1. 如图所示的甲、乙两个矩形相似，则“？”是（）

A.1
B.2
C.3
D.4

1.B

2.[2025河北]“这么近，那么美，周末到河北”，嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片(如图)，回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm，笔的实际长度为14 cm，则该化石的实际长度为（）

A.2 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm

2.C

3.如图,已知过点B和表示数8的点的两条线段(两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5)相互平行,若点A在数轴上表示的数是-2且点A与刻度尺上的0刻度重合,则AB的长度是()

A.3
B.4
C.5
D.6

3.D

4.[2025深圳]如图,将正方形ABCD沿EF折叠,使得点A与对角线的交点O重合,EF为折痕,则$\frac{EF}{CG}$的值为（）

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

4.D 【点拨】
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ OA=OC, AC=BD,AC⊥BD.
∵ 将正方形 ABCD 沿 EF 折叠,使得点 A 与点 O 重合,
∴ AG=GO,EF⊥AO,
∴ EF//BD.
∴ 易得△AEF∽△ABD.
∴ $\frac{EF}{BD}=\frac{AG}{AO}=\frac{1}{2}$.
∴ EF=$\frac{1}{2}BD$,$CG=\frac{3}{4}AC$.
∴ $\frac{EF}{CG}=\frac{\frac{1}{2}BD}{\frac{3}{4}AC}=\frac{2}{3}$. 故选 D.

5.如图,将△ABC绕点B顺时针旋转,使得点A落在边AC上,点A,C的对应点分别为D,E,边DE交BC于点F,连接CE,下列两个三角形不一定相似的是 ()

A.△BAD与△BCE
B.△BDF与△ECF
C.△BAC与△BDE
D.△DBF与△CEB

5.D 【点拨】根据旋转的性质得,AB=DB,∠ABC=∠DBE,BC=BE,∠A=∠BDE,∠ACB=∠DEB.
∴ ∠ABD=∠CBE,$\frac{AB}{BC}=\frac{DB}{BE}$.
∴ △BAD∽△BCE. 故 A 不符合题意;
∵ ∠ABD=∠CBE,AB=BD,BC=BE,
∴ ∠A=∠BDA=∠BCE=∠BEC.
∴ ∠BDF=∠ECF.
又
∵ ∠BFD=∠EFC,
∴ △BDF∽△ECF,故 B 不符合题意; 又
∵ ∠ABC=∠DBE,$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{BE}$,
∴ △BAC∽△BDE,故 C 不符合题意; 根据题意,无法证明△DBF与△CEB相似,故 D 符合题意.

6. 新视角动点探究题 如图,在$△ ABC$中,$AB=4\ \mathrm{cm}$,$AC=3\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,$D$是$AC$上一点,$AD=2\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$C$出发沿$C\rightarrow B\rightarrow A$方向,以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动至点$A$处,线段$DP$将$△ ABC$分成两部分,可以使其中一部分与$△ ABC$相似的点$P$的个数为 ()

A.$0$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

6.D 【点拨】①如图①,当∠DPC=∠A 时,
∵ ∠C=∠C,
∴ △ABC∽△PDC;

②如图②,当∠PDC=∠A 时,
∵ ∠C=∠C,
∴ △ABC∽△DPC;
③如图③,当∠APD=∠B 时,
∵ ∠A=∠A,
∴ △ABC∽△APD;

④如图④,当∠APD=∠C 时,
∵ ∠A=∠A,
∴ △ABC∽△ADP.
综上,点 P 一共有 4 个.

7. [2025 东营] 如图,在$△ ABC$中,$CB=CA$,$∠ ACB=90°$,点$D$在边$BC$上(与点$B$,$C$不重合),四边形$ADEF$为正方形,过点$F$作$FG⊥ CA$,交$CA$的延长线于点$G$,连接$FB$,交$DE$于点$Q$.下列结论:
①$AC=FG$;②$S_{△ FAB}: S_{\mathrm{四边形}CBFG}=1:2$;
③$∠ ABC=∠ ABF$;④$AD^2=FQ· AC$.
其中结论正确的序号是（）

A.①②④
B.①②③
C.①②③④
D.②③④

7.C 【点拨】
∵ 四边形 ADEF 为正方形,
∴ ∠FAD=90°, AD=AF=EF.
∴ ∠CAD+∠FAG=90°.
∵ FG⊥CA,
∴ ∠G=90°=∠ACB.
∴ ∠FAG+∠AFG=90°.
∴ ∠CAD=∠AFG.
∴ △ACD≌△FGA.
∴ AC=FG,故①正确;
∵ BC=AC,
∴ FG=BC.
∵ ∠ACB=90°, FG⊥CA,
∴ FG//BC.
∴ 易得四边形 CBFG 是矩形.
∴ ∠CBF=90°,
$S_{△FAB}=\frac{1}{2}FB·FG=\frac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}CBFG}$.
∴ $S_{△FAB}: S_{\mathrm{四边形}CBFG}=1:2$,故②正确;
∵ CA=CB,∠C=90°,
∴ ∠ABC=45°.
∵ ∠CBF=90°,
∴ ∠ABF=45°.
∴ ∠ABC=∠ABF,故③正确;
∵ ∠BDQ+∠ADC=∠BQD+∠BDQ=90°,
∴ ∠ADC=∠BQD. 又
∵ ∠FQE=∠DQB,
∴ ∠FQE=∠ADC. 又
∵ ∠E=∠C=90°,
∴ △ACD∽△FEQ.
∴ $\frac{AC}{EF}=\frac{AD}{FQ}$.
∴ AD·FE=FQ·AC.
又
∵ AD=EF,
∴ $AD^2=FQ·AC$,故④正确.
∴ 正确的有①②③④. 故选 C.

8. 一题多解 若$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4},a+b+c=18$,则$a=$.

8.4 【点拨】解法一:设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k$,则 $a=2k$, $b=3k$,$c=4k$,
∵ $a+b+c=18$,
∴ $2k+3k+4k=18$,解得 $k=2$.
∴ $a=2k=4$. 解法二:
∵ $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}$,
∴ $\frac{a+b+c}{2+3+4}=\frac{a}{2}$.
∵ $a+b+c=18$,
∴ $\frac{18}{9}=\frac{a}{2}$,解得 $a=4$.

9. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=72°,∠ACB的平分线CD交AB于点D,则D是线段AB的黄金分割点.若AC=2,则BD=.

9.$3-\sqrt{5}$

10. 新趋势跨学科 如图，一束光线从点$A(-2,5)$出发，经过$y$轴上的点$B(0,1)$反射后经过点$C(m,n)$，则$2m-n$的值是。

10.$-1$