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11. [2025 湖北] 如图①, 在 $△ ABC$ 中, $∠ C=90°$, $BC=4 \mathrm{~cm}, AB=n \mathrm{~cm}$. 动点 $P, Q$ 均以 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度从点 $C$ 同时出发, 点 $P$ 沿折线 $C \rightarrow B \rightarrow A$向点 $A$ 运动, 点 $Q$ 沿边 $CA$ 向点 $A$ 运动. 当点 $Q$运动到点 $A$ 时, 两点都停止运动. $△ PCQ$ 的面积 $S($单位: $\mathrm{cm}^2$)与运动时间 $t($单位: $\mathrm{s})$ 的关系如图②所示. (1)$m=$
8
; (2)$n=$ 12
.答案
11.(1)8 (2)12 【点拨】(1)观察图象可知,当 $t=4$ 时,点 $P$ 与点 $B$ 重合,
∵ 动点 $P,Q$ 均以 1 cm/s 的速度从点 $C$ 同时出发,
∴ $CB=CP=CQ=4$ cm.
∵ ∠C=90°,
∴ $m=\frac{1}{2}CP·CQ=\frac{1}{2}×4×4=8$.
(2)由图象可知,当 $t=10$ 时, $S=10$,此时 $CQ=10$ cm, $BP=10-BC=6$ cm,过点 $P$ 作 $PD⊥AC$ 于点 $D$,如图,则∠PDA=90°.
∵ $S=\frac{1}{2}CQ·PD=\frac{1}{2}×10PD=10$,
∴ PD=2 cm.
∵ ∠PDA=∠ACB=90°, ∠A=∠A,
∴ △ADP∽△ACB.
∴ $\frac{AP}{AB}=\frac{PD}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
∴ $AP=\frac{1}{2}AB$.
∴ $P$ 为 $AB$ 的中点.
∴ $AB=2BP=12$ cm,
∴ $n=12$.
三、解答题(共45分)
12.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,CD是AB边上的高,E为线段CD上一点(不与点C,D重合),连接BE,作EF⊥BE与AC的延长线交于点F,与BC交于点G,连接BF.
(1)求证:△CFG∽△EBG;
(2)若$\frac{CG}{EG}=\frac{FG}{BG}$,求证:∠CEF=∠CBF.
12.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,CD是AB边上的高,E为线段CD上一点(不与点C,D重合),连接BE,作EF⊥BE与AC的延长线交于点F,与BC交于点G,连接BF.
(1)求证:△CFG∽△EBG;
(2)若$\frac{CG}{EG}=\frac{FG}{BG}$,求证:∠CEF=∠CBF.
答案
12.【证明】(1)
∵ ∠ACB=90°,EF⊥BE,
∴ ∠FCG=∠BEG=90°.
又
∵ ∠CGF=∠EGB,
∴ △CFG∽△EBG.
(2)
∵ $\frac{CG}{EG}=\frac{FG}{BG}$,
∴ $\frac{CG}{FG}=\frac{EG}{BG}$.
又
∵ ∠CGE=∠FGB,
∴ △CGE∽△FGB.
∴ ∠CEG=∠FBG,即∠CEF=∠CBF.
∵ ∠ACB=90°,EF⊥BE,
∴ ∠FCG=∠BEG=90°.
又
∵ ∠CGF=∠EGB,
∴ △CFG∽△EBG.
(2)
∵ $\frac{CG}{EG}=\frac{FG}{BG}$,
∴ $\frac{CG}{FG}=\frac{EG}{BG}$.
又
∵ ∠CGE=∠FGB,
∴ △CGE∽△FGB.
∴ ∠CEG=∠FBG,即∠CEF=∠CBF.
13.(14分)如图,在$△ ABC$中,点D,E分别在边AC,AB上,$AB=2AD$,$AC=2AE$,连接DE.
(1)求证:$△ ADE ∽ △ ABC$;
(2)连接BD,CE,若$AD=3$,$AE=2$,求$\frac{S_{△ CDE}}{S_{△ BDE}}$的值.
(1)求证:$△ ADE ∽ △ ABC$;
(2)连接BD,CE,若$AD=3$,$AE=2$,求$\frac{S_{△ CDE}}{S_{△ BDE}}$的值.
答案
13.(1)【证明】
∵ AB=2AD,AC=2AE,
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$,$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$.
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
又
∵ ∠A=∠A,
∴ △ADE∽△ABC.
(2)【解】
∵ AE=2,AD=3,AB=2AD,AC=2AE,
∴ AC=4,AB=6.
∴ DC=AC-AD=1,BE=AB-AE=4.
易知$\frac{S_{△AED}}{S_{△BDE}}=\frac{AE}{BE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,$\frac{S_{△ADE}}{S_{△CDE}}=\frac{AD}{CD}=\frac{3}{1}=3$,
∴ $S_{△CDE}=\frac{1}{3}S_{△AED}$,$S_{△BDE}=2S_{△AED}$.
∴ $\frac{S_{△CDE}}{S_{△BDE}}=\frac{\frac{1}{3}S_{△AED}}{2S_{△AED}}=\frac{1}{6}$.
∵ AB=2AD,AC=2AE,
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$,$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$.
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
又
∵ ∠A=∠A,
∴ △ADE∽△ABC.
