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1 [2025 眉山]如图,在四边形 ABCD 中,AD//BC,AB=6,BC=10.按图中尺规作图痕迹作射线AP,交BC于点G,则CG的长为 (
A.4
B.5
C.6
D.8
（第1题）
A
)A.4
B.5
C.6
D.8
（第1题）答案
1. A
解析
【分析】
解题第一步先识别尺规作图的类型：图中痕迹是作∠BAD的角平分线，因此AG平分∠BAD；第二步结合AD//BC的性质，利用平行线内错角相等，推导角的等量关系，得到等腰三角形，求出BG的长度；第三步用BC的长度减去BG的长度即可得到CG的长。
【解析】
由尺规作图的痕迹可知，AG是∠BAD的角平分线，因此$∠ BAG=∠ DAG$。
$\because AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ DAG=∠ BGA$。
$\therefore ∠ BAG=∠ BGA$，根据“等角对等边”，可得$BG=AB$。
已知$AB=6$，$\therefore BG=6$。
又$\because BC=10$，$\therefore CG=BC-BG=10-6=4$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的尺规作图、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，将尺规作图识别、几何性质推导结合考查，解题的关键是正确判断出AG为角平分线，再结合平行关系推导出等腰三角形，是几何部分的常见综合小题。
【难度系数】
0.8
解题第一步先识别尺规作图的类型：图中痕迹是作∠BAD的角平分线，因此AG平分∠BAD；第二步结合AD//BC的性质，利用平行线内错角相等，推导角的等量关系，得到等腰三角形，求出BG的长度；第三步用BC的长度减去BG的长度即可得到CG的长。
【解析】
由尺规作图的痕迹可知，AG是∠BAD的角平分线，因此$∠ BAG=∠ DAG$。
$\because AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ DAG=∠ BGA$。
$\therefore ∠ BAG=∠ BGA$，根据“等角对等边”，可得$BG=AB$。
已知$AB=6$，$\therefore BG=6$。
又$\because BC=10$，$\therefore CG=BC-BG=10-6=4$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的尺规作图、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，将尺规作图识别、几何性质推导结合考查，解题的关键是正确判断出AG为角平分线，再结合平行关系推导出等腰三角形，是几何部分的常见综合小题。
【难度系数】
0.8
2 如图，AC，BD相交于点O，∠A=∠D.若再补充一个条件，使得△BOC为等腰三角形，则该条件不能是（
A.$OA=OD$
B.$AB=CD$
C.$∠ABO=∠DCO$
D.$∠ABC=∠DCB$
C
）A.$OA=OD$
B.$AB=CD$
C.$∠ABO=∠DCO$
D.$∠ABC=∠DCB$
答案
2. C
解析
【分析】
要使△BOC为等腰三角形，等价于证明OB=OC（或∠OBC=∠OCB）。已知∠A=∠D，且∠AOB与∠DOC是对顶角，二者相等，我们可逐一分析每个选项补充后，能否证明△AOB≌△DOC或直接推出∠OBC=∠OCB，进而判断是否能得到△BOC为等腰三角形，选出无法满足要求的选项即可。
【解析】
已知∠A=∠D，∠AOB=∠DOC（对顶角相等）。
选项A：补充OA=OD，在△AOB和△DOC中，$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ D\\ OA=OD\\ ∠ AOB=∠ DOC\end{array} $，由ASA可证△AOB≌△DOC，得OB=OC，故△BOC是等腰三角形，不符合题意。
选项B：补充AB=CD，在△AOB和△DOC中，$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ D\\ ∠ AOB=∠ DOC\\ AB=CD\end{array} $，由AAS可证△AOB≌△DOC，得OB=OC，故△BOC是等腰三角形，不符合题意。
选项C：由三角形内角和为180°，可得$∠ ABO=180°-∠ A-∠ AOB$，$∠ DCO=180°-∠ D-∠ DOC$，结合已知∠A=∠D、∠AOB=∠DOC，可直接推出∠ABO=∠DCO，即该条件本身成立，补充后无新增有效条件，无法推出OB=OC，不能证明△BOC是等腰三角形，符合题意。
