12. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$AD$为$△ ABC$的角平分线. 以点$A$为圆心，$AD$长为半径画弧，与$AB$，$AC$分别交于点$E$，$F$，连接$DE$，$DF$.
(1)求证:$△ ADE ≌ △ ADF$；
(2)若$∠ BAC = 80°$，求$∠ BDE$的度数.
第12题图

(1) 证明：
∵ AD 是$△ ABC$的角平分线，
∴ $∠ EAD = ∠ FAD$。
由作图可知：$AE = AF$，
在$△ ADE$和$△ ADF$中，
$\begin{cases}AE = AF \\∠ EAD = ∠ FAD \\AD = AD\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ ADF$（SAS）。
---
(2) 解：
∵ $∠ BAC = 80°$，AD平分$∠ BAC$，
∴ $∠ EAD = \frac{1}{2}∠ BAC = 40°$。
由作图知$AE = AD$，
∴ $△ ADE$为等腰三角形，
∴ $∠ ADE = \frac{180° - ∠ EAD}{2} = \frac{180° - 40°}{2} = 70°$。
又∵ $AB = AC$，AD平分$∠ BAC$，根据等腰三角形三线合一性质，
∴ $AD ⊥ BC$，即$∠ ADB = 90°$，
∴ $∠ BDE = ∠ ADB - ∠ ADE = 90° - 70° = 20°$。
答：$∠ BDE$的度数为$20°$。

【分析】
(1) 要证明△ADE≌△ADF，首先从已知条件入手：AD是△ABC的角平分线，可推出∠EAD=∠FAD；由作图方法可知AE、AF都是以A为圆心、AD为半径的弧与边AB、AC的交点，因此AE=AF；再加上两组三角形的公共边AD=AD，满足SAS全等判定的三个条件，即可完成证明。
(2) 求解∠BDE的度数，分三步推导：首先根据角平分线的定义，结合∠BAC=80°，算出∠EAD的度数；再由作图得AE=AD，可知△ADE为等腰三角形，利用三角形内角和180°计算出底角∠ADE的度数；最后结合AB=AC、AD是角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，即∠ADB=90°，用∠ADB减去∠ADE即可求出∠BDE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠EAD = ∠FAD。
由作图可知：AE = AF，
在△ADE和△ADF中，
$\begin{cases}AE = AF \\∠ EAD = ∠ FAD \\AD = AD\end{cases}$
∴ △ADE ≌ △ADF（SAS）。
(2) 解：
∵ ∠BAC = 80°，AD平分∠BAC，
∴ ∠EAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 40°。
由作图知AE = AD，
∴ △ADE为等腰三角形，
∴ ∠ADE = $\frac{180° - ∠ EAD}{2}$ = $\frac{180° - 40°}{2}$ = 70°。
又
∵ AB = AC，AD平分∠BAC，根据等腰三角形三线合一性质，
∴ AD ⊥ BC，即∠ADB = 90°，
∴ ∠BDE = ∠ADB - ∠ADE = 90° - 70° = 20°。
【答案】
(1) △ADE≌△ADF得证；(2) ∠BDE的度数为20°
【知识点】
全等三角形SAS判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，主要考察全等三角形判定定理和等腰三角形性质的灵活应用，解题的关键是能从作图描述中挖掘出AE=AF、AE=AD的隐含条件，结合等腰三角形三线合一的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

13. 在△ABC中，AB=AC.
(1)如图1，如果∠BAD=30°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC=;
(2)如图2,如果∠BAD=40°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC=;
(3)思考:通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示:;
(4)如图3,如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有上述关系?如有,请你写出来,并说明理由.

解：
(1) ∵AB=AC，AD是BC上的高，
∴AD平分∠BAC，∠ADC=90°，
∴∠DAC=∠BAD=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$，
∴∠EDC=∠ADC - ∠ADE=90°-75°=$15°$；
(2) 同理可得，∠DAC=∠BAD=40°，
∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$，
∴∠EDC=90°-70°=$20°$；
(3) $\boldsymbol{∠BAD=2∠EDC}$（或$∠EDC=\frac{1}{2}∠BAD$）；
(4) 仍有上述关系：$∠BAD=2∠EDC$，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B + ∠BAD，
又∵∠ADC=∠ADE + ∠EDC，且∠AED是△DEC的外角，
∴∠AED=∠C + ∠EDC，
代入得：$∠B + ∠BAD = ∠ADE + ∠EDC = ∠AED + ∠EDC = (∠C + ∠EDC) + ∠EDC$，
∵∠B=∠C，
∴等式两边消去相等的∠B和∠C，可得$∠BAD=2∠EDC$。

【分析】
解答本题首先要回忆等腰三角形的相关性质：对于前两小问，已知AD是等腰△ABC底边上的高，根据“三线合一”可得AD平分顶角且∠ADC=90°，再结合△ADE也是等腰三角形，利用三角形内角和求出∠ADE的度数，用∠ADC减去∠ADE即可得到∠EDC的度数。第三问通过对比前两问的∠BAD和∠EDC的数值，直接总结数量关系。第四问探究一般情况，利用等腰三角形两底角相等得到∠B=∠C、∠ADE=∠AED，再结合三角形外角的性质，将相关角用含∠BAD、∠EDC的式子表示，通过等量代换消去相等的角，即可验证关系是否成立。
【解析】
(1)
∵AB=AC，AD是BC上的高，
∴AD平分∠BAC，∠ADC=90°，
∴∠DAC=∠BAD=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$，
∴∠EDC=∠ADC - ∠ADE=90°-75°=$15°$；
(2) 同理可得，∠DAC=∠BAD=40°，
∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$，
∴∠EDC=90°-70°=$20°$；
(3) 由(1)(2)的结果可知，∠BAD=30°时∠EDC=15°，∠BAD=40°时∠EDC=20°，可得关系：$\boldsymbol{∠BAD=2∠EDC}$（或$∠EDC=\frac{1}{2}∠BAD$）；
(4) 仍有上述关系：$∠BAD=2∠EDC$，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B + ∠BAD，
又
∵∠ADC=∠ADE + ∠EDC，且∠AED是△DEC的外角，
∴∠AED=∠C + ∠EDC，
代入得：$∠B + ∠BAD = ∠ADE + ∠EDC = ∠AED + ∠EDC = (∠C + ∠EDC) + ∠EDC$，
∵∠B=∠C，
∴等式两边消去相等的∠B和∠C，可得$∠BAD=2∠EDC$。
【答案】
(1) $15°$；(2) $20°$；(3) $∠BAD=2∠EDC$（或$∠EDC=\frac{1}{2}∠BAD$）；(4) 仍有$∠BAD=2∠EDC$，理由见解析。
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究思路，重点考查等腰三角形等边对等角、三线合一的性质，以及三角形外角性质的应用，解题的关键是找准角之间的等量关系，正确进行代换推导，有助于提升归纳推理和逻辑论证能力。
【难度系数】
0.7