5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$的平分线$BD$交$AC$边于点$D$,已知$∠ ADB=2∠ ABD$.
(1)求证:$△ ABD ∽ △ ACB$;
(2)若$DC=2AD=2$,求$∠ A$的度数.

5.(1)【证明】
∵BD 平分$∠ABC$,
∴$∠ABC=2∠ABD$.
∵$∠ADB=2∠ABD,∴∠ADB=∠ABC$.
又
∵$∠A=∠A,∴△ABD∽△ACB$.
(2)【解】
∵$△ABD∽△ACB$,
∴$∠ABD=∠C,\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$.
由题知$∠ABD=∠DBC,∴∠C=∠DBC$.
∴BD=DC=2.
∵DC=2AD=2,
∴AD=1.
∴AC=AD+DC=3.
∵$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB},∴AB^2=AD·AC=3$.
∵$AD^2=1,DB^2=4,∴AB^2+AD^2=DB^2$.
∴$△ABD$是直角三角形,且$∠A=90°$.

6. 如图，CD是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边AB上的中线，过点D作$DF⊥ AB$，交BC于点E，交AC的延长线于点F.求证：
(1)$△ ADF∽△ EDB$；
(2)$CD^2=DE· DF$.

6.【证明】(1)
∵$△ABC$是直角三角形,AB 是斜边,
∴$∠ACB=90°.∴∠A+∠B=90°$.
∵$DF⊥AB,∴∠ADF=∠EDB=90°$.
∴$∠F+∠A=90°.∴∠F=∠B$.
∴$△ADF∽△EDB$.
(2)
∵CD 是$Rt△ABC$的斜边 AB 上的中线,
∴CD=AD=DB.
∵$△ADF∽△EDB,∴\frac{AD}{DE}=\frac{DF}{DB}$.
∴$\frac{CD}{DE}=\frac{DF}{CD}$,即 $CD^2=DE·DF$.

7.在数学探究活动中,某同学进行了如下操作:如图,在直角三角形纸片$ABC(∠ C=90°)$内剪取一个$\mathrm{Rt}△ DEF(∠ EDF=90°)$,点$D,E,F$分别在$AB,AC,BC$边上.当$AC=3,BC=4,DE=2DF$时,求$AD$的长.

7.【解】如图,过点 D 分别作 $DP⊥AC$ 于点 P,$DQ⊥BC$ 于点 Q,则 $∠EPD=∠FQD=90°$,易知 $DP//BC$,
$∠ADP+∠QDF+∠FDB=90°,∠ADP+∠PDE+∠FDB=90°$,
∴$∠QDF=∠PDE$.
∴$△DPE∽△DQF$.
∴$\frac{DP}{DQ}=\frac{DE}{DF}=2.∴DP=2DQ$.
在 $Rt△ABC$ 中,$AC=3,BC=4,∠C=90°,∴AB=5$.
又
∵$DP//BC,∴\frac{AP}{AC}=\frac{AD}{AB}$.
易知$\frac{AP}{PD}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$,
则$\frac{AP}{2DQ}=\frac{3}{4}$,即$\frac{AP}{DQ}=\frac{3}{2}$.
易知$DQ=PC,∴\frac{AP}{PC}=\frac{3}{2}.∴\frac{AP}{AC}=\frac{3}{5}$.
∵$\frac{AP}{AC}=\frac{AD}{AB},∴\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}.∴AD=3$.