选项D：补充∠ABC=∠DCB，在△ABC和△DCB中，$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ D\\ ∠ ABC=∠ DCB\\ BC=CB\end{array} $，由AAS可证△ABC≌△DCB，得∠ACB=∠DBC，即∠OCB=∠OBC，故OB=OC，△BOC是等腰三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型综合题，解题的关键是将△BOC为等腰三角形的条件转化为边或角的等量关系，再结合全等三角形的判定逐一验证选项，需注意本身可由已知推导出来的条件属于无效补充条件，无法实现证明目标。
【难度系数】
0.7
要使△BOC为等腰三角形，等价于证明OB=OC（或∠OBC=∠OCB）。已知∠A=∠D，且∠AOB与∠DOC是对顶角，二者相等，我们可逐一分析每个选项补充后，能否证明△AOB≌△DOC或直接推出∠OBC=∠OCB，进而判断是否能得到△BOC为等腰三角形，选出无法满足要求的选项即可。
【解析】
已知∠A=∠D，∠AOB=∠DOC（对顶角相等）。
选项A：补充OA=OD，在△AOB和△DOC中，$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ D\\ OA=OD\\ ∠ AOB=∠ DOC\end{array} $，由ASA可证△AOB≌△DOC，得OB=OC，故△BOC是等腰三角形，不符合题意。
选项B：补充AB=CD，在△AOB和△DOC中，$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ D\\ ∠ AOB=∠ DOC\\ AB=CD\end{array} $，由AAS可证△AOB≌△DOC，得OB=OC，故△BOC是等腰三角形，不符合题意。
选项C：由三角形内角和为180°，可得$∠ ABO=180°-∠ A-∠ AOB$，$∠ DCO=180°-∠ D-∠ DOC$，结合已知∠A=∠D、∠AOB=∠DOC，可直接推出∠ABO=∠DCO，即该条件本身成立，补充后无新增有效条件，无法推出OB=OC，不能证明△BOC是等腰三角形，符合题意。
选项D：补充∠ABC=∠DCB，在△ABC和△DCB中，$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ D\\ ∠ ABC=∠ DCB\\ BC=CB\end{array} $，由AAS可证△ABC≌△DCB，得∠ACB=∠DBC，即∠OCB=∠OBC，故OB=OC，△BOC是等腰三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型综合题，解题的关键是将△BOC为等腰三角形的条件转化为边或角的等量关系，再结合全等三角形的判定逐一验证选项，需注意本身可由已知推导出来的条件属于无效补充条件，无法实现证明目标。
【难度系数】
0.7
3 新情境 生活实际 如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东$60°$方向上，轮船沿正东方向前进30海里后到达B处，测得灯塔P位于其北偏东$30°$方向上，此时轮船与灯塔P的距离为
30
海里。答案
3. 30
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要把题目中的方位角转化为三角形的内角：第一步先根据A、B两处的方位信息计算△ABP中∠PAB和∠ABP的度数，第二步利用三角形内角和定理求出∠APB的度数，第三步观察角度关系发现等角，利用等腰三角形“等角对等边”的判定即可得到BP与AB的长度关系，进而求出结果。
【解析】
解：由题意可知，AB=30海里。
∵ 灯塔P在A处北偏东60°方向，正北与正东方向垂直，
∴ ∠PAB=90°-60°=30°。
∵ 灯塔P在B处北偏东30°方向，
∴ BP与B处正东方向的夹角为90°-30°=60°，
∴ ∠ABP=180°-60°=120°。
在△ABP中，根据三角形内角和为180°，
得∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=180°-30°-120°=30°，
∴ ∠PAB=∠APB=30°，
根据等角对等边，可得BP=AB=30海里，即此时轮船与灯塔P的距离为30海里。
【答案】
30
【知识点】
方位角识别；等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题结合航海方位的生活情境，考查等腰三角形判定的实际应用，解题的核心是准确将方位角转化为三角形的内角，找到相等的角推出等腰边即可得解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要把题目中的方位角转化为三角形的内角：第一步先根据A、B两处的方位信息计算△ABP中∠PAB和∠ABP的度数，第二步利用三角形内角和定理求出∠APB的度数，第三步观察角度关系发现等角，利用等腰三角形“等角对等边”的判定即可得到BP与AB的长度关系，进而求出结果。
【解析】
解：由题意可知，AB=30海里。
∵ 灯塔P在A处北偏东60°方向，正北与正东方向垂直，
