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8. ★★ 如图,在$\mathrm{Rt}△ AOB$和$\mathrm{Rt}△ COD$中,$∠ AOB=∠ COD=90°$,$∠ ABO=∠ CDO$,$E$为$OA$的中点,$OA=4$,$OB=6$.将$△ COD$绕点$O$旋转,直线$AC$,$BD$交于点$F$,连接$EF$,则$EF$的最小值是
$\sqrt{13}-3$
。答案
8.$\sqrt{13}-3$ 【点拨】如图,取 AB 的中点 S,连接 ES,FS,则 $FS−ES≤FE≤ES+FS$.
∵$∠AOB=90°,OA=4,OB=6,∴AB=2\sqrt{13}$.
∵$∠AOB=∠COD=90°$,
$∠ABO=∠CDO,∴△AOB∽△COD,∴OB:OD=OA:OC$.
∵$∠AOB=∠COD,∴∠AOC=∠BOD$,
∴$△DOB∽△COA,∴∠OBD=∠OAC$.
∵$∠OBD+∠FBO=180°,∴∠OAC+∠FBO=180°,∴∠AOB+∠AFB=180°,∴∠AFB=∠AOB=90°$. 又
∵S 为 AB 的中点,
∴$FS=\frac{1}{2}AB=\sqrt{13}$.
∵E 为 OA 的中点,S 为 AB 的中点,
∴$ES=\frac{1}{2}OB=3,∴EF$ 的最小值为 $\sqrt{13}-3$.
9. 如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，过点C作射线CP//AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与点B，C重合），且∠DAE=45°，AC与DE交于点O.
(1)求证：△ADE∽△ACB；
(2)如果△COD与△BEA相似，求CE：BE的值.
(1)求证：△ADE∽△ACB；
(2)如果△COD与△BEA相似，求CE：BE的值.
答案
9.(1)【证明】在 $Rt△ACB$ 中,AC=BC,
∴$∠CAB=∠ABC=45°$. 又
∵$∠DAE=45°,∴∠CAD+∠CAE=∠CAE+∠BAE=45°.∴∠CAD=∠BAE.∵CP//AB$,
∴$∠ACD=∠CAB=45°.∴∠ACD=∠ABE$.
∴$△ACD∽△ABE.∴\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$,即 $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$.
又
∵$∠DAE=∠CAB=45°,∴△ADE∽△ACB$.
(2)【解】如图,在 $△COD$ 与 $△BEA$ 中,$∠DCO=∠B=45°,∠DOC$ 与 $∠AEB$ 均为钝角,
∴如果$△COD$与$△BEA$相似,只能是$△COD∽△BEA$,
∴$∠1=∠2$.
∵$△ADE∽△ACB,∴∠AED=∠ABC=45°$.
∴$∠AEC=∠AED+∠3=45°+∠3$.
又
∵$∠AEC=∠B+∠2=45°+∠2$,
∴$∠3=∠2.∴∠1=∠2=∠3.∴CE=CD$.
∵$CP//AB,∴∠DCE+∠B=180°$.
∴$∠DCE=180°−∠B=135°$.
∴$∠1=∠2=∠3=\frac{1}{2}(180°−∠DCE)=22.5°$.
∴$∠2=\frac{1}{2}∠CAB$,即 AE 为$∠CAB$的平分线.
如图,过点 E 作 $EG⊥AB$ 于点 G,则 EG=CE,且$△BEG$为等腰直角三角形.
∴$EG=BG=CE=CD$.
∴$BE=\sqrt{2}EG.∴CE:BE=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
10. :: 新考法分类讨论法【感知】如图①,在正方形$ABCD$中,$E$为$AB$边上一点,连接$DE$,过点$E$作$EF⊥DE$交$BC$于点$F$.易证:$△ AED ∽ △ BFE$.(不需要证明)
【探究】如图②,在矩形$ABCD$中,$E$为$AB$边上一点,连接$DE$,过点$E$作$EF⊥DE$交$BC$于点$F$.
(1)求证:$△ AED ∽ △ BFE$;
(2)若$AB=10$,$AD=6$,$E$为$AB$的中点,求$BF$的长.
【应用】如图③,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,$AB=4$.$E$为$AB$边上一点(点$E$不与点$A$,$B$重合),连接$CE$,过点$E$作$∠ CEF=45°$交$BC$于点$F$.当$△ CEF$为等腰三角形时,$BE$的长为
【探究】如图②,在矩形$ABCD$中,$E$为$AB$边上一点,连接$DE$,过点$E$作$EF⊥DE$交$BC$于点$F$.
