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1 [2025广西]生态学家高斯通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y(个)随时间t(天)的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线.下列说法正确的是（
A.第5天的种群数量为300个
B.前3天种群数量持续增长
C.第3天的种群数量达到最大
D.每天增加的种群数量相同
B
）A.第5天的种群数量为300个
B.前3天种群数量持续增长
C.第3天的种群数量达到最大
D.每天增加的种群数量相同
答案
B
解析
【分析】
解题时首先明确函数图像的横轴代表培养时间t（单位：天），纵轴代表大草履虫的种群数量y（单位：个），接下来结合图像的变化趋势、对应时间的纵坐标数值，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A. 观察图像，当t=5天时，对应的种群数量接近400个，并非300个，故A错误；
B. 观察t在0~3天的区间，图像整体呈上升趋势，说明种群数量随时间增加而增大，即前3天种群数量持续增长，故B正确；
C. t=3天后图像仍处于上升阶段，种群数量继续增加，直到t接近5天时才达到最大值，因此第3天种群数量未达到最大，故C错误；
D. 该图像为曲线，说明种群数量的增长速度是变化的：初期增长较缓，中期增长较快，后期增长再次变慢，因此每天增加的种群数量不相同，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
函数图像识别；图像信息提取；变量变化趋势判断
【点评】
本题结合实际情境考查函数图像的解读能力，解题核心是明确横纵坐标的含义，通过分析曲线的升降趋势、对应点的数值判断结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确函数图像的横轴代表培养时间t（单位：天），纵轴代表大草履虫的种群数量y（单位：个），接下来结合图像的变化趋势、对应时间的纵坐标数值，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A. 观察图像，当t=5天时，对应的种群数量接近400个，并非300个，故A错误；
B. 观察t在0~3天的区间，图像整体呈上升趋势，说明种群数量随时间增加而增大，即前3天种群数量持续增长，故B正确；
C. t=3天后图像仍处于上升阶段，种群数量继续增加，直到t接近5天时才达到最大值，因此第3天种群数量未达到最大，故C错误；
D. 该图像为曲线，说明种群数量的增长速度是变化的：初期增长较缓，中期增长较快，后期增长再次变慢，因此每天增加的种群数量不相同，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
函数图像识别；图像信息提取；变量变化趋势判断
【点评】
本题结合实际情境考查函数图像的解读能力，解题核心是明确横纵坐标的含义，通过分析曲线的升降趋势、对应点的数值判断结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
2 已知y是x的函数，y与x的几组对应值如下表：
则这个函数的表达式可以为 （
A.$y=2x$
B.$y=x-1$
C.$y=\dfrac{2}{x}$
D.$y=x^2$
则这个函数的表达式可以为 （
A
）A.$y=2x$
B.$y=x-1$
C.$y=\dfrac{2}{x}$
D.$y=x^2$
答案
A
解析
【分析】
要判断符合表格对应值的函数表达式，可采用代入验证法：将表格中给出的x值依次代入各选项的表达式，计算对应的y值，若所有x对应的y值都和表格一致，即为正确选项；只要有一组对应值不符合，就排除该选项。
【解析】
将表格中的x值分别代入四个选项验证：
选项A：$y=2x$
当$x=-1$时，$y=2×(-1)=-2$，符合表格；当$x=0$时，$y=2×0=0$，符合表格；当$x=1$时，$y=2×1=2$，符合表格；当$x=2$时，$y=2×2=4$，符合表格，所有对应值均匹配。
选项B：$y=x-1$
当$x=0$时，$y=0-1=-1$，与表格中$x=0$时$y=0$不符，排除。