∴ ∠PAB=90°-60°=30°。
∵ 灯塔P在B处北偏东30°方向，
∴ BP与B处正东方向的夹角为90°-30°=60°，
∴ ∠ABP=180°-60°=120°。
在△ABP中，根据三角形内角和为180°，
得∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=180°-30°-120°=30°，
∴ ∠PAB=∠APB=30°，
根据等角对等边，可得BP=AB=30海里，即此时轮船与灯塔P的距离为30海里。
【答案】
30
【知识点】
方位角识别；等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题结合航海方位的生活情境，考查等腰三角形判定的实际应用，解题的核心是准确将方位角转化为三角形的内角，找到相等的角推出等腰边即可得解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
4 [2024重庆B卷]如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，$BD$平分$∠ ABC$，交$AC$于点$D$。若$BC=2$，则$AD$的长为________。
答案
4. 2
解析
【分析】
首先利用等腰△ABC的顶角角度，结合等腰三角形两底角相等的性质，计算出底角∠ABC和∠C的度数；再根据角平分线的定义求出∠ABD、∠DBC的度数；通过角度的等量关系，分别判定△ABD和△BCD为等腰三角形，利用等角对等边的性质完成线段的等量代换，即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵ $AB=AC$，$∠A=36°$
∴ $∠ABC=∠C=\frac{180°-∠A}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$
∵ $BD$平分$∠ABC$
∴ $∠ABD=∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC=36°$
∴ $∠A=∠ABD=36°$，根据等角对等边可得$AD=BD$
在$△ BCD$中，$∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°$
∴ $∠BDC=∠C=72°$，根据等角对等边可得$BD=BC$
已知$BC=2$，因此$BD=2$，故$AD=BD=2$
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形性质与判定的基础综合题，核心是通过角度计算得到多组等角，借助等角对等边实现线段的等量代换，是等腰三角形相关考点的典型考法。
【难度系数】
0.7
首先利用等腰△ABC的顶角角度，结合等腰三角形两底角相等的性质，计算出底角∠ABC和∠C的度数；再根据角平分线的定义求出∠ABD、∠DBC的度数；通过角度的等量关系，分别判定△ABD和△BCD为等腰三角形，利用等角对等边的性质完成线段的等量代换，即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵ $AB=AC$，$∠A=36°$
∴ $∠ABC=∠C=\frac{180°-∠A}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$
∵ $BD$平分$∠ABC$
∴ $∠ABD=∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC=36°$
∴ $∠A=∠ABD=36°$，根据等角对等边可得$AD=BD$
在$△ BCD$中，$∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°$
∴ $∠BDC=∠C=72°$，根据等角对等边可得$BD=BC$
已知$BC=2$，因此$BD=2$，故$AD=BD=2$
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形性质与判定的基础综合题，核心是通过角度计算得到多组等角，借助等角对等边实现线段的等量代换，是等腰三角形相关考点的典型考法。
【难度系数】
0.7
5 如图，在$△ ABC$中，$AB＝AC$，过点$A$作$BC$的平行线，交$∠ ABC$的平分线于点$D$，连接$CD$.求证：$△ ACD$为等腰三角形.
答案
5.
∵ AD // BC,
∴ ∠ADB = ∠DBC.
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠DBC,
∴ ∠ABD = ∠ADB,
∴ AB=AD.
∵ AB=AC,
∴ AD=AC,
∴ △ACD 是等腰三角形
∵ AD // BC,
∴ ∠ADB = ∠DBC.
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠DBC,
∴ ∠ABD = ∠ADB,
∴ AB=AD.
