，
∴ AF=2AE。
∵ AE⊥BE，
∴ ∠F + ∠DBC = 90°。
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACF=∠ACB=90°，∠CDB + ∠DBC = 90°，
∴ ∠F = ∠CDB。
在Rt△ACF和Rt△BCD中，
$\{\begin{array}{l}∠F=∠CDB \\∠ACF=∠BCD=90° \\AC=BC\end{array} $
∴ Rt△ACF≌Rt△BCD（AAS），
∴ AF=BD。
又
∵ AF=2AE，
∴ BD=2AE。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形综合类的典型证明题，解题关键是抓住“角平分线+同侧垂线”的特征构造等腰三角形，将待证的线段倍分关系转化为全等三角形对应边相等的问题，有效考查了几何辅助线的构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