选项C：$y=\dfrac{2}{x}$
$x=0$时分母为0，式子无意义，与表格中$x=0$有对应y值不符，排除。
选项D：$y=x^2$
当$x=-1$时，$y=(-1)^2=1$，与表格中$x=-1$时$y=-2$不符，排除。
综上只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
代入法验证函数表达式；函数的对应关系
【点评】
本题是函数表达式判断的基础题型，采用代入验证法逐个排除错误选项即可快速解题，方法直观易掌握。
【难度系数】
0.9
要判断符合表格对应值的函数表达式，可采用代入验证法：将表格中给出的x值依次代入各选项的表达式，计算对应的y值，若所有x对应的y值都和表格一致，即为正确选项；只要有一组对应值不符合，就排除该选项。
【解析】
将表格中的x值分别代入四个选项验证：
选项A：$y=2x$
当$x=-1$时，$y=2×(-1)=-2$，符合表格；当$x=0$时，$y=2×0=0$，符合表格；当$x=1$时，$y=2×1=2$，符合表格；当$x=2$时，$y=2×2=4$，符合表格，所有对应值均匹配。
选项B：$y=x-1$
当$x=0$时，$y=0-1=-1$，与表格中$x=0$时$y=0$不符，排除。
选项C：$y=\dfrac{2}{x}$
$x=0$时分母为0，式子无意义，与表格中$x=0$有对应y值不符，排除。
选项D：$y=x^2$
当$x=-1$时，$y=(-1)^2=1$，与表格中$x=-1$时$y=-2$不符，排除。
综上只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
代入法验证函数表达式；函数的对应关系
【点评】
本题是函数表达式判断的基础题型，采用代入验证法逐个排除错误选项即可快速解题，方法直观易掌握。
【难度系数】
0.9
3 [2025 湖南]甲、乙两人在一次 100 m 赛跑比赛中,路程 s(m)与时间 t(s)的函数关系如图所示,则
s/m
100
甲 乙
O 12 14 t/s
速度
O 时间
①
速度
O 时间
③
速度
O 时间
④
甲
先到终点(填“甲”或“乙”).s/m
100
甲 乙
O 12 14 t/s
速度
O 时间
①
速度
O 时间
③
速度
O 时间
④
答案
甲
解析
【分析】
首先明确该图为路程随时间变化的s-t图像，横坐标代表跑步用时，纵坐标代表跑步的路程。100m赛跑的终点对应纵坐标为100m的位置，判断谁先到终点，只需对比甲、乙两人路程达到100m时对应的横坐标时间大小即可：用时越短，越早到达终点。
【解析】
观察s-t图像可得，甲跑完100m对应的时间是12s，乙跑完100m对应的时间是14s。因为12s＜14s，说明甲跑完全程的用时更短，因此甲先到终点。
【答案】
甲
【知识点】
s-t图像解读；行程问题分析
【点评】
本题属于基础的图像类题目，只需明确路程-时间图像横、纵坐标代表的含义，结合题意对比两人的全程用时即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
首先明确该图为路程随时间变化的s-t图像，横坐标代表跑步用时，纵坐标代表跑步的路程。100m赛跑的终点对应纵坐标为100m的位置，判断谁先到终点，只需对比甲、乙两人路程达到100m时对应的横坐标时间大小即可：用时越短，越早到达终点。
【解析】
观察s-t图像可得，甲跑完100m对应的时间是12s，乙跑完100m对应的时间是14s。因为12s＜14s，说明甲跑完全程的用时更短，因此甲先到终点。
【答案】
甲
【知识点】
s-t图像解读；行程问题分析
【点评】
本题属于基础的图像类题目，只需明确路程-时间图像横、纵坐标代表的含义，结合题意对比两人的全程用时即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
4 一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶。过了一段时间，汽车到达下一个车站。乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶。如图，可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是
