1. 已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，BD和B'D'分别是两个三角形对应角的平分线，且$AC:A'C'=2:3$。若$BD=4\ \mathrm{cm}$，则$B'D'$的长是（）

A.3 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm

1.C

2. 顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应中线的比是（）

A.$1:\sqrt{3}$
B.$1:3$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$1:2$

2.D

3.如图,在$△ ABC$中,直尺的一边与$BC$重合,另一边分别交$AB$,$AC$于点$D$,$E$.其中点$B$,$C$,$D$,$E$处的读数分别为$8$,$16$,$10.5$,$14.5$,已知直尺宽为$3$,则$△ ABC$中$BC$边上的高为（）


A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$6$

3.D

4. 已知$\mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ A_{1}B_{1}C_{1}$，且相似比为$3:4$，若$\mathrm{Rt}△ ABC$的最长边长为$12\ \mathrm{cm}$，则$\mathrm{Rt}△ A_{1}B_{1}C_{1}$最长边的中线长为$\mathrm{cm}.$

4.8

5. 新趋势 跨学科 如图,一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上,已知胶片与屏幕平行,点A为光源,与胶片BC的距离为0.1 m,胶片的高BC为0.038 m,若需要投影后的图像DE高2.28 m,则投影机光源A到屏幕DE的距离为 m.

5.6 【点拨】如图所示,过点 A 作 $AG⊥DE$ 于点 G,交 BC 于点 F,$\because BC// DE,\therefore$ 易得$△ ABC∽△ ADE,AG⊥ BC$,
$AF=0.1\ \mathrm{m}$,设 $AG=h\ \mathrm{m}$,则
$\dfrac{AF}{AG}=\dfrac{BC}{DE},即\dfrac{0.1}{h}=\dfrac{0.038}{2.28},解$
得$h=6,\therefore AG=6\ \mathrm{m}.$

6. 新考法 方程思想 有一个侧面为梯形的容器，高为8 cm，内部倒入高为6 cm的水. 将一根长为18 cm的吸管如图放置，若有2 cm露出容器外，则吸管在水中部分的长度为.

6.12 cm 【点拨】如图,过点 B 作 $BM⊥ CE$,垂足为 M,过点 F 作 $FN⊥ CE$,垂足为 N,$\because DF// CE,\therefore ∠ BDF=∠ ACE.\because ∠ DBF=∠ CBE,\therefore △ BDF∽△ BCE.\because BM=8\ \mathrm{cm},FN=6\ \mathrm{cm},BC=16\ \mathrm{cm},\therefore$ 设 $CD=x\ \mathrm{cm}$,则 $BD=(16-x)\ \mathrm{cm}$,$\because △ BDF$ 的高为
$BM-FN=8-6=2(\mathrm{cm}),\therefore \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{1}{4}.\therefore \dfrac{16-x}{16}=\dfrac{1}{4},解得 x=12.$
$\therefore$ 吸管在水中部分的长度为 $12\ \mathrm{cm}.$

7. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边中线AD向下平移,使A的对应点A'满足$AA'=\frac{1}{3}AD$,则平移前后两个三角形重叠部分的面积是。

7.$\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$ 【点拨】如图,延长 AD 交 $B'C'$ 于点 G. $\because AB=AC=2,∠ BAC=120°$,AD 是中线,
$\therefore ∠ ABC=30°,AD⊥ BC,BD=CD.\therefore AD=\dfrac{1}{2}AB=1.$
$\therefore BD=\sqrt{3}.\therefore BC=2\sqrt{3}.$ 由平移的性质得 $B'C'// BC$,
$B'C'=BC=2\sqrt{3},A'G=AD=1.\therefore AD⊥ B'C',∠ A'EF=∠ A'B'C',∠ A'FE=∠ A'C'B'.\therefore △ A'EF∽△ A'B'C'.$
$\therefore \dfrac{EF}{B'C'}=\dfrac{A'D}{A'G}.\because AA'=\dfrac{1}{3}AD,\therefore A'D=\dfrac{2}{3}AD=\dfrac{2}{3}A'G=\dfrac{2}{3}.\therefore \dfrac{EF}{B'C'}=\dfrac{A'D}{A'G}=\dfrac{2}{3}.\therefore EF=\dfrac{2}{3}B'C'=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.\therefore$ 重叠
部分的面积 $=\dfrac{1}{2}EF· A'D=\dfrac{1}{2}×\dfrac{4\sqrt{3}}{3}×\dfrac{2}{3}=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}.$

8. ※※【模型定义】如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫作三角形的内接正方形。
【问题探究】
(1)如图①，在$△ ABC$中，$BC=a$，$BC$边上的高$AD=h_a$，四边形$EFGH$是$△ ABC$的内接正方形，设正方形$EFGH$的边长是$x$.求证：$x=\frac{ah_a}{a+h_a}$；
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=4$，$AC=3$，$∠ BAC=90°$，请在图②、图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大。

8.(1)【证明】如图①,设 AD 交 HG 于点 M. $\because$ 四边形EFGH 是 $△ ABC$ 的内接正方形, $\therefore HG// BC.$
$\therefore ∠ AHG=∠ ABC,∠ AGH=∠ ACB.$
$\therefore △ AHG∽△ ABC.$
易知 AM 为 $△ AHG$ 的边 HG 上的高,$MD=HE=x$,
$\therefore AM:AD=HG:BC.$
$\therefore (h_a - x):h_a = x:a.\therefore x=\dfrac{ah_a}{a+h_a}.$
(2)【解】如图②③. 在图②中,$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5.$
由等面积法,得 $\dfrac{1}{2}AB· AC=\dfrac{1}{2}AD· BC$,
$\therefore AD=\dfrac{AB· AC}{BC}=\dfrac{12}{5}.$
由(1)得正方形的边长是 $\dfrac{5×\dfrac{12}{5}}{5+\dfrac{12}{5}}=\dfrac{60}{37}.$
在图③中,正方形的边长是 $\dfrac{3×4}{3+4}=\dfrac{12}{7}.$
$\because \dfrac{12}{7}＞\dfrac{60}{37}$,且正方形的面积等于边长的平方,
$\therefore$ 图③中正方形的面积最大.