∵ AB=AC,
∴ AD=AC,
∴ △ACD 是等腰三角形
解析
【分析】
要证明△ACD为等腰三角形，只需证明它有两条边相等即可。已知AB=AC，因此只需证明AD=AC，即转化为证明AD=AB。首先利用平行线的性质，由AD//BC可得内错角∠ADB=∠DBC；再结合BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠DBC，等量代换后得到∠ABD=∠ADB，根据等角对等边即可推出AB=AD；最后通过等量代换得到AD=AC，即可得证△ACD是等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ AD // BC，
∴ ∠ADB = ∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∵ BD 平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC（角平分线的定义），
∴ ∠ABD = ∠ADB（等量代换），
∴ AB=AD（等角对等边）。
又
∵ AB=AC（已知），
∴ AD=AC（等量代换），
∴ △ACD 是等腰三角形（有两边相等的三角形是等腰三角形）。
【答案】
∵ AD // BC,
∴ ∠ADB = ∠DBC.
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠DBC,
∴ ∠ABD = ∠ADB,
∴ AB=AD.
∵ AB=AC,
∴ AD=AC,
∴ △ACD 是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是通过角的等量关系推导边的等量关系，解题时需熟练掌握平行线、角平分线的性质以及等腰三角形的判定方法，这类题型是等腰三角形相关证明的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要证明△ACD为等腰三角形，只需证明它有两条边相等即可。已知AB=AC，因此只需证明AD=AC，即转化为证明AD=AB。首先利用平行线的性质，由AD//BC可得内错角∠ADB=∠DBC；再结合BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠DBC，等量代换后得到∠ABD=∠ADB，根据等角对等边即可推出AB=AD；最后通过等量代换得到AD=AC，即可得证△ACD是等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ AD // BC，
∴ ∠ADB = ∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∵ BD 平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC（角平分线的定义），
∴ ∠ABD = ∠ADB（等量代换），
∴ AB=AD（等角对等边）。
又
∵ AB=AC（已知），
∴ AD=AC（等量代换），
∴ △ACD 是等腰三角形（有两边相等的三角形是等腰三角形）。
【答案】
∵ AD // BC,
∴ ∠ADB = ∠DBC.
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠DBC,
∴ ∠ABD = ∠ADB,
∴ AB=AD.
∵ AB=AC,
∴ AD=AC,
∴ △ACD 是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是通过角的等量关系推导边的等量关系，解题时需熟练掌握平行线、角平分线的性质以及等腰三角形的判定方法，这类题型是等腰三角形相关证明的典型基础题。
【难度系数】
0.8
6 教材P45练习T1变式 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=36°$,$AB=AC$,$BD$是$△ ABC$的角平分线.若在边$AB$上截取$BE=BC$,连接$DE$,则图中的等腰三角形共有 (
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
D
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
6. D 【解析】
∵ AB=AC,∠A=36°,
∴ △ABC 是等腰三角形，∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$×(180°−36°)=72°.
∵ BD 是△ABC 的角平分线，
∴ ∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC = 36°,
∴ ∠A = ∠ABD,
∴ AD = BD,
∴ △ABD 是等腰三角形.
∵ 在△BCD 中，∠BDC = 180° − ∠CBD − ∠C = 180° − 36° − 72° = 72°,
∴ ∠BDC=∠C,
∴ BD=BC,
∴ △BCD 是等腰三角形. 又
∵ BE=BC,
∴ BD=BE,
∴ △BDE 是等腰三角形，
∴ ∠BDE = ∠BED = $\frac{1}{2}$ × (180° − 36°) = 72°.
∵ ∠BED 是△AED 的外角，∠A = 36°,
∴ ∠ADE = ∠BED − ∠A = 72° − 36° = 36°,
∴ ∠A = ∠ADE,
∴ AE=DE,
∴ △ADE 是等腰三角形. 综上所述，等腰三角形共有 5 个.
∵ AB=AC,∠A=36°,
∴ △ABC 是等腰三角形，∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$×(180°−36°)=72°.
∵ BD 是△ABC 的角平分线，
∴ ∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC = 36°,
∴ ∠A = ∠ABD,
∴ AD = BD,
∴ △ABD 是等腰三角形.
∵ 在△BCD 中，∠BDC = 180° − ∠CBD − ∠C = 180° − 36° − 72° = 72°,
∴ ∠BDC=∠C,
∴ BD=BC,
∴ △BCD 是等腰三角形. 又
∵ BE=BC,
∴ BD=BE,
∴ △BDE 是等腰三角形，
∴ ∠BDE = ∠BED = $\frac{1}{2}$ × (180° − 36°) = 72°.