②
（填序号）。答案
②
解析
【分析】
这是一道结合实际行程场景的函数图像辨识题，解题思路如下：首先将汽车的完整运动过程拆解为多个阶段，梳理每个阶段速度随时间的变化特征，再将特征对应到速度-时间图像的走势上，最后比对选项选出符合全部特征的图像。汽车的运动全流程为：初始静止→加速出站→匀速行驶→减速进站→静止上下客→再次加速→再次匀速，对应速度变化依次是0→逐渐增大→保持不变→逐渐减小到0→保持为0→逐渐增大→保持不变，对应图像走势为：从原点上升→水平→下降到横轴→横轴处水平→上升→水平，符合该走势的即为正确答案。
【解析】
我们逐段分析汽车运动过程对应的速度变化及图像特征：
1. 刚出站加速阶段：汽车从静止开始加速，速度从0随时间逐渐增大，对应速度-时间图像为从原点出发向上倾斜的线段；
2. 第一次匀速行驶阶段：汽车速度保持恒定，对应图像为平行于时间轴的水平线段；
3. 进站减速阶段：汽车开始减速直到停下，速度随时间逐渐减小到0，对应图像为向下倾斜、最终落到时间轴上的线段；
4. 乘客上下车阶段：汽车静止，速度始终为0，对应图像为时间轴上的水平线段；
5. 再次出站加速阶段：汽车重新从静止开始加速，速度随时间逐渐增大，对应图像为向上倾斜的线段；
6. 第二次匀速行驶阶段：汽车速度再次保持恒定，对应图像为平行于时间轴的水平线段。
逐一比对选项，仅序号②的图像符合上述所有阶段的特征。
【答案】
②
【知识点】
函数的图像表示；变量的对应关系；行程类函数应用
【点评】
本题将生活中的汽车行驶场景与函数图像知识结合，重点考查对实际过程中变量变化规律的分析能力，以及将实际问题转化为数学模型的能力，解题的核心是准确拆分运动阶段、匹配对应图像特征。
【难度系数】
0.8
这是一道结合实际行程场景的函数图像辨识题，解题思路如下：首先将汽车的完整运动过程拆解为多个阶段，梳理每个阶段速度随时间的变化特征，再将特征对应到速度-时间图像的走势上，最后比对选项选出符合全部特征的图像。汽车的运动全流程为：初始静止→加速出站→匀速行驶→减速进站→静止上下客→再次加速→再次匀速，对应速度变化依次是0→逐渐增大→保持不变→逐渐减小到0→保持为0→逐渐增大→保持不变，对应图像走势为：从原点上升→水平→下降到横轴→横轴处水平→上升→水平，符合该走势的即为正确答案。
【解析】
我们逐段分析汽车运动过程对应的速度变化及图像特征：
1. 刚出站加速阶段：汽车从静止开始加速，速度从0随时间逐渐增大，对应速度-时间图像为从原点出发向上倾斜的线段；
2. 第一次匀速行驶阶段：汽车速度保持恒定，对应图像为平行于时间轴的水平线段；
3. 进站减速阶段：汽车开始减速直到停下，速度随时间逐渐减小到0，对应图像为向下倾斜、最终落到时间轴上的线段；
4. 乘客上下车阶段：汽车静止，速度始终为0，对应图像为时间轴上的水平线段；
5. 再次出站加速阶段：汽车重新从静止开始加速，速度随时间逐渐增大，对应图像为向上倾斜的线段；
6. 第二次匀速行驶阶段：汽车速度再次保持恒定，对应图像为平行于时间轴的水平线段。
逐一比对选项，仅序号②的图像符合上述所有阶段的特征。
【答案】
②
【知识点】
函数的图像表示；变量的对应关系；行程类函数应用
【点评】
本题将生活中的汽车行驶场景与函数图像知识结合，重点考查对实际过程中变量变化规律的分析能力，以及将实际问题转化为数学模型的能力，解题的核心是准确拆分运动阶段、匹配对应图像特征。
【难度系数】
0.8
5 分别写出下列函数的表达式，并求出式中自变量的取值范围.
（1）长方形的周长为12，求它的面积S与一边的长x之间的函数表达式；
（2）行走的路程为100 km，求平均速度v(km/h)与所走时间t(h)之间的函数表达式；
（3）某种储蓄的年利率为1.5%，存入10 000元本金，求本金与利息的和y(元)与所存年数x之间的函数表达式；
（4）[2024 常州]若等腰三角形的周长是10，求底边长y与腰长x之间的函数表达式.
（1）长方形的周长为12，求它的面积S与一边的长x之间的函数表达式；
（2）行走的路程为100 km，求平均速度v(km/h)与所走时间t(h)之间的函数表达式；
（3）某种储蓄的年利率为1.5%，存入10 000元本金，求本金与利息的和y(元)与所存年数x之间的函数表达式；
（4）[2024 常州]若等腰三角形的周长是10，求底边长y与腰长x之间的函数表达式.