(1)求证:$△ AED ∽ △ BFE$;
(2)若$AB=10$,$AD=6$,$E$为$AB$的中点,求$BF$的长.
【应用】如图③,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,$AB=4$.$E$为$AB$边上一点(点$E$不与点$A$,$B$重合),连接$CE$,过点$E$作$∠ CEF=45°$交$BC$于点$F$.当$△ CEF$为等腰三角形时,$BE$的长为
$2\sqrt{2}$或2
.答案
10.【探究】(1)【证明】
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴$∠A=∠B=90°.∴∠ADE+∠AED=90°$.
∵$DE⊥EF,∴∠DEF=90°$.
∴$∠BEF+∠AED=90°$.
∴$∠ADE=∠BEF$.
∴$△AED∽△BFE$.
(2)【解】
∵E 为 AB 的中点,
∴AE=BE=5.
∵$△AED∽△BFE$,
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{AE}{BF}$,即 $\frac{6}{5}=\frac{5}{BF}$,
∴$BF=\frac{25}{6}$.
【应用】$2\sqrt{2}$ 或 2 【点拨】①若 CE=CF,则$∠CEF=∠CFE=45°,∴∠ECF=90°$,则点 E 与点 A 重合,点 F 与点 B 重合,不符合题意;②若 CE=EF,则$∠ECF=∠EFC=\frac{1}{2}(180°−45°)=67.5°$.
∵$∠EFC$为$△BEF$的一个外角,
∴$∠EFC=∠B+∠BEF$.
∵$∠ACB=90°$,AC=BC,
∴$∠A=∠B=45°,∠ACE=90°−∠ECF=90°−67.5°=22.5°.∴∠BEF=∠EFC−∠B=67.5°−45°=22.5°.∴∠ACE=∠BEF$. 又
∵$∠A=∠B$,CE=EF,
∴$△AEC≌△BFE.∴AC=BE.∵∠ACB=90°$,AC=BC,AB=4,
∴易得$AC=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=2\sqrt{2}.∴BE=2\sqrt{2}$.③若 CF=EF,则$∠CEF=∠ECF=45°.∴$在$△BEC$中,$∠B=∠BCE=45°,∴∠BEC=90°.∴CE⊥AB$. 又
∵AC=BC,
∴E 为 AB 的中点,
∴$BE=\frac{1}{2}AB=2$. 综上,BE 的长为$2\sqrt{2}$或 2.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴$∠A=∠B=90°.∴∠ADE+∠AED=90°$.
∵$DE⊥EF,∴∠DEF=90°$.
∴$∠BEF+∠AED=90°$.
∴$∠ADE=∠BEF$.
∴$△AED∽△BFE$.
(2)【解】
∵E 为 AB 的中点,
∴AE=BE=5.
∵$△AED∽△BFE$,
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{AE}{BF}$,即 $\frac{6}{5}=\frac{5}{BF}$,
∴$BF=\frac{25}{6}$.
【应用】$2\sqrt{2}$ 或 2 【点拨】①若 CE=CF,则$∠CEF=∠CFE=45°,∴∠ECF=90°$,则点 E 与点 A 重合,点 F 与点 B 重合,不符合题意;②若 CE=EF,则$∠ECF=∠EFC=\frac{1}{2}(180°−45°)=67.5°$.
∵$∠EFC$为$△BEF$的一个外角,
∴$∠EFC=∠B+∠BEF$.
∵$∠ACB=90°$,AC=BC,
∴$∠A=∠B=45°,∠ACE=90°−∠ECF=90°−67.5°=22.5°.∴∠BEF=∠EFC−∠B=67.5°−45°=22.5°.∴∠ACE=∠BEF$. 又
∵$∠A=∠B$,CE=EF,
∴$△AEC≌△BFE.∴AC=BE.∵∠ACB=90°$,AC=BC,AB=4,
∴易得$AC=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=2\sqrt{2}.∴BE=2\sqrt{2}$.③若 CF=EF,则$∠CEF=∠ECF=45°.∴$在$△BEC$中,$∠B=∠BCE=45°,∴∠BEC=90°.∴CE⊥AB$. 又
∵AC=BC,
∴E 为 AB 的中点,
∴$BE=\frac{1}{2}AB=2$. 综上,BE 的长为$2\sqrt{2}$或 2.