∵ ∠BED 是△AED 的外角，∠A = 36°,
∴ ∠ADE = ∠BED − ∠A = 72° − 36° = 36°,
∴ ∠A = ∠ADE,
∴ AE=DE,
∴ △ADE 是等腰三角形. 综上所述，等腰三角形共有 5 个.
解析
【分析】
要找出图中的等腰三角形，需结合已知条件，利用等腰三角形“等角对等边”的判定方法，结合三角形内角和、角平分线性质、外角性质逐步计算各角度数，逐个验证：①先由已知AB=AC确定第一个等腰三角形；②计算△ABC的底角度数，结合角平分线得到等角，判断△ABD、△BCD是否为等腰三角形；③根据BE=BC的条件，结合之前得到的边相等关系，判断△BDE是否为等腰三角形；④利用外角性质计算△ADE的内角，判断其是否为等腰三角形，最后统计总数即可。
【解析】
∵ $AB=AC$，$∠ A=36°$，
∴ $△ ABC$是等腰三角形，$∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$。
∵ $BD$是$△ ABC$的角平分线，
∴ $∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，
∴ $∠ A=∠ ABD$，可得$AD=BD$，即$△ ABD$是等腰三角形。
在$△ BCD$中，$∠ BDC=180°-∠ CBD-∠ C=180°-36°-72°=72°$，
∴ $∠ BDC=∠ C$，可得$BD=BC$，即$△ BCD$是等腰三角形。
∵ $BE=BC$，
∴ $BD=BE$，即$△ BDE$是等腰三角形，
∴ $∠ BDE=∠ BED=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$。
∵ $∠ BED$是$△ AED$的外角，$∠ A=36°$，
∴ $∠ ADE=∠ BED-∠ A=72°-36°=36°$，
∴ $∠ A=∠ ADE$，可得$AE=DE$，即$△ ADE$是等腰三角形。
综上，等腰三角形共有5个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形判定的常规题型，解题时需结合角度运算逐一验证三角形的边角关系，注意不要遗漏隐藏的等腰三角形，熟练掌握等角对等边的判定方法是解题的核心。
【难度系数】
0.6
要找出图中的等腰三角形，需结合已知条件，利用等腰三角形“等角对等边”的判定方法，结合三角形内角和、角平分线性质、外角性质逐步计算各角度数，逐个验证：①先由已知AB=AC确定第一个等腰三角形；②计算△ABC的底角度数，结合角平分线得到等角，判断△ABD、△BCD是否为等腰三角形；③根据BE=BC的条件，结合之前得到的边相等关系，判断△BDE是否为等腰三角形；④利用外角性质计算△ADE的内角，判断其是否为等腰三角形，最后统计总数即可。
【解析】
∵ $AB=AC$，$∠ A=36°$，
∴ $△ ABC$是等腰三角形，$∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$。
∵ $BD$是$△ ABC$的角平分线，
∴ $∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，
∴ $∠ A=∠ ABD$，可得$AD=BD$，即$△ ABD$是等腰三角形。
在$△ BCD$中，$∠ BDC=180°-∠ CBD-∠ C=180°-36°-72°=72°$，
∴ $∠ BDC=∠ C$，可得$BD=BC$，即$△ BCD$是等腰三角形。
∵ $BE=BC$，
∴ $BD=BE$，即$△ BDE$是等腰三角形，
∴ $∠ BDE=∠ BED=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$。
∵ $∠ BED$是$△ AED$的外角，$∠ A=36°$，
∴ $∠ ADE=∠ BED-∠ A=72°-36°=36°$，
∴ $∠ A=∠ ADE$，可得$AE=DE$，即$△ ADE$是等腰三角形。
综上，等腰三角形共有5个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形判定的常规题型，解题时需结合角度运算逐一验证三角形的边角关系，注意不要遗漏隐藏的等腰三角形，熟练掌握等角对等边的判定方法是解题的核心。
【难度系数】
0.6