答案
(1) $S=x(6-x)\ \ 0＜x＜6$
(2) $v=\dfrac{100}{t}\ \ t＞0$
(3) $y=10\ 000(1+1.5\%x)$ x 为正整数
(4) $y=10-2x\ \ 2.5＜x＜5$
(2) $v=\dfrac{100}{t}\ \ t＞0$
(3) $y=10\ 000(1+1.5\%x)$ x 为正整数
(4) $y=10-2x\ \ 2.5＜x＜5$
解析
【分析】
解决这类问题的核心思路分为两步：第一步，根据题目给出的等量关系列出两个变量的等式，变形为函数表达式；第二步，确定自变量取值范围，需同时满足两个要求：一是函数表达式本身有意义，二是符合实际场景或几何性质的限制。
逐题思路梳理：
（1）先由长方形周长公式表示出另一边长，再用面积公式列表达式，结合边长为正的要求求范围；
（2）根据路程、速度、时间的等量关系变形得到表达式，结合时间为正的实际意义求范围；
（3）根据本息和的计算规则列表达式，结合存期为正整数的实际要求确定范围；
（4）先由等腰三角形周长公式列表达式，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边、边长为正）求范围。
【解析】
（1）已知长方形周长为12，一边长为$x$，则另一边长为$\frac{12}{2}-x=6-x$。
长方形面积$S=$长×宽，因此$S=x(6-x)$。
由边长为正可得：$\begin{cases}x＞0 \\6-x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜6$。
（2）由路程公式$s=vt$，已知$s=100\mathrm{km}$，变形得$v=\frac{100}{t}$。
时间为正数，因此$t＞0$。
（3）本息和$=$本金$+$利息，利息$=$本金×年利率×存期，因此：
$y=10000+10000×1.5\%· x=10000(1+1.5\%x)$。
所存年数为正整数，因此$x$为正整数。
（4）等腰三角形周长$=2×$腰长$+$底边长，代入已知条件得$10=2x+y$，变形得$y=10-2x$。
结合三角形三边规则：$\begin{cases}y=10-2x＞0 \\2x＞y=10-2x \end{cases}$，解得$\begin{cases}x＜5 \\x＞2.5 \end{cases}$，即$2.5＜x＜5$。
【答案】
(1) $S=x(6-x)\ \ 0＜x＜6$
(2) $v=\dfrac{100}{t}\ \ t＞0$
(3) $y=10\ 000(1+1.5\%x)$ x 为正整数
(4) $y=10-2x\ \ 2.5＜x＜5$
【知识点】
1.列函数关系式
2.自变量取值范围确定
3.三角形三边关系
【点评】
本题侧重考查不同场景下列函数关系式的能力，易错点是确定自变量范围时容易忽略实际意义或几何性质的约束，仅考虑代数式本身有意义，解题时要注意全面验证限制条件。
【难度系数】
0.7
解决这类问题的核心思路分为两步：第一步，根据题目给出的等量关系列出两个变量的等式，变形为函数表达式；第二步，确定自变量取值范围，需同时满足两个要求：一是函数表达式本身有意义，二是符合实际场景或几何性质的限制。
逐题思路梳理：
（1）先由长方形周长公式表示出另一边长，再用面积公式列表达式，结合边长为正的要求求范围；
（2）根据路程、速度、时间的等量关系变形得到表达式，结合时间为正的实际意义求范围；
（3）根据本息和的计算规则列表达式，结合存期为正整数的实际要求确定范围；
（4）先由等腰三角形周长公式列表达式，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边、边长为正）求范围。
【解析】
（1）已知长方形周长为12，一边长为$x$，则另一边长为$\frac{12}{2}-x=6-x$。
长方形面积$S=$长×宽，因此$S=x(6-x)$。
由边长为正可得：$\begin{cases}x＞0 \\6-x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜6$。
（2）由路程公式$s=vt$，已知$s=100\mathrm{km}$，变形得$v=\frac{100}{t}$。
时间为正数，因此$t＞0$。
（3）本息和$=$本金$+$利息，利息$=$本金×年利率×存期，因此：
$y=10000+10000×1.5\%· x=10000(1+1.5\%x)$。
所存年数为正整数，因此$x$为正整数。
（4）等腰三角形周长$=2×$腰长$+$底边长，代入已知条件得$10=2x+y$，变形得$y=10-2x$。
结合三角形三边规则：$\begin{cases}y=10-2x＞0 \\2x＞y=10-2x \end{cases}$，解得$\begin{cases}x＜5 \\x＞2.5 \end{cases}$，即$2.5＜x＜5$。
【答案】
(1) $S=x(6-x)\ \ 0＜x＜6$
(2) $v=\dfrac{100}{t}\ \ t＞0$
(3) $y=10\ 000(1+1.5\%x)$ x 为正整数
(4) $y=10-2x\ \ 2.5＜x＜5$
【知识点】
1.列函数关系式
2.自变量取值范围确定
3.三角形三边关系
【点评】
本题侧重考查不同场景下列函数关系式的能力，易错点是确定自变量范围时容易忽略实际意义或几何性质的约束，仅考虑代数式本身有意义，解题时要注意全面验证限制条件。
【难度系数】
0.7
