25. 对于非负实数$a$，我们规定：用符号$[\sqrt{a}]$表示不大于$\sqrt{a}$的最大整数，称$[\sqrt{a}]$为$a$的根整数，例如，$[\sqrt{16}]=4$，$[\sqrt{3}]=1$.
(1)计算:$[\sqrt{4}]=$,$[\sqrt{53}]=$;
(2)若$[\sqrt{x}]=3$,则满足条件的$x$的最小值是;
(3)如图,数轴上的点$A$,$B$表示的数分别为$1$和$\sqrt{2}$,$C$是数轴上一点,且$A$是$BC$的中点.设点$C$表示的数为$x$,求$[|x-1|+3\sqrt{2}+1]$.

25.解:(1)2 7
(2)9
(3)由条件可得,$AB=\sqrt{2}-1$.
$\because C$表示的数为$x$,点$A$表示的数为1,由数轴可知点$C$在点$A$的左边,
$\therefore AC=1-x$.
$\because A$是$BC$的中点,
$\therefore AC=AB$,
$1-x=\sqrt{2}-1$,
$x=2-\sqrt{2}$.
$\therefore |x-1|+3\sqrt{2}+1=|2-\sqrt{2}-1|+3\sqrt{2}+1=|1-\sqrt{2}|+3\sqrt{2}+1=\sqrt{2}-1+3\sqrt{2}+1=4\sqrt{2}=\sqrt{4^2×2}=\sqrt{32}$.
$\because \sqrt{25}＜\sqrt{32}＜\sqrt{36}$,
$\therefore 5＜\sqrt{32}＜6$,
$\therefore [\sqrt{32}]=5$,
$\therefore [|x-1|+3\sqrt{2}+1]=5$.

【分析】
(1)首先明确根整数$[\sqrt{a}]$是不大于$\sqrt{a}$的最大整数，计算得$\sqrt{4}=2$，可直接得出结果；再估算$\sqrt{53}$的范围：$7^2=49＜53＜64=8^2$，即$7＜\sqrt{53}＜8$，因此对应根整数为7。
(2)若$[\sqrt{x}]=3$，说明$\sqrt{x}$满足$3≤\sqrt{x}＜4$，对不等式三边平方可得$9≤ x＜16$，因此x的最小值为9。
(3)先利用数轴中点性质：A是BC中点，则$AC=AB$，先算出AB的长度为$\sqrt{2}-1$，再结合C在A左侧，$AC=1-x$，列方程求出x的值；再将x代入所求式子化简，得到结果为$4\sqrt{2}=\sqrt{32}$，估算$\sqrt{32}$的范围在5和6之间，最后根据根整数定义得出结果。
【解析】
(1) $\because \sqrt{4}=2$，$\therefore [\sqrt{4}]=2$；
$\because 7^2=49$，$8^2=64$，$49＜53＜64$，$\therefore 7＜\sqrt{53}＜8$，$\therefore [\sqrt{53}]=7$。
(2) 由$[\sqrt{x}]=3$可得$3≤\sqrt{x}＜4$，不等式两边同时平方得$9≤ x＜16$，因此满足条件的x的最小值是9。
(3) 首先计算AB的长度：$\because$点A表示1，点B表示$\sqrt{2}$，$\therefore AB=\sqrt{2}-1$。
$\because$A是BC的中点，$\therefore AC=AB=\sqrt{2}-1$。
设点C表示的数为x，由数轴可知C在A左侧，$\therefore AC=1-x$，即$1-x=\sqrt{2}-1$，解得$x=2-\sqrt{2}$。
将$x=2-\sqrt{2}$代入式子：
$|x-1|+3\sqrt{2}+1=|2-\sqrt{2}-1|+3\sqrt{2}+1=|1-\sqrt{2}|+3\sqrt{2}+1$
$\because 1＜\sqrt{2}$，$\therefore |1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，代入得：
原式$=\sqrt{2}-1+3\sqrt{2}+1=4\sqrt{2}=\sqrt{16×2}=\sqrt{32}$
$\because \sqrt{25}＜\sqrt{32}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{32}＜6$，根据根整数定义得$[\sqrt{32}]=5$，即$[|x-1|+3\sqrt{2}+1]=5$。
【答案】
(1)2，7；(2)9；(3)5
【知识点】
新定义运算，数轴中点性质，无理数估算
【点评】
本题结合新定义概念考查基础代数与几何知识的综合运用，解题关键是准确理解“根整数”的含义，熟练掌握数轴上两点距离、中点的计算方法，以及无理数大小估算的技巧，整体逻辑连贯，难度适中。
【难度系数】
0.7