(2)【解】
∵ AE=2,AD=3,AB=2AD,AC=2AE,
∴ AC=4,AB=6.
∴ DC=AC-AD=1,BE=AB-AE=4.
易知$\frac{S_{△AED}}{S_{△BDE}}=\frac{AE}{BE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,$\frac{S_{△ADE}}{S_{△CDE}}=\frac{AD}{CD}=\frac{3}{1}=3$,
∴ $S_{△CDE}=\frac{1}{3}S_{△AED}$,$S_{△BDE}=2S_{△AED}$.
∴ $\frac{S_{△CDE}}{S_{△BDE}}=\frac{\frac{1}{3}S_{△AED}}{2S_{△AED}}=\frac{1}{6}$.
14.(19分) [2025武汉] 如图,四边形ABCD是正方形,点E在边CD上,点F在边BC的延长线上,DE=CF,射线AE交对角线BD于点G,交线段DF于点H.
(1)求证:DH=GH.(温馨提示:若思考有困难,可尝试证明$△ ADE ≌ △ DCF$)
(2)求证:$AG · EH=EG · GH$.
(3)若$\frac{GE}{EH}=n$,直接写出$\frac{DH}{DF}$的值(用含n的式子表示).
(1)求证:DH=GH.(温馨提示:若思考有困难,可尝试证明$△ ADE ≌ △ DCF$)
(2)求证:$AG · EH=EG · GH$.
(3)若$\frac{GE}{EH}=n$,直接写出$\frac{DH}{DF}$的值(用含n的式子表示).
答案
14.(1)【证明】
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AD = DC, ∠ADC = ∠BCD = 90°, ∠ADB = ∠CDB = 45°.
∴ ∠ADC = ∠DCF = 90°.
∵ DE=CF,
∴ △ADE≌△DCF(SAS).
∴ ∠DAE = ∠CDF.
∴ ∠EAD + ∠ADB = ∠CDF + ∠CDB,
∴ ∠HDG=∠HGD.
∴ DH=GH.
(2)【证明】
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AB//DC,AB=AD.
∴ ∠BAG=∠DEG,∠ABG=∠EDG.
∴ △ABG∽△EDG.
∴ $\frac{AG}{EG}=\frac{AB}{DE}=\frac{AD}{DE}$.
∵ ∠HDE=∠HAD,∠DHE=∠AHD,
∴ △HAD∽△HDE.
∴ $\frac{DH}{EH}=\frac{AD}{DE}$.
∴ $\frac{AG}{EG}=\frac{DH}{EH}$.
∵ DH=GH,
∴ $\frac{AG}{EG}=\frac{GH}{EH}$.
∴ AG·EH=EG·GH.
(3)【解】$\frac{DH}{DF}=\frac{n+1}{n^2+2n}$.
【点拨】
∵ $\frac{AG}{EG}=\frac{GH}{EH}$,$\frac{GE}{EH}=n$,
∴ $\frac{GE}{EH}=n=\frac{AG}{GH}$.
设 EH=a,
∴ EG=an,
∴ GH=DH=an+a=a(n+1).
∴ $AG=\frac{AG}{GH}·GH=n·a(n+1)=a(n^2+n)$.
∴ $AE=AG+GE=a(n^2+2n)$.
∵ △ADE≌△DCF,
∴ AE=DF=a(n^2+2n).
∴ $\frac{DH}{DF}=\frac{a(n+1)}{a(n^2+2n)}=\frac{n+1}{n^2+2n}$.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AD = DC, ∠ADC = ∠BCD = 90°, ∠ADB = ∠CDB = 45°.
∴ ∠ADC = ∠DCF = 90°.
∵ DE=CF,
∴ △ADE≌△DCF(SAS).
∴ ∠DAE = ∠CDF.
∴ ∠EAD + ∠ADB = ∠CDF + ∠CDB,
∴ ∠HDG=∠HGD.
∴ DH=GH.
(2)【证明】
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AB//DC,AB=AD.
∴ ∠BAG=∠DEG,∠ABG=∠EDG.
∴ △ABG∽△EDG.
∴ $\frac{AG}{EG}=\frac{AB}{DE}=\frac{AD}{DE}$.
∵ ∠HDE=∠HAD,∠DHE=∠AHD,
∴ △HAD∽△HDE.
∴ $\frac{DH}{EH}=\frac{AD}{DE}$.
∴ $\frac{AG}{EG}=\frac{DH}{EH}$.
∵ DH=GH,
∴ $\frac{AG}{EG}=\frac{GH}{EH}$.
∴ AG·EH=EG·GH.
(3)【解】$\frac{DH}{DF}=\frac{n+1}{n^2+2n}$.
【点拨】
∵ $\frac{AG}{EG}=\frac{GH}{EH}$,$\frac{GE}{EH}=n$,
∴ $\frac{GE}{EH}=n=\frac{AG}{GH}$.
设 EH=a,
∴ EG=an,
∴ GH=DH=an+a=a(n+1).
∴ $AG=\frac{AG}{GH}·GH=n·a(n+1)=a(n^2+n)$.
∴ $AE=AG+GE=a(n^2+2n)$.
∵ △ADE≌△DCF,
∴ AE=DF=a(n^2+2n).
∴ $\frac{DH}{DF}=\frac{a(n+1)}{a(n^2+2n)}=\frac{n+1}{n^2+2n}$.
